第四章数值积分

第四章数值积分§1引言【数值积分的必要性】本章主要讨论如下形式的一元函数积分在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分要求函数的原函数

☞有解析表达式；☞

为初等函数．

例如求由函数给定的曲线,从到间的弧长L。实际问题1.

的原函数

不能用初等函数表示。

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分。类似的下列函数也不存在由初等函数表示的原函数:2.

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示,但表达式相当复杂,计算极不方便.例如函数:并不复杂,但它的原函数却十分复杂:3.

没有解析表达式，只有数表形式:1423454.5688.5原来通过原函数来计算积分有它的局限性。那……怎么办呢？呵呵…这就需要积分的数值方法来帮忙啦。1、定积分的几何意义依据积分中值定理,对于连续函数,在内存在一点,使得称

为在区间上的平均高度。2、数值积分的理论依据一、数值积分的基本思想3、求积公式的构造若简单选取区间端点或中点的函数值作为平均高度，则可得一点求积公式如下：左矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：若取两点，并令，则可得梯形公式（两点求积公式）若取三点，并令则可得Simpson公式(三点求积公式)一般地，取区间内个点处的高度，通过加权平均的方法近似地得出平均高度，这类求积方法称为机械求积:或写成:机械求积公式求积系数

求积节点

记求积公式为余项为构造或确定一个求积公式，要解决的问题包括:(i)

确定求积系数

和求积节点

(iii)

求积公式的误差估计和收敛性分析。(ii)确定衡量求积公式好坏的标准；定义1称求积公式具有m次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得二、求积公式的代数精度上述定义中的条件(i),(ii)等价于：注：梯形公式与中矩形公式都只具有1次代数精度。一般若要使机械求积公式具有m次代数精度，则只要使求积公式对

都准确成立，即三、插值型的求积公式1、定义在积分区间上，取个节点作

的次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有其中，为插值余项于是有：令由节点决定，与

无关。——称为插值型求积公式2、截断误差（余项）3、代数精度定理1

形如的求积公式至少有n

次代数

精度

该公式为插值型（即：）推论求积系数满足:§2Newton-Cotes公式一、Cotes系数与Newton-Cotes公式取节点为等距分布：由此构造的插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,此时求积系数：插值型求积公式：记称上式为n阶Newton-Cotes求积公式。称为Cotes系数，求积公式变为注意:Cotes系数只与和有关,与

和积分区间无关，且满足:Newton-Cotes公式的误差或余项为:与有关作为插值型求积公式，具有次代数精度，阶Newton-Cotes公式至少而实际的代数精度是否可以进一步提高呢？二、偶数求积公式的代数精度

定理2当阶数

为偶数时,Newton-Cotes公式至少具有次代数精度。证明:的余项为零。只需验证当为偶数时,Newton-Cotes公式对由于

,所以

,即得引进变换,因为为偶数,故为整数,于是有据此可断定

,因为上述被积函数是个奇函数.三、几种常用的低阶求积公式及余项n=1:梯形公式代数精度=1n=2:Simpson公式代数精度=3n=4:

Cotes公式(代数精度=5)这里四、复化求积法

高次插值有Runge现象，怎么办？可采用分段低次插值来解决。

高阶Newton-Cotes公式会出现数值不稳定。而低阶Newton-Cotes公式有时又不能满足精度要求，怎么办？

可将积分区间分成若干小区间，在每个小区间上用低阶求积公式计算，然后求和。1.复化梯形公式=Tn/*中值定理*/在每个上用梯形公式：

复化梯形公式积分法2.复化Simpson公式44444=

Sn/*中值定理*/

复化Simpson公式积分法3.复化Cotes公式=

Cn01/83/81/25/83/47/811/422.26548672.562.87640453.23.50684933.76470593.93846154例:利用数据表计算积分解：这个问题有明显的答案取n=8用复化梯形公式取n=4

用辛卜生公式定义2若一个积分公式的误差满足，且

，则称该公式是p

阶收敛的。命题当时，复化求积公式均收敛到所求的积分值。五、复化求积法的收敛性、收敛速度与误差估计1.收敛性2.收敛速度3.误差估计给定精度，如何取

?例分别用复化梯形公式、复化辛普森公式求需将区间[a,b]多少等份，才能保证误差不超过？(1)复化梯形公式记令所以，分别具有2，4，6阶收敛，即若将步长减半，则三种方法的误差分别减至原来的。(2)复化辛普森公式则记令由得由得则a.复化梯形公式:b.复化辛普森公式:若求，取，各取多少个节点？§3Romberg算法一、梯形法的递推化变步长法：在使用复化求积公式时，步长太大精度难以保证，步长太小计算量增加，实际计算时常常采用变步长法，即在步长逐次分半过程中，反复利用复化公式进行计算，直到求出满足精度要求的解。例1:利用数据表计算积分解：01/83/81/25/83/47/811/422.26548672.562.87640453.23.50684933.76470593.93846154例2:利用数据表计算积分解：01/83/81/25/83/47/811/401/83/81/25/83/47/811/40.8147090.87719250.90885160.93615560.95885100.97672670.98961580.9973978101/83/81/25/83/47/811/4二、Romberg公式由复化梯形公式误差得：假设变化不大，可设，则有：同理有：Romberg公式计算过程：

T1

T8T4

T2

S1

R1

S2

C1

C2

S4从而得三个加速公式：——Romberg公式例3:利用数据表计算积分解：0.8147090.87719250.90885160.93615560.95885100.97672670.98961580.9973978101/83/81/25/83/47/811/4三、理查德森外推加速法利用低阶公式产生高精度的结果。定理3

设，则有下式成立：其中系数与无关。

由定理知用作为的近似值，误差为，当步长减半有消取项记用作为的近似值，误差为。步长减半继续做下去有:消取项记用作为的近似值，误差为。同理下去，每加速一次误差的量级提高二阶，有递推公式：经m次加速后有误差（余项）公式：上述方法称为理查德森外推加速法。设以表示二分次后求得的梯形值，以表示序列的次加速值，则上述梯形公式可写为：

构造的T数表如下:命题：当充分光滑，T数表的每一列或对角线上的元素均收敛到积分值，即有：Romberg算法计算步骤：2．按变步长复化梯形公式，由计算，转3；3．按加速公式，计算T数表中第行的其余元素，转4；4．对给定的误差，若，停止，取为的近似值；否则，令，转2。1．取，计算，令，转2；1k=Newton-Cotes公式采用等距节点作为求积节点代数精度至多可达到。（为偶数）那么，在节点个数一定的情况下，是否可以在上自由选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高？具有2n+1次代数精度的插值型求积公式注：Gauss型求积公式是代数精度最高的插值型求积公式。

§4高斯求积公式节点称为Gauss点具有2n+1次代数精度，则称这类求积公式为Gauss型求积公式，对应的n+1个点为高斯点。一、高斯点定义3如果含有2n+2个待定参数的机械求积公式

事实上，对于插值型求积公式其代数精度最高可达到2n+1次(Gauss型求积公式）。定理4

上述插值型求积公式为Gauss型求积公式的充分必要条件是与任意次数不超过n的多项式均正交，即【证明】二、Gauss-Lege