第7章 数字逻辑基础

第七章

数字逻辑基础数制和码制基本逻辑代数运算逻辑代数的数学描述逻辑函数的化简逻辑函数描述方法及转换本章学习重点4.数的各种用法5.基本逻辑门电路的逻辑运算1.什么是数字电子？2.数字信号和模拟信号之间的关系3.数字逻辑和数字电路模拟信号与数字信号数字表:跳跃显示时间模拟表:连续显示时间模拟信号【AnalogSignal】

定义：在时间上与数值上都连续的信号。

模拟信号波形：u模拟信号波形t最常见的模拟信号波形就是正弦波。t正弦波形u

模拟电路：对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟电路。模拟信号声音盒式磁带电路简单,音质差数字信号【DigitalSignal】

定义：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号

数字信号波形对数字信号进行传输、处理的电子线路称为数字电路。

数字电路u数字信号波形t10011声音模拟信号转换器数字信号CD数字电路跟模拟电路相比在对于信号的传输、存储、处理方面有很大优势。音质好,多次拷贝无损耗数码相机智能仪器计算机数字技术的应用谷歌眼镜

PROJECTGLASS

由谷歌公司于2012年4月发布的一款“拓展现实”眼镜，它具有和智能手机一样的功能，可以通过声音控制拍照、视频通话和辨明方向，以及上网冲浪、处理文字信息和电子邮件等。7.1数制和码制

7.1.1数制进制R数码计数规则基数十0,1,2,3,4,5,6,7,8,9逢十进一10二0,1逢二进一2八0,1,2,3,4,5,6,7,逢八进一8十六0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A,B,C,D,E,F逢十六进一16几种进制数之间的对应关系①一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。②如果一个N进制数A包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(A)N=(an-1an-2…a1a0a－1a－2…a－m)N则该数的权展开式为：

(A)N＝an-1×Nn-1＋an-2×Nn-2＋…＋a1×N1＋a0×N0＋a－1×N-1＋a－2×N-2＋…＋a－m×N-m

(209.24)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋2×10－1＋4×10－2(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

7.1.2数制间转换为什么要进行数制之间相互转换？a.用数字电路实现十进制数很困难。二进制数码用电子电路的开关特性就完全能够实现。b.二进制数书写太长、记忆不便，所以又常采用八进制和十六进制来表示二进制数。1.二进制转换为十进制数方法：将它们按权展开，求出相加的和，便得到相应进制数对应的十进制数。例1：(101.01)2＝1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2＝(5.25)10

(10101.11)2=1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=16+0+4+1+0.5+0.25=(21.75)10

2.十进制数转换为二进制

整数部分：“除基数取余”法，直至商为0，所得余数自下而上排列；

小数部分：“乘基数取整”法，直至小数为0或按要求保留位数，所得整数自上而下排列。例：将(25.375)10转换为二进制数。(25.375)10=（11001.011）2例：(35.85)10=(?)2，保留三位小数。解：整数部分：352172824222120………1………1………0………0………0………1低位高位小数部分：0.85×2＝1.7………

10.7×2＝1.4………

10.4×2＝0.8

………

0高位低位∵题目要求只保留三位小数∴不再继续连乘取整了。∴(35.85)10≈(100011.110)2

7.1.3编码【ENCODE】数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符号、字母呢？——用编码可以解决此问题。

用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号等信息称为编码。

问题的提出：

编码定义：

二－十进制码（BCD码）8421BCD码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示1位十进制数。十进制01234567898421码000000010010001101000101011001111000100100110010练习：32的BCD码：练习：600的BCD码011000000000二值数字逻辑中的1（逻辑1）和0（逻辑0）不仅可以表示二进制数，还可以表示事物的两种对立的逻辑状态。称为逻辑0状态和逻辑1状态。7.2基本逻辑代数运算例：灯泡的亮、灭状态

考试成绩的及格、不及格A闭合与运算【ANDOperation】VABLABL开开灭开合灭合开灭合合亮

功能表ABL000010100111

真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）VABLVABL灯亮B闭合全部车门关,才开动

逻辑表达式：L=A•B=AB

逻辑符号实现与逻辑的电路称为与门其逻辑规律服从“有0出0，全1才出1”ABL000010100111缺一不可或运算【OROPERATION】ABL开开灭开合亮合开亮合合亮

功能表

逻辑表达式：L=A+BABL000011101111

真值表约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。合上A描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）VABL抢答器其逻辑规律服从“有1出1，全0才出0”

有一即可非运算【NOTOPERATION】AL开亮合灭

功能表AL0110

真值表

逻辑符号实现非逻辑的电路称为非门合上A描述：条件具备，结果不发生；条件不具备，结果必发生。（逻辑求反）

逻辑表达式：L=A1AL=A约定：开关A断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。ALV

与非运算

逻辑表达式：ABL001011101110

真值表：

符号：7.2.2逻辑代数复合运算

或非运算ABL001010100110第7章

逻辑表达式：

真值表：

符号：

与或非运算

逻辑表达式：第7章

符号：

异或运算逻辑表达式：真值表：ABL000011101110第7章两个输入逻辑变量时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，

同或运算逻辑表达式：真值表：ABL001010100111第7章⊙两个输入变量值相同时Y=1，即相同为“1”不同为“0”

。各种逻辑运算汇总表

1、基本公式交换律：A+B=B+AA·B=B·A结合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互补律：

7.3.1：逻辑代数的定律和运算规则7.3逻辑代数的数学描述重叠律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

隐含律：

AB＋AC＋BC＝AB+ACAB＋AC＋BCD＝AB+AC7.3.2逻辑代数的基本规则

代入规则

：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围（2）反演规则：求原函数的非函数原函数Y反函数“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”原变量反变量反变量原变量

运用规则：1、先括号，2、按先与后或的顺序，3、保持反变量以外的非号不变。例已知

，求解：

练习：求L的反函数

（3）对偶规则

对于两个函数，如果原函数相等，那么其对偶函数、反函数也相等。例

已知

，求对偶函数

解：

逻辑函数Y对偶函数“.”“+”，“+”“.”“0”“1”“1”“0”“或-与”表达式“与非-与非”表达式

“与-或-非”表达式“或非－或非”表达式“与-或”表达式7.5

逻辑函数的代数法化简1、逻辑函数的最简与-或表达式包含的与项数最少，且每个与项中变量数最少的表达式称为最简与-或表达式。2、逻辑函数的化简方法

化简的主要方法：１．公式法（代数法）２．图解法（卡诺图法）代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。

并项法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配项法：A+AB=A+B第7章（1）最小项定义

如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：标准表达式:最小项代数化简法缺点：对于一个较复杂的逻辑式也难以判断化简结果是否为最简。解决方法——卡诺图化简法。练习：2个变量M、N的最小项：（2）最小项的表示方法

通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：例如：【表示法1】【表示法2】【表示法3】【表示法4】

最小项的若干表示方法

1、卡诺图的引出将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。7.4.3逻辑函数卡诺图化简法AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD三变量卡诺图四变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7ADBB卡诺图的特点:各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别。

2卡诺图的填入

最小项表达式的填入：m1m4m3m6m7m11m14m15给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。例如：3、卡诺图的化简方法

化简步骤①将给定的逻辑函数式化成最小项之和的形式。②画卡诺图：凡式中包含的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。③合并最小项：划包围圈并写成一个新的乘积项。④写出最简与或表达式：将所有包围圈对应的乘积项相加。

画包围圈时应遵循的原则：①圈内方格数必须是2n个，n=0,1,2,…②相邻方格包括上下底相邻、左右边相邻和四角相邻。③同一方格可以被重用，但重用时新圈中一定要有新成员加入，否则新圈就是多余的。④每个圈内的方格数尽可能多，圈的总个数尽可能少。注意:包围圈的圈法可能不惟一，因此化简结果也可能不惟一。例如：一般的逻辑表达式填入：

先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。例：解：变换为与或表达式由上面变换的结果说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。填写卡诺图如下：ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子逻辑表达式或真值表卡诺图11例：用卡诺图将下式化简为最简与或式形式。①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项22③不能漏掉任何一个标１的方格。第7章合并最小项②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。最简与或表达式33将代表每个圈的乘积项相加两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤP1267.10无关项在化简中的应用

无关项的定义：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为无关项，也叫做约束项或任意项。

合理利用无关项：在逻辑函数的化简中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。例如：

要求设计一个逻辑电路，判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为0，当十进制数为偶数时，电路输出为1。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001

0100×

10110

0011×10101

00100

10010

00011

10001

0000Y

ABCDY

ABCD第7章

输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。第7章不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×

11110

0111×

11101

0110×11010

0101×

11001