正态总体的置信区间

第四节正态总体的置信区间一.单正态总体N(,2)的情况二.小结单正态总体均值(方差已知)的置信区间;单正态总体均值(方差未知)的置信区间;单正态总体方差的置信区间;下面介绍正态总体的置信区间，分为下列情形:单正态总体均值(方差已知)的置信区间;单正态总体均值(方差未知)的置信区间;单正态总体方差的置信区间;双正态总体均值差(方差已知)的置信区间;(1)(2)(3)(4)双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信区间.双正态总体方差比的置信区间.(5)(6)而本节主要介绍前三种正态总体的置信区间.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？~N(0,1)选的点估计为

寻找未知参数的一个良好估计.解：

寻找一个包含待估参数和样本的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.1.单正态总体均值的置信区间（1）设总体X~N(,2),2已知，未知，设X1,X2,…,Xn是来自X的样本，求的置信度为1-的置信区间。一、单正态总体N(,2)的情况对给定的置信水平查标准正态分布表得对于给定的置信水平(大概率),根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使从中解得则的一个置信度为1-的置信区间为说明：标准正态分布具有对称性，利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为的置信区间，间长度在所有这类区间中是最短的.其区

当然希望区间长度越短越好，但区间长度短，n必须大，即需耗费代价高，故在实际问题中，要具体分析，适当掌握，不能走极端。注意(1)

区间长度当给定时，置信区间的长度与n有关.(2)

置信度为1-的置信区间并不唯一。若概率密度函数的图形是单峰且对称,当n固定时，取两端对称的区间，其长度为最短。结论例1某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额,机访问了100名旅游者,得知平均消费额元.根据经验,已知旅游者消费服从正态分布,且标准为95%置信区间.解对于给定的置信度查标准正态分布表将数据随元,差求该旅游者平均消费额的置信度代入计算得的置信度为95%的置信区间为即在已知情形下,可77.6元至82.4元之间.以95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在自己动手已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为：115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;注意如果X服从任意分布,只要n充分大,仍可用作为总体均值的置信区间这是因为由中心极限定理可知,无论X服从什么分布,当n充分大时,随机变量近似服从标准正态分布。给定置信度1-,X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本,分别是样本均值和样本方差2.单正态总体均值的置信区间（2）2为未知用样本方差来代替2统计量则的置信度为1-的置信区间为例2某旅行社随机访问了25名旅游者,得知平均消费额元,样本标准差元,已知旅游者消费额服从正态分布,的置信区间.解对于给定的置信度将代入计算得的置信度为95%的置信区间为求旅游者平均消费的95%即在未知情况下,均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠度是95%.估计每个旅游者的平均值的置信区间(1)2为已知,的置信度为1-的置信区间为(2)2未知,的置信度为1-的置信区间为若未知,利用样本方差构造统计量给定,先查2分布的临界表求得12,22使得3.单正态总体方差的置信区间给定置信度1-,X1,X2,…,Xn是来自N(,2)的样本,是样本方差,从而方差2的置信度为1-的置信区间为标准差的置信度为1-的置信区间为方差的置信区间例3.有一大批糖果，从中随机地取16袋，称得重量(以克计)如下：

508499503504510497512505493496506502509496

设袋装糖果得重量近似地服从正态分布，求(1)正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。(2)总体标准差的置信度为0.95的置信区间。解(1)1-=0.95/2=0.025n-1=15t0.025(15)=2.1315s=6.2022则的置信度为0.95的置信区间为(500.4,507.1).2未知,的置信度为1-的置信区间为则方差2的置信度为1-的置信区间为(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=15s=6.2022总体标准差的置信区间为(4.58,9.60)假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地抽取12名新生婴儿，测其体重为

310025203000300036003160356033202880260034002540(1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。

(2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区间估计。思考解(1)1-＝0.95/2=0.025n-1=11t0.025(11)=2.201s=375.3则的置信度为0.95的置信区间为(2818,3295).(2)1-＝0.95/2=0.025n-1=11(n-1)S2=1549467查表得总体方差2的置信区间为(70752,405620)。

这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形.若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计.说明课堂练习

随机地取炮弹10发做试验，得炮口速度的标准差,炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信水平为0.95的置信区间.由解

随机地取炮弹10发做试验，得炮口速度的标准差,炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信水平为0.95的置信区间.于是