第一章信号与系统

信号与线性系统分析

--第四版吴大正主编课程介绍一、课程名称：信号与系统

教材：

《信号与线性系统分析》吴大正等编.北京：高等教育出版社，第4版参考书：

[1]《信号与系统》（第二版）郑君里等编.高等教育出版社[2]《信号与系统》（第二版）陈生谭等编.西安电子科技大学出版社二、课程性质：专业必修课,专业选修课，（信息，通信，电子，控制）三、先修课程：高等数学、电路分析、复变函数四、课程学分与总学时：4学分/72学时,3学分/54学时（18周）五、期末成绩考核：平时成绩（10~40%）+期末试卷成绩（60~90%）基本概念及基本分析方法

学习目的一掌握基本概念及分析方法二培养逻辑分析能力主要问题：

一基本信号及其响应二信号的分解三线性时不变（LinearTime-Invariant）LTI系统

LTI系统的描述及分析方法目录第一章信号系统第二章连续系统的时域分析第三章离散系统的时域分析第四章傅里叶变换和系统的频域第五章连续系统的S域分析第六章离散系统的Z域分析第七章系统函数第八章系统的状态变量分析先连续，后离散本章主要内容1.1绪言一、信号的概念二、系统的概念1.2信号的描述与分类一、信号的描述二、信号的分类1.3信号的基本运算一、加法和乘法二、时间变换第一章信号与系统1.4阶跃函数和冲激函数一、阶跃和冲激函数的概念二、冲激函数的性质1.5系统的描述一、系统的数学模型二、系统的框图表示1.6系统的特性和分析方法一、系统的特性二、LTI系统分析方法概述理解冲激信号的特性第一章信号与系统认识本课程领域的一些名词、术语

学习信号运算规律、熟悉表达式与波形的对应关系了解本课程研究范围、学习目标

初步了解本课程用到的主要方法和手段学习的主要要求：1.1绪论一、基本术语1.消息人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。2.信息（内容）代表知识状态的改变通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。信号是信息的载体，通过信号传递信息。如铃声表示该上课了—声信号；十字路口的红绿灯指挥交通—光信号；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字-图象信号等等。为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。信号理论：信号分析，信号传输，信号处理1.信号分析：主要讨论信号的表示及其性质。3.信号（形式）为传送消息而装设的全套技术设备（包括传输信道）。发送设备信息源发送端接收端消息信号信号消息信宿信道接收设备噪声源2.信号传输对信号进行某种加工或变换。目的：消除信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。3.信号处理系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。如：控制、通信、电系统（狭义）系统是信号产生，传输和处理所需要的物理装置。

如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。4.

系统的概念5.信号与系统理论1.信号理论：分析—传输—处理2.系统理论：（1）系统分析：给定系统，研究在输入信号的作用下所产生的响应。（2）系统综合：按某种需要提出对于给定激励的响应，据此要求设计系统。

信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。信号在系统中按照一定规律变化的；系统是在输入信号的驱动下进行工作的进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。系统的基本作用是对信号进行传输和处理。一、信号的描述信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。

本课程讨论电信号---简称“信号”。电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。描述信号的常用方法：（1）表示为时间的函数（或序列）（2）信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两词常相互通用。1.2信号信号的描述典型示例描述信号的基本方法----数学表示数学表达式:时域（时间的函数）f(t)；频域(角频率的函数）F(ω)；复频域F(s)s=σ+jω；Z域F(z)z=est波形图频谱图

二、信号的分类1.确定信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，（事先有不可预知性）只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。如电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。确定信号与随机信号波形

在连续的时间范围内(-∞<t<∞）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。这里的“连续”指函数的定义域—时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。2.连续信号和离散信号根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。1连续时间信号连续时间信号注：时间和幅值都为连续的信号称为模拟信号。单位阶跃信号通常以符号ε(t)表示

在跳变点t=0处不连续,对于间断点处的信号值一般不作定义,这样做不会影响分析结果。如有必要也可定义信号f(t)在间断点t0处的信号值等于其左极限f(t0-)与右极限f(t0+)的算术平均值即在t=0处规定函数ε(0)=1/2。

1t02离散时间信号仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。这里的“离散”指信号的定义域--时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余无定义。如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。注：相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。离散信号注：时间和幅值都离散的信号为-数字信号上述离散信号可简画为用表达式可写为或写为f(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。模拟信号、抽样信号、数字信号（A/D）数字信号：模拟信号：抽样信号：量化抽样连续信号幅值时间均连续时间幅值离散连续时间幅值均离散离散信号模拟信号数字信号3.周期信号和非周期信号周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。连续周期信号f(t)满足f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…离散周期信号f(k)满足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。不具有周期性的信号称为非周期信号。周期信号三种非周期信号f(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…正弦序列f(k)=sin(βk)是周期信号的条件式中β称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：当2π/β为整数时，正弦序列周期N=2π/β。当2π/β为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2π/β)，M取使N为整数的最小整数。当2π/β为无理数时，正弦序列为非周期序列。P51.2-1f(k)=f(k+mN)解（1）sin(2k)的数字角频率为β1=2rad；由于2π/β1=π为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。（2）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的数字角频率分别为β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。例1判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f2(k)=sin(2k)

（2）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。

（2）

cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。例2

判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt由上面几例可看出：①连续正弦信号一定是周期信号而正弦序列不一定是周期序列。②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。练习P33-1.5总结和函数（序列）判断周期1.求分函数周期2.周期比值有理式---取最小公倍数无理式---非周期4．能量信号与功率信号将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（1）信号的能量（2）信号的平均功率若信号f(t)的能量有界，即E<∞,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时P=0若信号f(t)的功率有界，即P<∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E=∞相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。总结：时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号，非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如

f(t)=e-t。（一）正弦信号（正弦、余弦）K:振幅ω：角频率ω==2πfθ：初相位借助复指数信号,由欧拉公式

重要特性：正弦信号对时间t的微分与积分是同频率的正弦波1.实信号：物理可实现信号，函数（序列）值为实数，如正弦信号或单边指数信号等。5．实信号与复信号（二）指数信号重要特性：其对时间的连续微分和积分仍然是指数形式。表示信号衰减速率，

越大，信号衰减的越快称为指数信号的时间常数，l

指数衰减,随t衰减l

直流(常数)Ol

指数增长，随t增长K单边指数信号---衰减----f（t)*ε(t)

ε(t)具有很好的接入性质，表现单边特性单边指数信号越大衰减的越慢（三）抽样信号(SamplingSignal)性质①②③④

讨论①不能产生②用来描述各种信号③信号分析及运算简化ejωt=cos(ωt)+jsin(ω)=实部+虚部=正弦分量+余弦分量2.复信号

函数（序列）值为复数的信号，如复指数信号复指数信号(指数信号的指数因子为一复数)重要特性：可利用它描述各种基本信号6．因果信号与反因果信号将t=0时接入系统的信号g(t)[即在t<0，g(t)=0]称为因果信号或有始信号。典型的例子阶跃信号而将t≥0，g(t)=0的信号称为反因果信号。以参考点为界

从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。例：（语音信号，1维信号）（黑白图像，2维信号）（视频，3维信号）

语音信号为声压随时间变化的函数，一维信号。黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数是二维信号。本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。7．一维信号与多维信号1.3信号的基本运算一、信号的＋、－、×运算两信号f1(·)和f2(·)的相+、－、×指同一时刻两信号之值对应相加减乘。信号的加法运算，如电视广播的调音台，多路信号混合信号的乘法运算，如调制信号，AM收音机载波调制信号的加法和乘法同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。二、信号的时间变换运算1.反转将f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180o。如2.平移将f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(t–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，则将f(·)右移；否则左移。如平移与反转相结合已知f(t)如下图所示，请画出f(2-t)①先平移f(t)→f(t+2),法一：先平移，再反转②再反转f(t+2)→f(–t+2)法二：先反转，后平移①先反转f(t)→f(–t)②再平移f(–t)→f(–t+2)=f[–(t–2)]实际中雷达测距通过雷达接收到的目标回波信号（延迟时间t）和发射的信号来计算目标和雷达的距离f(t)→f(2-t)3.尺度变换（横坐标展缩）将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则波形沿横坐标压缩；若0<a<1，则展开。如信号的尺度变换在实际生活中的例子注：对于离散信号，由于f(ak)仅在为ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。例：P11-图1.3-5如果f(t)已经录制好的声音信号，f(-t)倒转播放f(2t)快放f(1/2t)慢放三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间t进行。例：已知f(t)，画出f(–4–2t)。平移、反转、尺度变换相结合也可以先压缩、再平移、最后反转。1.4阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数不同于普通函数（一个自变量对应一个因变量），称为奇异函数（不满足普通函数的对应的要求），反映某些物理量在空间或坐标轴上集中一点的物理现象一、奇异函数（或奇异信号)：函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数。

斜坡（升）信号单位阶跃信号符号函数门函数单位冲激冲激偶信号

1单位斜坡（升）信号

从某一时刻开始随时间正比例增长的信号，如变化率为1，则为单位斜变信号。其表达式为：0t0

t0+1t01tr(t)r(t-t0)研究奇异函数的性质要用到广义函数的理论。首先直观地引出几类奇异函数11切平的斜变三角斜变0<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=K0<t<t0

f(t)=Kt/t0t>t0

f(t)=00t0tkkt0t02阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示电路如图：持续下去。定义波形图如上图：注意：在t=0处，发生跳变,未定义或1/2。单位阶跃函数且无限延迟单位阶跃信号用阶跃表示矩形脉冲g(t)g(t-t0)t0问：如何用阶跃函数表示如下信号阶跃函数性质：（1）可以方便地表示某些信号f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分（4）信号加窗或取单边f(t)t0t03门函数下图所示矩形脉冲g(t)常称为门函数。g(t)1-/2/20t特点:宽度为，幅度为1利用移位阶跃函数，门函数可表示为：4符号函数

sgn(0)无意义或为0

可用阶跃表示Sgn(t)t01-15冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）可采用下列直观定义：对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)定义单位冲击函数：高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。求导冲激函数与阶跃函数关系可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)δ(t)与ε(t)的关系求导积分6冲激偶信号对冲激信号δ(t)求时间导数，得到一个新的奇异信号，即冲激偶信号，其表示式为

见书p14，图1.4-30奇函数，（定义域）xyfφ(t)N[g(t),(t)]N[g(t),*)]广义函数一维实数空间推广函数集----------------------------函数空间检验函数空间普通函数y=f(x)看成是对定义域中的每个自变量x，按一定的运算规则f生成一个因变量y的过程广义函数g(t)是对检验函数集{φ(t)}中的每个函数φ(t)，按一定运算规则N分配一个数值N[g(t),(t)]］二、广义函数注：上式，是一个作用的形式，当g(t)是可积函数可看成是积分一个广义函数g(t)作用在(t)，得到一个数值N[g(t),(t)]或者Ng[(t)]广义函数定义函数空间y=sinx函数值确定不了满足上式中的检验函数φ(t)是连续的，是具有任意阶导数，且本身及其各阶导数在无限远处的急剧下降的普通函数

检验函数空间---------急降函数空间（φ）

广义函数为-----------缓增广义函数（φ’）表1.1广义函数与普通函数的对应关系广义函数的基本运算包括：（1）相等若则定义（2）相加若冲激函数的广义定义

作为常规函数，在间断点处的导数是不存在的。除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。单位阶跃信号ε(t)在间断点处的导数是单位冲激信号，δ函数在其惟一不等于零的点t=0处的函数值为无限大。显然，这些结论是与常规函数的定义相违背的,故对这类函数的定义和运算都不能按通常的意义去理解。人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。1.冲激函数的广义函数定义移位筛选性能从检验函数中筛选出函数值的广义函数叫做冲激函数冲激函数作用于检验函数的效果是给他赋予t00t广义极限n∞(,),

同样的，双边指数信号、钟形信号、Sa(t)信号取极限定义单位冲激函数双边指数函数的极限钟形信号的极限抽样信号的极限2.广义函数定义阶跃函数广义极限三、冲激函数的导数和积分δ’(t)也称冲激偶定义：移位证明P17（分布积分）1.冲激函数的导数的定义：例题??推广2.阶跃函数的导数

r(t)=t(t),斜升（斜坡）函数01tr(t)1积分

带有突变的信号可用阶跃函数表示，其导数必能引起冲激函数

任意信号x(t)的求导：

分段连续部分：普通意义上的导数跳变点：强度为跳变幅度的冲激函数带有跳变的信号的导数

冲激函数的性质

取样性

冲击偶

尺度变换奇偶性

复合函数形式的冲击函数1.与普通函数f(t)的乘积——取样性质（图）若f(t)在t=0、t=a处存在，则式1.4-23式1.4-24？

2.冲激函数的导数δ’(t)（冲激偶）

f(t)δ’(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)证明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定义：δ(n)(t)的定义：式1.4-25

3.δ(t)的尺度变换设有常数a（a≠0）证明见教材P21,变量替换推论:(1)例δ(2t)=0.5δ(t)当a=–1时，所以，当n为偶数时，δn(–t)=δn(t)为t偶函数，

当n为奇数时δn(–t)=–δn(t)为t奇函数

4.奇偶性已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)压缩，得g(2t)4.复合函数形式的冲激函数δ[f(t)]实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。§1.5系统的描述系统分类：按数学模型的不同,系统可分为:即时系统与动态系统;连续系统与离散系统;线性系统与非线性系统;时变系统与时不变(非时变)系统等等.

1.即时系统：在任意时刻的响应(输出信号)仅决定与该时刻的激励(输入信号),而与它过去的历史状况无关的系统（电阻串并联）2.动态系统：系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与它过去的历史状况有关的系统（有记忆元件(电容、电感等的电路）3.连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号；4.离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号；连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统1、系统的数学模型

数学模型:系统基本特性的数学抽象,是以数学表达式来表征系统的特性.

描述连续系统的数学模型是微分方程,

而描述离散系统的数学模型是差分方程。系统的描述•系统的数学模型

•系统的框图表示系统分析的基本思想：1.根据工程实际应用，对系统建立数学模型。

通常表现为描述输入－输出关系的方程。2.建立求解这些数学模型的方法。1.连续系统的解析描述

图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得二阶常系数线性微分方程抽去具有的物理含义，微分方程写成解：根据KVL有2.离散系统的解析描述y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即：y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则2.系统的框图表示

连续系统的基本单元离散系统的基本单元系统模拟系统的模型（微分方程、差分方程）：微分差分运算包含表示单元符号并连接成系统加法乘法用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系画出的图称为模拟框图，简称框图。1.连续系统的基本单元延时器加法器积分器数乘器乘法器注意：没有微分器？实际：用积分单元代替积分器的抗干扰特性比微分器的好。2.离散系统的基本单元加法器迟延单元数乘器3.系统模拟实际系统→方程→模拟框图例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)→实验室实现→指导实际系统设计已知方程画框图例二（见书p25）已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。x(t)x’(t)x’’(t)a0b2解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是x’(t),x’’(t)。左方加法器的输出为y(t)++++f(t)--a1b1b0已知框图写方程为了得到系统的微分方程，要消去x(t)及其导数。右方加法器的输出为以上三式相加并整理得：左方加法器的输出y(t)++++f(t)--x(t)x’(t)x’’(t)a0a1b2b1b0解：设辅助变量x(t)如图所示。由左端加法器得例：已知框图如下图所示，写出系统的微分方程。

x(t)

x’(t)

x’’(t)y(t)+++f(t)--3245由（2）式可知，响应y(t)是x(t)及其各阶导数的线性组合，因而以y(t)为未知变量的微分方程左端的系数应与式（1）相同。由（2）式得由右端加法器得y(t)+++f(t)--3245由左端加法器得例：已知框图，写出系统的差分方程。左边加法器：x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)右边加法器：y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去中间变量x(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)2y(k-1)=8x(k-2)+10x(k-3)3y(k-2)=12x(k-3)+15x(k-4)得y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)解：设辅助变量x(k)如图根据框图求系统数学模型的一般步骤：(1)选中间变量x(·)。对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t);对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为x(k)；（2）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量x(·)1.6系统的特性和分析方法连续的或离散的系统可分为：1、线性的和非线性的；2、时变的和时不变的；3、因果的和非因果的；4、稳定的和非稳定的。本书主要讨论线性时不变系统

y(t):系统的响应、f(t):系统的激励线性性质包括齐次性和可加性可加性：齐次性：f(·)→y(·)

y(·)

=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

综合，线性性质：1线性系统：满足线性性质的系统1）线性性质直观判断系统方法

方程中输入输出项都为一次项2）线性系统的条件⑴

动态系统响应不仅与激励{f

(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关,初始状态也称“内部激励”可分解性零状态线性完全响应为：y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零输入响应：yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]，零状态响应：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]零输入线性⑵动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：当初始状态x(0)=0时，零状态响应满足线性齐次和叠加，若x(0)不为零则要将外加激励和初始状态的作用分开讨论。

当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：①可分解性：

y(·)=yzs(·)+yzi(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]②零状态线性：T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}](齐次性)T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](可加性)或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(·)},{0}]+bT[{f2(·)},{0}]T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}](齐次性)T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}](可加性)或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]注：三个条件缺一不可③零输入线性：判断线性系统举例解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性。（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=|af(t)|≠ayzs(t)=a|f(t)|不满足零状态线性。故为非线性系统。例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2f(t)

yzs(t)=2f(t),yzi(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2

≠ayzi(t)=a[x(0)]2

不满足零输入线性。故为非线性系统。（3）

y(t)=x2(0)+2f(t)例2--1.23（1）：判断下列系统是否为线性系统？解：y

(t)=yzi(t)+yzs(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。2时不变系统与时变系统满足时不变性质的系统称为时不变系统。（1）时不变性质若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)则有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)系统的这种性质称为时不变性或(移位不变性）时不变系统参数不随时间变化，零状态响应形式与激励接入时间无关解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)

显然T[{0}，f(k–kd)]=y

(k–kd)故该系统是时不变的.(2)令g(t)=f(t–td)T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故该系统为时变系统。例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）y

(k)=f(k)f(k–1)（2）y

(t)=tf(t)（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)则有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=f(–t–td)而y

zs(t–td)=f[–(t–td)]，显然T[{0}，f(t–td)]≠y(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：若f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。（3）y(t)=f(–t)即若T[{0}，f(t)]=yzs(t)则有T[{0}，f(t-td)]=yzs(t-td)例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。一阶，线性、时变二阶，非线性、时不变练习：P38-1.24（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性①微分特性：若f(t)→yzs(t)，则f’(t)→y’zs(