《数值计算方法》试题集及答案-2

,差(1),n12,差(1),n12《计算方法》期中复试题一、填空题：、已知

f(1)f

，则用普生（辛卜）公式算求得

f(xdx_________

,用点式求

f

。答案：2.367，0.25、

f(1)f(2)f(3)拉格朗插值多项式。

，则过三点的二次值多项中x的系数为，答案：-1，

11L()(x2(xx(2)22、近似值

*

关于真

有(2)位有效字；、设

f()

可微,方程

()

的牛顿代格式是()；答案

x

n

xn

xx)nn1)n、对

f()xf[0,1,2,3]f

(0)；、计算方法主要研究(截断)误差(舍入误差；、用二分法求非线性方f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误限为()；已f(1)＝2(2)＝(4)＝5.9则次Newton插值项式x2系数为(0.15)；f(x11、两点式高型求公式≈(

133f()dx[f()()]2323

)代数精为(；12、

为了使算

346y10x((x

3

的乘除次数尽量地，应将该表式改写为

10t)t)t

1

，为了少舍入误差应将表

,则，nnnkjkkkk4222、区,则，nnnkjkkkk4222、区2达式改写为20011999。13、用二分法方程

f(x

在区间内的根,进一步后根的所在区为0.5，进行两步后根的所区间为0.5，0.75。14、计算积分

1

xd

,取位有效数。用梯形公计算求的近似值为0.4268，辛卜生式计算求得近似值，梯形公式的代精度为1，辛卜公式的代数度为3。15、设

f(0)f16,(2)l(()xf()

的二次顿插值项式为

(xxx2

。16、求积公式

f(x)d

A

f(x)

的代数度以(高型)求公式为最高具有()代数精。17、已知f(1)=1,(3)=5,f辛普生积公式求

51

x)dx

18、设f(1)=1，f(2)=2，，用点式求

f

。19、果用二法求方程

x3x0

在区间

[1,2]

内的根确到三位小，对分（）次20、知

()(x

(

(1

是三次条函数，

=(3)，（3，（21、

l(x),l(x01

l(x)n

是以整点

x,0

n

为节点插值基函数则()xl(x)x4l(x)k(1)，(j)，当n时(xx)。次样条插值数x在直到____2_____的连续导。23、改函数fxx

f)xx。

(

)的形，使计算结果较确24、若二分法方程需要对10次。

f

在区间内的根，要精确到3位小数则2/

25、设

3xSx,1

是3次样条函，则。、若用复化形公式计算

e

dx

，要求差不超过10

，利用项公式估计至少用个求积点。、若

f(x)34

，则差

f[2,,,]

。28、数积分公

11

f(x[f()f()f

)]

的代数度为。选择题、三点的高斯求积公式代数精为B)。A2．．3D．、舍入误差是(A)产的误差A.只取有限位数B．型准确与用数值方求得的确值C．观与测量D．数模型准值与实际值、3.141580是π的(B)位有效数的近似。A6．．4D．、用1+x近似表示ex

所产生误差是(C)误差。A模型B．观C．截断D．入、用1+3近似表1x所产生的误是(D)误。A舍入B．观C．模型D．断、-324．7500是舍入得的近似值，有(位有效数字。A．6．7D．8、设ff(0)=3,f(2)=4,抛物插多项式中x的系数为(A)A．5B．0．5C2D．-2、三点的高斯型求积公的代数度为(。A．4．5D．2、(D)的3位有效数是×。(A)0.0023549××－2(C)235.418(D)235.54×10－110、用单迭代求方程f(x)=0的实根，方程f(x)=0表示成x=(x)，f(x)=0的根是B)。3/

bnC(n)bnC(n)7n.732x(3)(A)y=与x轴交点横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横标(C)y=x与x轴的交点的横坐标D)y=x与y=(x)的交点11、拉朗日插多项式的余是(B),牛顿值多项的余项是(。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn1)(x－xn)，(B)

R()f(x)n

f(n(1)!(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn1)(xxn)，(D)

(x)f()()

f((n

()12牛顿切线法方程f(x)=0选始值x0满足(A),则的解列{xn}n=0,1,2,…一定收到方程f(x)=0的根。13、为求程x3―x2―在区间[内一个根把方程写成下形式，并建立应的迭代公，迭代式不收敛的(A)。(A)

x

迭:xx

x(B)

1x,迭代公式xx2(C)

3

迭公式:kk

)

(D)

x32:x

x2kxk14、在顿-柯特斯求积公：

a

f(x)b)(n)ii

f(x)i

中，当数i是负值时公式的稳定不能保，所以实际用中，（）时的牛特斯求积公不使用。（1）（2）（）（），23、有列数表x1f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定插值多项式次数是。（1）二2）三次3）四次（4）五次15、取计算，下列法中哪种最？（）

16(A)

；(B)

(43)

；()

(4)

2

；(D)

(1)

4

。4/

a539533kk；(Bk1ka539533kk；(Bk1k；(D)l(x)xk(k,)i,b(C、已知

x()2(

0a)bx4

是三次条函数，则的值为()(A)6，；(B)6，；，6；(D)8，8。16、下数表进行Newton插值，所确的插值多项式的最高数是（）(A)；(B)

１1.5２2.5３。-10.52.55.08.0；；(D

3.511.517、形如

a

f(x)dxAf(x)fx)f)1223

的高斯）型求积公的代数度为（）(A)；(B)；()；(D)。18、计的Newton迭代格式为)(A)

xx22xk

k

；(C)

xxk

。19、用二分法方程

4

在区间

1]

内的实，要求误差为

3

，则对次数至少为)(A；；(C)8；(D)9。设i是以为节点的Lagrange插值基函数

9k0

)i

()(A)（）（C（）133、个节点的顿-柯特斯积公式至少具有)次数精度(A)5；；(C)6；(D)3。21、已

()

x2(

0()bx4

是三次条函数，则的值为()(A)6，；(B)6，；，6；(D)8，8。、已知方程

2x0

在x附近有，下列代格式中在

x20

不收敛的是)(A)

x3x5k1k

(B)

21

x3k1k

(D)

x1

2x3532

。22、由列数据145/

时，f)x,2时，f)x,2时，公式然精确立当2确定的一插值多项的次数((A)4；；(C)1；(D)3。23、个节点的Gauss型求积式的高代数度为()(A)8；B；；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打则、

已知观值

(x，y)(i，)ii

,用小二乘求n次拟合项式(x(xn

的次数n可以任意。x

、

用1-近似表cosx产生舍入误。()、

()(x)0()(x)1

表示在点x的二次(拉格朗)插值基数。(、牛顿插值多项式的优是在计时，一级的值多项式可用前一插值的结果(1153

、矩阵A=

15

具有严对角占优。()四、计算题：1、

求AB使求积公

11f(x)dxA[f(fB[f()f()]2

的代数精度尽高,并求代数精；利用此公求

I

1

(留四位数)。答案：是精确成立即A12

得

8A,B9求积公为

18f()[(f[f()f()]99221当

f)x

x4

时左=

5

，右=

。6/

所以代精度为3。2、

已知分别用格朗日插值和牛顿值法求f求的近似（保留四位数

f()

的三次值多项式

(x)

，并答案：

L(2

(x4)((x4)(x5)3)(14)(11)(34)(35)差商表一阶均

二阶均

三阶均

-1-1

-1、已知-2

-1

求

f()

的二次合曲线

p()

，并求

f

的近似。答案：：

-2-1

15

10

-8-1

161634

-8-210

1620417/

|x|x10，故x正规方组为

a15010a110a34a410、已知

区间[，0.8]函数表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736如用二插值求求该近值。

sin

的近似何选择节点能使误最小？并答案：：应选三个点，使差尽量小即应使

|

(x|

尽量小最靠近插值的三个点满足上述求。即取节

最好，际计算结果

0.596274

，且、构造求解程

ex

的根的代格式

xx0,1,2,n

，讨论其收性，并将根出来，nn。答案：：令

f()xf(0)f

.且

f

对f(x

在(0,1)内有唯一实根.将方程

f)

变形为则当

(0,1)

时()(2)

，

|

故迭代式收敛。0

，计算果列表如下n

0.5

8/

且满足6iffdx且满足6iffdx(n)(n)32n68f)2xn

x

.所

x

*

0.090525

.10、已下列实数据x

i

1.36

1.95

2.16f(x)

16.844

17.378

18.435试按最二乘原理求次多项拟合以上数。解：当x<1时，ex

，则，且有一位数.要求近值有5位有效字，只误差

(f)

.由

1

b)

，只要即可，得所以，因此至需将[等份12、取节

xxx

,求函数在区间[0,1]上的二次值多项式

x)

,并估计误。解：

P()2

(((0(0.50)(0.5又

(x

f

max|f3x

故截断差

R(2

(x)|xx|3!

。14、给方程

f(x)x分析该方程在几个；用迭代法求这些根精确到5位有效数字说明所用的迭格式是敛的。解：）将方程

(x

（1）9/

f(x)f(f(x)f()，改写为

（）作函数，的图形略）知2）有一根

x*

。将方程（2改写为

k构造迭格式

(0,1,2,计算结列表如下：k361.22311.29431.27401.27961.27811.27851.27841.2784x

k

966

(x

当

x

时，

)(2),(1)]

，且所以迭格式

xk

(x)(k

)

对任意

x

均收敛15、用顿切线)法求的近似值。取x=1.7,计算三，保留位小。解：3是

f()x

0

的正根

f

，牛顿代公式为

2x

，即

x

x2x

(n0,1,2,

)取x列表下：

16、已f，f，f，求拉朗日插值多式似值，五位小数。

L()

及f(1，5)的近解：

L()

(x((x(2)(21)(2、n=3,用复合梯形公式求

10

e

的近似（取四位小）,并求误估计。/

x33xATy179980.70.0501025nnTx33xATy179980.70.0501025nnT32x，，解：

e

12

)]1.7342fx),f

x

，

0

时，

|f

至少有位有效数字（8分）用最小乘法求如的经验式拟以下数：1919.0

2532.3

3049.0

3873.3解：

{1,x2}解方程

ATACTy其中

ATA

40.9255577C0.9255577，解得：所以21分）用的复化梯公式（或复Simpson公式）算

10

dx

时，试用余估计其误差用的复化梯公式（复化Simpson公式计算出该积分近似值。解：

b1[f]hf1212822分）方程

x

3

xx

附近有，把方程写三种不的等价形式（）

对应迭格式

xn

；(2)

x

1x

对应迭格式x1n

xn

）x对迭代格

xx

断迭代式在

0的收敛，选一种收格式计

附近的，精确到小点后第位。1(解（1，

，故收；）

2x

11

1x

，，故收敛；），

，故发。选择（：

0

，

1.35721.33091

，

1.32593

，

4

，x5625、数积分公形如/

110101akk110101akk0

xf(x)(x(0)Cf

Df

试确定数

,B,CD

使公式数精度量高（2）并估计差。

f(x)C

Rx))dx()，推导项公式，解：将

f()x

3

分布代公式得：

3711,20203020构造Hermite值多项式

H(x)3

满足

H()f()3iiH)f)i3ii

其中0,x0()()则有：3

，

f()()3

f

(4)

)

x2(

2（分）已知数积分公为：

fx)[f(0)f()]

[

(0)f

(h)]

，试确积分公式中参数，使其代数确度尽量高并指出代数精确度次数。解：

f()

显然精成立；f(x)x

时，

[0]2

；f(x

时，

h31x[02]h]2

；f()

h时，0

h4hx[03]2h412

2

]

；f(x

时，0

5hh5x44]h[0h3]6

；所以，代数精确度3。28分）已求

a(

的迭代式为：证明：一切

k,x

，且序

是单调递减的从而迭过程收敛。证明：

x

k

()a0,1,22kk故对一

ka

。又

x11k(1)(1x22kk

所以

kk

，即序

k是单调递有下界从而迭过程收敛。/

29分）数求积公

f(x)dx[ff(2)]

是否为值型求积公？为什么？代数精度是少？解是。因为

f(x

在基点12的插值项式为

()

xff(2)

3pdx[f(1)(2)]2

。其代精度为130分)出求方明其收性。

x

在区间0,1]根的收敛迭代公，并证(6

，n=0,1,2,

xsin4

∴对任的初值

,代公式都收。31以100,121,144为插值节点，用值法计115的近似，并利余项估误差。用Newton插值方：差分：101000.0476191210110.043478141342

-0.0000941136115

10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532分用复化