第1讲菱形(基础)知识精讲

菱形〔根底〕【学习目标】理解菱形的概念.把握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特别条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特别性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴〔对角线所在的直线.要点诠释〔1成完全全等的两局部.〔2〕菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半〔即四个小直角三角形面积之和〕.实际上，任何一个对角线相互垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.〔3〕.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.对角线相互垂直的平行四边形是菱形.四条边相等的四边形是菱形.在四边形的根底上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1〔广安〕如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB1〔广安〕如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥ABABE，CF⊥AD交【思路点拨】连接AC，依据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再依据角平分线的CE=FCHLRt△CDF≌Rt△CBEDF=BE．【答案与解析】AC，ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．Rt△CDFRt△CBE中，CDCBCE，RCD≌R△CBH，∴DF=BE．距离相等．同时考察了全等三角形的判定与性质．举一反三：1〔温州模拟〕如图，在菱形ABCDEAB上的一点，连接DEAC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，，∴在△BCO和△DCO中，，∴BCO≌DC〔SA，∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，假设周长为8，则此菱形的高等于( )．1A.2 B.4 C.1 D.2【答案】C；1提示：由题意，∠A＝30°22×2＝1.是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如下图，AD是△ABC的角平分线，EFAD，分别交ABE，交AC于FAEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵EFAD，∴△AOF与△DOFEF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF相互垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如下图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE3、如下图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFGAG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴AE＝AG．∴EF AG．∴∠4＝∠∴AE＝AG．∴EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴AG＝FG．∴AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如下图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过AAG∥DBCBG．假设∠G＝90°DEBF是菱形．【答案】证明：(1) ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵E、FAB、CD的中点1 1∴DF＝

DC，BE＝AB2 2∴DF∥BE．DF＝BEDEBF为平行四边形∴DE∥BF(2)证明：∵AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵1∴BF＝2

DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形40.3m40.3m0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影局部为淡黄色花纹，中间局部为白色，现有一面4.2 宽2.8m的墙壁预备贴如下图规格的瓷砖．试问：这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?全部贴满后，这面墙壁会消灭多少个面积一样的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷