平面问题中一点的应力状态

平面问题中一点的应力状态第一页，共八十二页，2022年，8月28日求解：取出一个三角形微分体（包含面，面，面），边长问题斜面应力表示：第二页，共八十二页，2022年，8月28日yxPAPBppxpyτNσNn平面问题中一点的应力状态几何参数：设AB面面积=ds，PB面积=lds，PA面积=mds。斜面上应力分解为：由∑Y=0得：第三页，共八十二页，2022年，8月28日由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）斜面应力其中：l=cos(n,x),m=cos(n,y)。第四页，共八十二页，2022年，8月28日平面问题中一点的应力状态yxPAPBppxpy斜面上应力分解为：τNσN（2-4）（2-5）已知P点应力σxσyτxy可求出过P点任意斜面上的正应力和剪应力（σNτN）利用（2-4）（2-5）应力在x，y轴上的投影（px，py）利用（2-3）n第五页，共八十二页，2022年，8月28日说明：（1）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。（3）若AB面为物体的边界S，则（2-18）——平面问题的应力边界条件yxPAPBppxpyτNσNn第六页，共八十二页，2022年，8月28日主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平面主平面上的应力叫主应力。σpxpyyxAPBnσ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0第七页，共八十二页，2022年，8月28日σpxpyyxAPBn注意:①平面应力状态下,任一点一般都存在两个主应力。二者方向互相垂直。②σ1+σ2=σx+σy③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。④最大剪应力所在平面与主平面相交45°，其值为⑤主平面上剪应力等于零，但τmax

作用面上正应力一般不为零。而是：第八页，共八十二页，2022年，8月28日将x，y放在方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）求最大，最小应力最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)第九页，共八十二页，2022年，8月28日最大、最小剪应力由显然，当时，τN为最大、最小值：由得，τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。xyOdxdydsPABNs第十页，共八十二页，2022年，8月28日小结：（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18）——平面问题的应力边界条件（1）斜面上的应力第十一页，共八十二页，2022年，8月28日（2-8）表明：σ1与σ2互相垂直。（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力（2-7）τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。第十二页，共八十二页，2022年，8月28日注意：与的符号规定（主应力方向逆时针转到x轴为正）例：已知平面一点的应力状态为。求该点的主应力和主平面方向。解：平面问题的基本理论第十三页，共八十二页，2022年，8月28日试证明：在发生最大和最小剪应力的面上,正应力的

数值都等于两个主应力的平均值。第十四页，共八十二页，2022年，8月28日例题已知X=q，

y=0，xy=

-2q，求：1，2，α11=2.562q

2=-1.562qtgα1=-0.781α1=-37.99o=-37o59`第十五页，共八十二页，2022年，8月28日问题：平面问题中，(a)已知一点的应力为，那么任一方向的正应力n为

n为

;（b）已知那么

第十六页，共八十二页，2022年，8月28日§2-6边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）（3）物理方程：（2-15）未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。第十七页，共八十二页，2022年，8月28日位移边界条件

－－设在部分边界上给定位移分量和,则有（在上)。（a）边界条件

－－表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。第十八页，共八十二页，2022年，8月28日⑵若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在上）。（b）⑶它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。 ⑴它是函数方程，要求在上每一点，位移与对应的约束位移相等。第十九页，共八十二页，2022年，8月28日通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件－－设在上给定了面力分量（在A中）。（c）第二十页，共八十二页，2022年，8月28日将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:第二十一页，共八十二页，2022年，8月28日⑴它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：⑶式（c）在A中每一点均成立，而式（d）只能在边界

s上成立；⑵它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；第二十二页，共八十二页，2022年，8月28日⑹所有边界均应满足，无面力的边界（自由边）也必须满足。⑷式（d）中，－－按应力符号规定，，－－按面力符号规定；⑸位移,应力边界条件均为每个边界两个，分别表示，向的条件；说明第二十三页，共八十二页，2022年，8月28日若x=a为正x面，l=1,m=0,则式(d)成为当边界面为坐标面时，坐标面第二十四页，共八十二页，2022年，8月28日若x=-b为负x面，l=-1,m=0,则式(d)成为第二十五页，共八十二页，2022年，8月28日应力边界条件的两种表达式：两种表达式⑵在同一边界面上，应力分量应等于对

应的面力分量（数值相等，方向一

致）。即在同一边界面上,应力数值应等于面力数值(给定),应力方向应同面力方向(给定)。⑴在边界点取出微分体，考虑其平衡条

件，得式（d）或（e），（f）；第二十六页，共八十二页，2022年，8月28日在斜面上，

在±坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（e），（f）有区别。例如：两种表达式第二十七页，共八十二页，2022年，8月28日例 列出边界条件：第二十八页，共八十二页，2022年，8月28日如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)第二十九页，共八十二页，2022年，8月28日例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N第三十页，共八十二页，2022年，8月28日例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：第三十一页，共八十二页，2022年，8月28日例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用第三十二页，共八十二页，2022年，8月28日例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例6第三十三页，共八十二页，2022年，8月28日例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：第三十四页，共八十二页，2022年，8月28日图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：N第三十五页，共八十二页，2022年，8月28日（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：——位移边界条件——应力边界条件图(b)：——位移边界条件——应力边界条件第三十六页，共八十二页，2022年，8月28日⑴部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；混合边界条件混合边界条件：⑵同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。第三十七页，共八十二页，2022年，8月28日例3

列出的边界条件：第三十八页，共八十二页，2022年，8月28日

弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理及其应用圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。第三十九页，共八十二页，2022年，8月28日如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理：第四十页，共八十二页，2022年，8月28日圣维南原理1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：4.远处─指“近处”之外。3.近处─指面力变换范围的一，二倍的局部区域；2.静力等效─指两者主矢量相同，对同一点主矩也相同；第四十一页，共八十二页，2022年，8月28日圣维南原理圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。第四十二页，共八十二页，2022年，8月28日例1 比较下列问题的应力解答：b第四十三页，共八十二页，2022年，8月28日举例：如何在局部边界上应用圣维南原理局部边界，小边界或次要边界。举例：圣维南原理的应用PPPP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/AP/AP第四十四页，共八十二页，2022年，8月28日例2 比较下列问题的应力解答：推广第四十五页，共八十二页，2022年，8月28日

圣维南原理的应用：

1.推广解答的应用；

2.简化小边界上的边界条件。应用第四十六页，共八十二页，2022年，8月28日圣维南原理在小边界上的应用：⑴精确的应力边界条件如图，考虑小边界，第四十七页，共八十二页，2022年，8月28日

上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。(a)在边界上，第四十八页，共八十二页，2022年，8月28日在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界x=l上，应力的主矢量=

面力的主矢量（给定);应力的主矩(M)=

面力的主矩（给定）.数值相等,方向一致.(b)⑵圣维南原理的应用─积分的应力边界条件第四十九页，共八十二页，2022年，8月28日右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。第五十页，共八十二页，2022年，8月28日具体列出3个积分的条件：第五十一页，共八十二页，2022年，8月28日即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。

式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：

应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，

应力的主矩的正方向，即（正应力）×（正的矩臂）的方向。第五十二页，共八十二页，2022年，8月28日讨论：

1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；2.在负

x面，，由于应力，面力的符号规定不同，应在式(c)中右端取负号；3.积分的应力边界条件(b)或(c)虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。第五十三页，共八十二页，2022年，8月28日

精确的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数

2 3方程性质

函数方程（难满足）

代数方程（易满足）精确性

精确 近似适用边界 大，小边界小边界比较：第五十四页，共八十二页，2022年，8月28日例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：注意：必须按正向假设！第五十五页，共八十二页，2022年，8月28日上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。注意：必须按正向假设！由微元体的平衡求得，第五十六页，共八十二页，2022年，8月28日例：试问图所示的两个问题中OA边的面力是否是静力等效的（厚度设为1）并写出积分边界条件？第五十七页，共八十二页，2022年，8月28日例题试列出图(a)(b)的边界条件。解:

(a)对于图(a)的问题,在主要边界y=±h/2

应精确满足下列边界条件：次要边界(b)在主要边界x=0,b,应精确满足下列边界条件:在小边界

y=0第五十八页，共八十二页，2022年，8月28日应用：PPAA截面应力边界条件：近似满足注意：静力等效平面问题的基本理论第五十九页，共八十二页，2022年，8月28日思考题1、为什么在大边界（主要边界）上，不能应用圣维南原理？2、试列出负面上积分的应力边界条件，设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。第六十页，共八十二页，2022年，8月28日(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界第六十一页，共八十二页，2022年，8月28日⑴平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将进行变换。以下讨论平面应力问题。1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题§2－7按位移求解平面问题第六十二页，共八十二页，2022年，8月28日

⑵平面应力问题

平面域A内的基本方程:平衡微分方程（在A内）第六十三页，共八十二页，2022年，8月28日几何方程物理方程（在A内）（在A内）第六十四页，共八十二页，2022年，8月28日应力边界条件

位移边界条件

（在上）（在上）S上边界条件:8个未知函数必须满足上述方程和边界条件。第六十五页，共八十二页，2022年，8月28日

按位移求解（位移法）─取，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含，的方程和边界条件，从而求出，；再求形变和应力。2.解法─消元法

解法第六十六页，共八十二页，2022年，8月28日

按应力求解（应力法）－－取为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。

这是弹力问题的两种基本解法。第六十七页，共八十二页，2022年，8月28日3.按位移求解⑵将其他未知函数用，表示：

形变用，表示─几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用，表示:⑴取，为基本未知函数；按位移求解第六十八页，共八十二页，2022年，8月28日第六十九页，共八十二页，2022年，8月28日⑶在A中导出求，的基本方程─将式(a)代入平衡微分方程，上式是用，表示的平衡微分方程。第七十页，共八十二页，2022年，8月28日位移边界条件

（在上）(d)（在上）(c)应力边界条件─将式(a)代入应力边界条件，⑷在S上的边界条件第七十一页，共八十二页，2022年，8月28日

按位移求解时，，必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)，(d)。归纳：式(b)，(c)，(d)－－是求解，的条件;也是校核，是否正确的全部条件。第