第三章第一二节导数概念求导法则

第三章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数、微分、边际与弹性英国数学家Newton一、导数产生的背景二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念1.自由落体运动的瞬时速度问题2.切线问题3.函数的变化率问题一、导数问题举例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率3.函数的变化率三个问题的共性:

所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.

瞬时速度切线斜率函数的变化率类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率函数的变化率问题不存在,就说函数在点不可导.若也称在的导数为无穷大.若极限注意:若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就称函数在

I内可导.**用定义求导数的三个步骤例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，(自变量对其本身的导数为1)的导数.解则即例3.求类似可证例4.求函数的导数.解:

即原式是否可按下述方法作:例5.证明函数在x=0不可导.证:不存在,例6.设存在,求极限解:原式三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:例*.求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率，并求在点(1,1)处的切线方程.解：任意一点x处：在(1,1)点：故所求切线方程为：y–1=2(x–1),即y=2x–1例7.问曲线哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续，但在该点未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2

.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则4.函数在点的连续性与可导性.5.

设,问a取何值时,在都存在,并求出解:显然该函数在x=0连续.故时此时在都存在,作业P915,8,12(3),15第二节牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.莱布尼茨

(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.第二节求导法则与基本初等函数的求导公式一、和、差、积、商的求导法则推论(4)(C为常数)例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例*二、反函数的求导法则定理：设单调函数x=(y)在区间I内可导，(x)0，则它的反函数y=f(x)在相应的某区间J内单调、可导，且例如(1)设则,则(2)设则特别当时,公式排行榜三、复合函数的导数定理：设u=(x)在点x处可导，y=f(u)在对应点u(u=(x))处也可导，复合函数y=f((x))在U(x)内有定义，则y=f((x))在点x处是可导的，且即设y=f(u),u=g(v),v=h(x),则例1.y=sinax,求y'解y=sinu,u=ax模仿例2.y=e5x,求y'解模仿例3.1

y=ln(1+x2),求y'例3.2求下列函数在指定点处的导数例４.1

y=ln[ln(1+x2)],