第三章 协方差传播律-第二部分

韦建超湖南科技大学建筑学院误差理论与测量平差基础ErrorTheoryandfundationofsurveyingAdjustment测绘工程专业基础核心课程第三章：协方差传播律§1协方差传播律1§2协因数传播律2§3非线性函数广义传播律3§4广义传播律在测量中的应用4§5由真误差计算中误差及其应用5重点和难点广义传播律在测量中的应用非线性函数的广义传播律测量实践中的实际问题测量实践中的实际问题解决类似问题的方法就是：“协方差传播律”

or“广义传播律”§1协方差传播率观测值函数观测值线性函数非线性函数H=h1+h2+…hn一、线性函数协方差…或§1协方差传播律从方差定义入手：代入一、线性函数协方差§1协方差传播律结论：对于函数：纯量形式：其方差为：已知观测量方差求函数方差协方差传播定律一、线性函数协方差§1协方差传播律当Dxx为对角阵时写成纯量形式：“误差传播率”一、线性函数协方差§1协方差传播律L1L2L3例：对于右图所示三角形，观测向量为:方差为:对于函数:求方差：实践中已知观测值先验方差，求平差值精度的问题！一、线性函数协方差§1协方差传播律参照线性函数：令：得：由题意得：解：根据协方差传播公式：得：=同理可求二、多个观测值线性函数的协方差阵……§1协方差传播律参照线性函数：令：则r个线性函数可写成：二、多个观测值线性函数的协方差阵§1协方差传播律所不同的是：VS§1协方差传播律“多个观测值线性函数的协方差阵”“单个线性函数的协方差”形式上完全相同推导过程相同L1L2L3例：对于右图所示三角形，观测向量为:方差为:对于函数:求方差：实践中已知观测值先验方差，求平差值精度的问题！§1协方差传播律解：参照线性函数：其中：根据协方差传播公式：§1协方差传播律三、两组线性函数的互协方差有两组以X为变量的线性函数若已知X的方差阵DXX求Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY？§1协方差传播律由互协方差定义出发：其中E(Y)由数学期望传播律得：同理：同理：例：有函数已知X1、X2的协方差阵D12，求Y对Z的互协方差DYZ解：根据互协方差公式得：三、两组线性函数的互协方差§1协方差传播律协方差传播率小结若则若则§1协方差传播律§2协因数传播律对于函数精度，还可以用协因数来表示随机向量协因数已知待求函数协因数协因数传播律观测向量X的协因数QXX函数式：已知待求函数协因数阵及其协因数阵协因数传播律“权逆阵传播律”§2协因数传播律已知观测向量X1和X2的协因数Qx1x1,Qx2x2和互协因数Qx1x2，或写为：设有函数：试求Y关于Z的互协因数QYZ：例：§2协因数传播律解：函数式可写成：应用协因数传播律得：§2协因数传播律协因数传播律协方差传播律广义传播律归纳小结§3非线性函数的广义传播律设有观测值为的非线性函数为Xn×1且已知X的协方差阵DXX求

Y的方差阵DYY？解此类问题的关键将非线性方程线性化，转化成与线性问题如何线性化？方法1：将函数按泰勒级数展开。…余项§3非线性函数的广义传播律多元非线性函数………………§3非线性函数的广义传播律令：则：套用求方差协方差公式:……………………§3非线性函数的广义传播律………………令：…等价于非线性函数两边微分后：由：………即令：则非线性函数的全微分形式为：套方差传播公式得：我们需要的值：？§3非线性函数的广义传播律用协方差传播定律推导例：§3非线性函数的广义传播律解：1）对非线性函数两边全微分得：Z的权阵PZ：2）按协因数传播定律求得Z的协因数阵Qzz：其中：例：§3非线性函数的广义传播律解：（1）列函数式：由右图及坐标正算公式得：（2）线性化：（3）代入协方差传播公式：（4）计算点位误差：点位误差另一个计算公式：求函数协方差的步骤小结§3非线性函数的广义传播律39§4广义传播律在测量中的应用水准测量的精度一个量独立等精度观测算术中数的中误差

三角高程测量的精度距离丈量的精度广义传播律在测量中的应用水准测量方法是目前布设国家高程控制网的主要测量方法.水准测量的精度§4广义传播律在测量中的应用一、水准测量的精度§4广义传播律在测量中的应用一、水准测量的精度水准测量高差的中误差与距离（测站数）的平方根成正比K称为单位距离高差的中误差或每公里高差中误差。45解：即每公里观测高差中误差应小于等于5mm§4广义传播律在测量中的应用一、水准测量的精度8km8kmh2h1PAB例2：如图所示水准路线，由两已知水准点测两高差确定P点高程。要求P点高程的中误差小于等于10mm。问每公里的观测高差中误差应限定在什么范围内？（已知点高程无误差）令：则：令：则：§4广义传播律在测量中的应用一、水准测量的精度§4广义传播律在测量中的应用一、水准测量的精度解：22334449§4广义传播律在测量中的应用水准测量的精度一个量独立等精度观测算术中数的中误差

三角高程测量的精度距离丈量的精度50§4广义传播律在测量中的应用算数中数在测量中有着十分广泛的应用二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差

水平角的观测结果怎么计算呢？§4广义传播律在测量中的应用二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差

通常n>1，可见算术中数的精度好于单个观测值的精度一个量独立等精度的n

个观测量：§4广义传播律在测量中的应用二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差

§4广义传播律在测量中的应用二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差

02040608010000.10.20.30.40.50.60.70.80.9114920100不能单纯靠增加观测次数提高算术中数的精度如何提高算术中数的精度？算术平均数的权是单次观测的n倍前提：等精度观测§4广义传播律在测量中的应用二、一个量独立等精度观测算术中数的中误差

解：B

角最少要观测2个测回例：

在三角形ABC

中观测角度A、B，一测回中误差均为4″，其中A

角独立等精度观测了2个测回。若要求由A、B

算得C

角中误差不大于4″，则B角最少需要独立等精度观测多少测回？h（高差）S（水平距离）a（标高）i（仪器高）α三角高程测量是一种常用的高程测量方法三、三角高程测量的精度§4广义传播律在测量中的应用h（高差）S（水平距离）a（标高）i（仪器高）α此时角度的中误差应该取什么单位？三、三角高程测量的精度§4广义传播律在测量中的应用在传统的大地控制网中，通常边长比较长时三角高程测量高差的中误差与三角点间的距离成正比等级一等二等三等四等平均边长20km13km8km4km三、三角高程测量的精度§4广义传播律在测量中的应用59令：三角高程观测高差的权与两三角点间距离平方成反比三、三角高程测量的精度§4广义传播律在测量中的应用四、距离丈量的精度若每一尺段距离丈量的中误差为m，§4广义传播律在测量中的应用归纳小结中误差水准测量算术中数三角高程距离丈量权测量应用§4广义传播律在测量中的应用§5由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式63如何求各观测值的中误差？思路：转成“同精度观测”来求中误差§5由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式构造一组虚拟观测值对应的真误差关系为：由协因数传播律得：为等精度观测利用中误差估值公式得到中误差（或单位权中误差）：§5由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式结论：不等精度观测值的真误差计算单位权中误差估值的公式：不等精度观测值的改正数计算单位权中误差估值的公式：同理：§5由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式66观测值的中误差为：单位权中误差随着选择的不同而改变。§5由真误差计算中误差及其实际应用一、用不同精度的真误差计算单位权方差的公式三角测量方法是布设水平控制网的主要方法之一§5由真误差计算中误差及其实际应用二、由三角形闭合差求测角方差估值公式中国天文大地网二等三角网三角形闭合差为真误差§5由真误差计算中误差及其实际应用二、由三角形闭合差求测角方差估值公式n

个三角形的3n个独立等精度的角度观测量n

个独立等精度的三角形闭合差§5由真误差计算中误差及其实际应用二、由三角形闭合差求测角方差估值公式——菲列罗公式

Ferrero’sFormula应用：三角测量外业结束后用于估计测角中误差，初步评定测角观测量的精度等级一等二等三等四等测角中误差0.71.01.82.5§5由真误差计算中误差及其实际应用二、由三角形闭合差求测角方差估值公式71§5由真误差计算中误差及其实际应用三、由水准环线高差闭合差计算水准测量单位权方差估值的公式四、由双观测值之差求中误差（如水准测量中的往返测）双观测值得差数：求单位权中误差。§5由真误差计算中误差及其实际应用观测值的差数差数的真误差协方差传播律即：用不等精度观测的真误差计算公式得：双观测值之差的中误差§5由真误差计算中误差及其实际应用设分5段测定A、B两水准点间的高差，每段各测两次，其结果列于表3-1.试求：（1）每公里观测高差的中误差；（2）第二段观测高差的中误差；（3）第二段高差的平均值得中误差；（4）全长一次（往测或返测）观测高差的中误差及

全长高差平均值的中误差例：水准路线两次观测高差值水准路线两次观测高差值解：令C=1，即令1km观测高差为单位权观测值，其数值计算列于下表+8-8+7-8+56464496425Pi=1/Si16.020.024.524.67.492.5§5由真误差计算中误差及其实际应用(1)

单位权(每公里观测高差中误差）为：(2)

单位权(每公里观测高差中误差）为：(3)

第二段高差的平均值得中误差为：(4)全长一次（往测或返测）观测高差