第一章逻辑代数基础

《数字电子技术基础》（第四版）

教学课件

南京航空航天大学自动化学院

傅大丰电子信箱：fdf_nuaa@联系电话一章逻辑代数基础1.1数字电路的基本概念1.2逻辑代数中的三种基本运算1.3逻辑代数的基本公式和常用公式1.4逻辑代数的基本定理1.5逻辑函数及其表示方法1.6逻辑函数的公式化简法1.7逻辑函数的卡诺图化简法1.8具有无关项的逻辑函数及其化简1.1数字电路的基本概念1.1.1数字量和模拟量1.1.2数制和码制1.1.1数字量和模拟量一、模拟量与数字量模拟量——时间连续数值也连续的物理量。例如温度、速度等。数字量——在时间上和数值上均是离散的。如生产线上记录零件个数，啤酒生产线啤酒的个数等。

二、模拟信号与数字信号模拟信号——表示模拟量的信号（时间连续数值也连续的信号）。如热电偶在工作时输出的电压信号，温度等。数字信号——表示数字量的信号（在时间上和数值上均是离散的）。如电子表的秒信号，生产线上记录零件个数的记数信号等。

电子电路中的信号模拟信号数字信号时间连续的信号时间和幅度都是离散的例：正弦波信号、锯齿波信号等。例：产品数量的统计、数字表盘的读数、数字电路信号等。模拟信号tV(t)tV(t)数字信号高电平低电平上跳沿下跳沿5V(V)0t(ms)1020304050数字信号在电路中常表现为突变的电压或电流。

模拟电路——指工作在模拟信号下的电子电路。数字电路——指工作在数字信号下的电子电路。

三、模拟电路与数字电路模拟电路主要研究内容：输入、输出信号间的大小、相位、失真等方面的关系。主要采用电路分析方法，动态性能则用微变等效电路分析。在模拟电路中，晶体管一般工作在线性放大区；在数字电路中，三极管工作在开关状态，即工作在饱和区和截止区。数字电路主要研究内容：电路输出、输入间的逻辑关系。主要的工具是逻辑代数，电路的功能用真值表、逻辑表达式及波形图表示。模拟电路与数字电路比较1）电路的特点2）研究的内容模拟电路研究的问题基本电路元件:基本模拟电路:晶体三极管场效应管集成运算放大器

信号放大及运算(信号放大、功率放大）信号处理（采样保持、电压比较、有源滤波）信号发生（正弦波发生器、三角波发生器、…）3）研究的问题数字电路研究的问题基本电路元件基本数字电路

逻辑门电路

触发器

组合逻辑电路时序电路（寄存器、计数器、脉冲发生器、脉冲整形电路）

A/D转换器、D/A转换器

有两种逻辑体制：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

下图为采用正逻辑体制所表示的逻辑信号：四、正逻辑与负逻辑

数字信号是一种二值信号，用两个电平（高电平和低电平）分别来表示两个逻辑值（逻辑1和逻辑0）。

逻辑0

逻辑0

逻辑0

逻辑1

逻辑1

负逻辑，如何？

五、数字信号的主要参数

一个理想的周期性数字信号，可用以下几个参数来描绘：

Vm——信号幅度。

T——信号的重复周期。

tW——脉冲宽度。

q——占空比。其定义为：

5V(V)0t(ms)twTVm

图中所示为三个周期相同（T=20ms），但幅度、脉冲宽度及占空比各不相同的数字信号。

1.1.2数制一、几种常用的计数体制

1.十进制(Decimal)

2.二进制(Binary)

3.十六进制(Hexadecimal)与八进制（Octal）逢N进一，N＝10，2，16，8，

N称为基数十进制：以十为基数的记数体制。表示数的十个数码：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0遵循逢十进一的规律。157=一个十进制数数N可以表示成：若在数字电路中采用十进制，必须要有十个电路状态与十个记数码相对应。这样将在技术上带来许多困难，而且很不经济):。二进制：以二为基数的记数体制。表示数的两个数码：0、1遵循逢二进一的规律。（1001）B==(9)D二进制的优点：用电路的两个状态---开/关来表示二进制数，数码的存储和传输简单、可靠。二进制的缺点：位数较多，使用不便；不合人们的习惯，输入时将十进制转换成二进制，运算结果输出时再转换成十进制数。十六进制和八进制十六进制记数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15)(4E6)H=4162+14161+6160=(1254)D(F)H(1111)B说明：十六进制的一位对应二进制的四位。

十六进制与二进制之间的转换。Hexadecimal：十六进制的Decimal：十进制的Binary：二进制的(0101

1001)B=[027+126+025+124+123+022+021+120]D=[(023+122+021+120)161+(123+022+021+120)160]D=(59)H每四位2进制数对应一位16进制数(10011100101101001000)B=从末位开始四位一组(1001

1100

1011

0100

1000)B()H84BC9=(9CB48)H八进制与二进制之间的转换。(10011100101101001000)O=从末位开始三位一组(10011

100101101001

000)B

()O01554=(2345510)O32八进制记数码：0、1、2、3、4、5、6、7(7)O(111)B说明：八进制的一位对应二进制的三位。例1.1.1

将二进制数10011.101转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得

(10011.101)B＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＋1×2－1＋0×2－2＋1×2－3

＝（19.625)D二、不同数制之间的相互转换

1)二进制转换成十进制两边除2，余第0位K0商两边除2，余第1位K1十进制与二进制之间的转换方法：可以用二除十进制数，余数是二进制数的第0位K0，然后依次用二除所得的商，余数依次是第1位K1

、第2位K2

、……。……

2)十进制转换成二进制例1.1.2

将十进制数23转换成二进制数。

解：用“除2取余”法转换:

则（23)D=（10111)B225余1K0122余0K162余0K232余1K312余1K40例1.1.3：十进制数25转换成二进制数的转换过程：(25)D=(11001)B三、二进制码数字系统的信息数值文字符号二进制代码编码为了表示字符代码——不同数码不仅可以表示数量的不同大小，而且还能用来表示不同的事物。如身份证，汽车牌照等。码制——编码时遵循的一定的规则。南京身份证为3201XXXXX。为了分别表示N个字符，所需的二进制数的最小位数：

编码可以有多种，数字电路中所用的主要是二–十进制码（BCD-Binary-Coded-Decimal码）。BCD码——用二进制代码来表示十进制的0～9十个数。

要用二进制代码来表示十进制的0～9十个数，至少要用4位二进制数。

4位二进制数有16种组合，可从这16种组合中选择10种组合分别来表示十进制的0～9十个数。

选哪10种组合，有多种方案，这就形成了不同的BCD码。

每一位十进制数都用四位二进制数示。

四位二进制数中的每一位都有固定的权值。（1）8421BCD码每一位的权值从高位到低位分别为：

BCD码具有十进制数的特点、二进制数的形式。是人-机对话的中间表示。23

,22

,21,20

即：8,4,2,1BCD码分为有权BCD码和无权BCD码1）有权BCD码：特点：1、每个十进制数用四位二进制数表示。3、8421码和十进制数之间直接按位转换。2、四位二进制数有16种状态组合，8421码只用了前十种，1010～1111六种没有使用，是禁用码。位权值00000100012001030011401005010160110701118100091001十进制数8421

例1.1.4:(37.86)10=(?)8421BCD=(0011,0111.1000,0110)8421BCD一位十进制数，用四位二进制数表示。例2:(011000101000.10010101)8421BCD=(?)10四位二进制数,可以表示一位十进制数。=(0110，0010，1000.1001，0101)8421BCD=(628.95)10十进制数位权值300114010051000610017101081011911000000010001200105421特点：1、每一位的权值从高位到低位分别为：5，4,2,1

2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。（1011)5421BCD=1X5+0X4+1X2+1X1=(8)104、5421BCD码和十进制之间可直接按位转换。（645.89)10=(?)5421BCD

=(100101001000.10111100)5421BCD（2）、5421码特点：1、每一位的权值从高位到低位分别为：2，4，2，1

。2、前五位与8421码相同。3、直接按权展开求十进制。4、2421BCD码和十进制之间可直接按位转换。5、2421BCD码具有对9的自补特性。000011110001111000101101按位求反（3）、2421码特点：1、无权BCD码，没有确定的位权值。2、不能按位权展开求十进制。3、有自身特点，根据使用条件，按需选用。2)无权BCD码：特点：1、比8421BCD码多出0011所以称为余3码。余3码=8421码+00112、余3码，没有确定的位权值只能理解记忆和十进制之间的关系。3、余3码也是一种对9的自补代码。0011110001001011（1）、余三码1、编码无规律。2、两个相邻码组之间，只有一个码元不同,是一种高高可靠性编码。

一般在高分辨率设备中采用这种编码形式，以避免计数过程出现误码。（2）、余三码循环码位权0123456789十进制数842100000001001000110100010101100111100010018421码242100000001001000110100101111001101111011112421码0011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001000100110101011110054215421码无权余3码

常用BCD码000000010010001101100111100010011010101111011110111101011100010001236789101113141551240123578964012356789403456782910123678549二进制数自然码8421码2421码5421码余三码强调1点：

8421码与8421BCD码是不同的。8421码是上表中的自然码。1.1.3算术运算和逻辑运算

在数字电路中，1位二进制数码可以用0和1来表示。这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。

二值逻辑所表示的是一对互为相反的状态，所表示的变量与函数值仅有两个特征值0和1，具有排中性。

当两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算称为算术运算。

二进制和十进制算术运算的规则基本相同，唯一区别在于二进制数是逢二进一而不是逢十进一。例：两个二进制数1001和0101的算术运算有：加法运算10011110＋0101减法运算1001－01010100乘法运算1001X010110010000100100000101101100101011.01011000101010110101010010从以上运算过程可以看出：乘法运算：可以用加法和左移移位两种操作实现。除法运算：可以用减法和右移移位两种操作实现。

二进制数的加、减、乘、除运算都可以用加法运算电路来实现。除法运算如何将减法运算变为加法运算？

在数字电路和数字电子计算机中，二进制数的正、负号也用0和1表示。

在定点运算的情况下；最高位作为符号位，正数为0，负数为1。其余各位0和1表示数值。这种方式表示的数码称为原码。例：(01011001)2=(+89)10(11011001)2=(-89)10在数字电路中两数相减的运算是用补码相加来完成。二进制数编码定义为：

最高位作为符号位，正数为0，负数为1；

正数的补码和它的原码相同；

负数的补码是将原码求反加1；然后将两个补码相加并舍去进位01001＋11011100100所以：（1001）2－（0101）2＝01001＋11011＝00100将减法运算变为加法运算，简化了运算电路结构。

当两个二进制数码表示不同的逻辑状态时，它们之间可以按照指定的某种因果关系进行逻辑运算。逻辑运算和算术运算有着本质上的区别。因此将重点介绍逻辑运算的各种规律。例：计算（1001）2－（0101）2

采用补码运算时，首先求出（＋1001）2和（－0101）2的补码。＋1001补＝01001－0101补＝11011

1.2逻辑代数中的三种基本运算一．基本定义与运算

代数是以字母代替数,称因变量为自变量的函数,函数有定义域和值域。——这些都是大家耳熟能详的概念。

如或

当自变量的取值（定义域）只有0和1（非0即1），函数的取值也只有0和1（非0即1）两个数——这种代数就是逻辑代数，这种变量就是逻辑变量，这种函数就是逻辑函数。

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（GeorgeBoole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价值。其规定：所有可能出现的数只有0和1两个。基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。二、基本逻辑运算设：开关闭合=“1”

开关不闭合=“0”

灯亮，L=1

灯不亮，L=0

与逻辑——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。1．与运算与逻辑表达式：AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮不亮不亮亮0101BLA0011输入0001输出

与逻辑真值表真值表特点:

任0则0,全1则1与逻辑运算规则：0•0=00•1=01•0=01•1=1L=AANDB=A&B=A·B=AB与运算逻辑乘逻辑与国外符号国内符号2．或运算或逻辑表达式：

L＝A+B

或逻辑——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。AB灯L不闭合不闭合闭合闭合不闭合闭合不闭合闭合不亮亮亮亮0101BLA0011输入0111输出

或逻辑真值表或逻辑运算规则：或运算逻辑加逻辑或真值表特点：

任1则1,全0则0。Y=AORB=A+B0+0=00+1=11+0=11+1=1国外符号国内符号3．非运算

非逻辑——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。A灯L闭合不闭合不亮亮LA0110非逻辑真值表非逻辑表达式：

非逻辑运算规则：非运算逻辑非逻辑反真值表特点:1则0,0则1。国外符号国内符号

二、其他复合逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑关系，任何其它的逻辑关系都可以以它们为基础表示。1.与非：条件A、B都具备，则Y不发生。0101BYA0011输入1110输出

“与非”真值表与非

——由与运算和非运算组合而成。2．或非

——由或运算和非运算组合而成。0101BLA0011输入1000输出

“或非”真值表或非：条件A、B任一具备，则L不发生。3．与或非

——由与运算、或运算和非运算组合而成。4．异或

异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。0101BLA0011输入0110输出

“异或”真值表异或的逻辑表达式为：异或：条件A、B有一个具备，另一个不具备则L发生。任何其它的逻辑关系都可以用与、或、非表示，异或怎么表示？Y=A⊙BABY0010100011

同或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为1；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为0。5．同或同或：条件A、B相同，则F发生。同或与异或是甚么关系？基本逻辑关系小结

逻辑符号表示式与&ABYABY≥1或非1YAY=ABY=A+B与非&ABY或非ABY≥1异或=1ABYY=AB§1.3逻辑代数的基本公式和常用公式数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。1.3.1逻辑代数的基本运算规则加运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算规则:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算规则:一、逻辑代数的基本公式

3.1逻辑代数吸收律反演律分配律结合律交换律重叠律互补律公式10—1律对合律名称公式2基本公式1.3.2基本公式普通代数不适用!A+B•C=(A+B)(A+C)分配律如何证明？1）真值表－万能的2）已有的公式、定律求证:

（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边

=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边反演律可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De

•Morgan)定理：1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收吸收规则是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。长中含短，留下短。1.3.3

若干常用公式－六大定理定理1：A+A·B=A说明在两个乘积项相加时，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的，可以删除。

反过来用，才是最重要的！反变量的吸收：证明：例如：被吸收长中含反，去掉反。2.定理2：3.定理3证明：例如：1吸收正负相对，余全完。（混合变量的吸收）5.定理5A·(A+B)=A

证明：A·(A+B)=A·A+A·B=A+A·B=A·(1+B)=A·1=A定理5说明变量A和包含A的和相乘时，其结果为A，即可以将和消去。扩展一下：A（A＋f（x））＝A4.定理4：A·B+A·B=A

证明：A·B+A·B=A(B+B)=A·1=A6.定理6:A·A·B=A·B；A·A·B=A

证明：A·A·B=A·(A+B)=A·A+A·B=A·B

该式说明：当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的一个因子时，则乘积项的A因子可以消去。6.定理6－2；A·A·B=A

证明：

A·A·B=A·(A+B)=A·A+A·B=A·(1+B)=A

该式说明：当A和一个乘积项的非相乘，且A为乘积项的一个因子时，则结果就为A。1.4逻辑代数的基本定理1.4.1代入定理

对逻辑等式中的任意变量A,若将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数,则等式仍然成立.

逻辑代数有三条重要规则，即代入定理、反演定理和对偶定理。这些定理在逻辑运算中十分有用。

原理为：变量A仅有0和1两种可能状态，同时任何一个逻辑式的取值也不外乎0和1，所以代入定理成立！利用它可以实现基本公式和常用公式的多变量的形式。

例如:分配律A(B+C)=AB+AC,若等式中的C都用(C+D)代替,则该等式仍然成立,即

A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)

注意:等式中所有出现同一变量的处均以一同函数代替.1．4．2反演定理

对已知逻辑函数F求“反”函数，只要将F中所有的“·”变“+”，“+”变“·”，0变1，1变0，原变量变成反变量，反变量变成原变量，即可，这就是反演规则。

上述的原变量指变量本身，反变量指变量的“反”，如A是原变量，而是A反变量。

反演定理内容：将函数式

F

中所有的•++•变量与常数均取反

（求反运算）互补运算1.运算顺序：先括号再乘法后加法。2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F'显然：(变换时，原函数运算的先后顺序不变)反演定理可表示成：如果Z=F（A，B，…,·,+,0,1）则

=F（，，…,+,·,1,0）反演定理的基础是狄·摩根定理，它表述如下：

=式（1）

式（2）

我们先来证明式（2）：

若A，B，C……全为0，则左边=

=1,

右边=·

·

…=1

如果其中一个变量为1，则：等式两边都为0，因而等式成立。如果更多的变量为1，则：等式两边仍为0，等式成立。

证明前式，利用代入规则，将后式中的A，B，C…分别换成,,即可得：=…=ABC…从而有：==+++…

摩根定理说明：多变量乘积的“反”等于各变量“反”的和，而多变量和的“反”等于各变量“反”的积。也就是“·”变“+”，“+”变”“·”后各变量求“反”。

由于任何逻辑函数都是有很多的与,加，以及求“反”的组合，求其反函数可以逐步用摩根定理，每步都符合上述原则，则最终结果也是符合这个规则的。例1．4．1．求Z=AB+B（C+）的反函数。

解：==·=（++C）（A++D）

以上是分步用摩根定理，用反演定理可直接得到结果。

例1．4．2求Z=A+A+FB（C+）的反函数解：=（+E）（++D）注意：=+E++D则是错误的（即应先“*”后“+”）

例1.4.3若Y=求=（不属于单个变量上的反号应保留不变）

例1.4.4

：与或式注意括号注意括号例1.4.5：与或式反号不动反号不动1．4．3．对偶定理

将逻辑函数F中所有的“·”变“+”，“+”变“·”，1变0，0变1，而变量保持不变，这样得到的新的函数称为原函数的对偶式，记作。

若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等。这样，有时为了证明两个逻辑函数相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，因为有些情况下，证明它们的对偶式相等更容易。与反演定理不同的地方

对偶规则是各基本法则、定律具有对偶性的必然结果（例公式（1）-（8）成立，则公式（11）-（18）已无须另作证明，因子可逐个检查。

例：第一分配律是：A（B+C）=AB+AC

其对偶式是：A+BC=（A+B）（A+C）这就是第二分配律

1.5逻辑函数及其表示方法解：第一步：设置自变量和因变量。第二步：状态赋值。

对于自变量A、B、C设：同意为逻辑“1”，不同意为逻辑“0”。

对于因变量L设：事情通过为逻辑“1”，没通过为逻辑“0”。1.5.1

、逻辑函数的建立例1.5.1

三个人表决一件事情，结果按“少数服从多数”的原则决定，试建立该逻辑函数。第三步：根据题义及上述规定列出函数的真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表决电路真值表

一般地说，若输入逻辑变量A、B、C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的逻辑函数，写作：

L=f（A，B，C…）

逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个突出的特点：（1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。（2）函数和变量之间的关系是由“与”、“或”、“非”三种基本运算决定的。四种表示方法逻辑代数式

(逻辑表示式,逻辑函数式)11&&≥1ABY

逻辑电路图:卡诺图n个输入变量种组合。真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。

1.5.2、逻辑函数的表示方法将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。n个变量可以有2n个输入状态。1）真值表列真值表的方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。例如：2）逻辑函数式

逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。例：3）逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。&AB&CD1FF=AB+CD例1.5.2

列出下列函数的真值表：

1．真值表——将输入逻辑变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起而组成的表格。

2．函数表达式——由逻辑变量和“与”、“或”、“非”三种运算符所构成的表达式。

由真值表可以转换为函数表达式。例如，由“三人表决”函数的真值表可写出逻辑表达式：解：该函数有两个变量，有4种取值的可能组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。000001010011100101110111ABC00010111

L三人表决电路真值表

反之，由函数表达式也可以转换成真值表。真值表00011011AB1001

L三种表示方法相互转换

3．逻辑图——由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。例1.5.4

写出如图所示逻辑图的函数表达式。由函数表达式可以画出逻辑图。解：可用两个非门、两个与门和一个或门组成。例1.5.3

画出函数

的逻辑图：

由逻辑图也可以写出表达式。解：LogicalFunctionCAD三种表示方法相互转换

1、DigitalDesignsoftware2、DIY？1.6逻辑函数的公式化简法1．逻辑函数式的常见形式

一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。例如：与——或表达式或——与表达式与非——与非表达式或非——或非表达式与——或——非表达式其中，与—或表达式是逻辑函数的最基本表达形式。2．逻辑函数的最简“与—或表达式”的标准

3．用代数法化简逻辑函数（1）并项法：运用公式将两项合并为一项，消去一个变量。例：（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·

”号最少。（4）配项法：

（2）吸收法：（3）消去法：运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。例：例：运用吸收律消去多余因子。先通过乘以或加上，增加必要的乘积项，再用以上方法化简。例：

在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。例1.6.1

化简逻辑函数：

解：（利用）（利用A+AB=A）（利用

）例1.6.2

化简逻辑函数：

解：（利用反演律）

（利用）

（利用A+AB=A）（配项法）

（利用A+AB=A）（利用）由上例可知，有些逻辑函数的化简结果不是唯一的。

解法1：例1.6.3

化简逻辑函数：

（增加多余项）（消去一个多余项）（再消去一个多余项）

解法2：（增加多余项）

（消去一个多余项）（再消去一个多余项）代数化简法的优点：不受变量数目的限制。

缺点：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；不易判定化简结果是否最简。Question:怎么判断最简？上式中为两个异或的或，提示一下：L＝f（A，B，C）补充：试用代数法将逻辑函数式化简为最简或与式。

1.7逻辑函数的卡诺图化简法

一、

最小项的定义与性质

最小项——n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。

ABC000001010011100101110111变量取值最小项m0m1m2m3m4m5m6m7编号

三变量函数的最小项最小项mi：mi是乘积项包含n个因子n个变量均以原变量和反变量的形式在mi中出现一次对于n变量函数有2n个最小项

逻辑函数的标准形式：

最小项之和

最大项之积

最小项的性质在输入变量任一取值下，有且仅有一个最小项的值为1全体最小项之和为1任何两个最小项之积为0两个相邻的最小项之和可以合并，消去一对因子，只留下公共因子。

------相邻：仅一个变量不同的最小项如之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。逻辑相邻逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子二、逻辑函数的最小项表达式

解：

=m7+m6+m3+m1

解：

=m7+m6+m3+m5=∑m（3,5,6,7）

任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。

例1：将函数转换成最小项表达式。

例2：

将函数转换成最小项表达式。三、卡诺图

2.卡诺图

一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。

1．相邻最小项

如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。

如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如最小项ABC和就是相邻最小项。如：

实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。最小项：输入变量的每一种组合。ABY001011101110AB01010111输出变量Y的值输入变量例1：二输入变量卡诺图卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。卡诺图的画法逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111输入变量输出变量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三输入变量卡诺图注意：00与10逻辑相邻。ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010单元对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为无所谓状态。只有一项不同例3：四输入变量卡诺图有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0ABC编号

00000011010201131004101511061117ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号:3．卡诺图的结构（2）三变量卡诺图

（1）二变量卡诺图

A

Bm0m1m3m2

AB

00

01

11

10m0m1m3m2m4m5m7m6

A

B

Cm0m1m3m2m4m5m7m6

BC

00

01

11

10

A

01（3）四变量卡诺图

卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。

m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m10

C

DAB

CD

00

01

11

10

AB

00

01

11

10(4)五变量的卡诺图

已经不能直观地用平面上的几何相邻表示逻辑相邻，以中轴左右对称的最小项也是相邻的因此，超过4个变量后，卡诺图失去直观性的优点，一般不用这种方法表示，以及化简函数。

四、用卡诺图表示逻辑函数

1．从真值表到卡诺图例1.7.3

已知某逻辑函数的真值表，用卡诺图表示该逻辑函数。解：

该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。000001010011100101110111ABC00010111L

真值表ABC0000111110

A

B

C111100002．从逻辑表达式到卡诺图（2）如不是最小项表达式，应先将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可由“与——或”表达式直接填入。（1）如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。解：写成简化形式：解：直接填入：例1.7.4

用卡诺图表示逻辑函数:然后填入卡诺图：例1.7.5

用卡诺图表示逻辑函数：

C

D

A

B

GF

BC

00

01

11

10

A

01111100001111110000000000

五、逻辑函数的卡诺图化简法

1．卡诺图化简逻辑函数的原理:（1）2个相邻的最小项可以合并，消去1个取值不同的变量。（2）4个相邻的最小项可以合并，消去2个取值不同的变量。

C

A

B

D1111111

C

A

B

D11111111（3）8个相邻的最小项可以合并，消去3个取值不同的变量。总之，2n个相邻的最小项可以合并，消去n个取值不同的变量。

C

A

B

D111111111111ABCD0001111000011110错误示例：2．用卡诺图合并最小项的原则（画圈的原则）

（1）尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。要特别注意对边相邻性和四角相邻性。（2）圈的个数尽量少。（3）卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（4）在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。

3．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。例1.7.6

化简逻辑函数：

L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表达式画出卡诺图。（2）画包围圈，

合并最小项，

得简化的

与—或表达式:

C

A

B

D1111111111100000解：（1）由表达式画出卡诺图。注意：图中的绿色圈

是多余的，应去掉。例1.7.7

用卡诺图化简逻辑函数：（2）画包围圈合并最小项，得简化的与—或表达式:

C

A

B

D1111111100000000例1.7.8

已知某逻辑函数先画真值表，用卡诺图化简该函数。（2）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：解：（1）由真值表画出卡诺图。

由此可见，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。

（a）：写出表达式：

（b）：写出表达式：000001010011100101110111ABC01111110L

真值表10110111

A

B

C

L10110111

A

B

C

L4．卡诺图化简逻辑函数的另一种方法——圈0法例1.7.9

已知逻辑函数的卡诺图如图示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与—或式。（2）用圈0法，得：

解：（1）用圈1法，得：对L取非得：

C

A

B

D1101111011111111

C

A

B

D1101111011111111约束项任意项逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。在逻辑函数中，对输入变量取值的限制，在这些取值下为1的最小项称为约束项在输入变量某些取值下，函数值为1或为0不影响逻辑电路的功能，在这些取值下为1的最小项称为任意项1.8具有无关项的函数及其化简

1．无关项——在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取值组合所对应的最小项称为无关项、任意项或约束项。

例1.8.1：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停