第3章-静电场及其边值问题的解法-2

§3.2静电场中的介质电偶极子的概念

图电偶极子

电矩矢量:

电荷q乘以有向距离表示电偶极子的大小和空间取向电偶极子电场的电场强度与电位：电偶极子

有极分子无极分子一.介质的极化

导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。

介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。

在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

无极分子有极分子Ea介质的极化：在外电场的作用下:

电介质中的非极性分子的正负电荷中心发生相对位移极性分子的电矩发生转向此时其等效偶极子电矩的矢量和不再为零；

☆在电介质内部和表面形成了产生附加场的等效电荷分布，称为束缚电荷（或极化电荷）；☆介质中的场强为自由电荷与束缚电荷产生的场强的叠加；

实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea

加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场Es又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。

介质合成场Ea+Es极化二次场Es外加场Ea

介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P表示，即式中pi

为体积V

中第i个电偶极子的电矩，N

为V

中电偶极子的数目。这里V

应理解为物理无限小的体积。

实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度P与介质中的合成电场强度E

成正比，即式中e

称为极化率，它是一个正实数。

这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介质其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度P

与电场强度

E

的关系可用下列矩阵表示这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。

空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。

介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。

因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质。

极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？

发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这些极化电荷产生的电位为

式中为极化强度，它与极化电荷的关系为

由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。

右式又可写为积分形式

为了计算电介质内所有电偶极子产生的宏观电场,我们用极化强度来表示电介质的极化程度,其表示式为极化强度矢量式中是体积元ΔV内偶极矩的矢量和,是一个矢量函数,它的方向取决于,大小是单位体积内的电偶极矩。极化电荷体密度:极化电荷面密度2.极化电荷(束缚电荷)介质表面外法线方向；1.高斯定理:电场特性与场源电荷间的依赖关系的一般规律1、真空中的高斯通量定理

2.静电场的散度二、介质中的高斯通量定理

2.介质中的高斯通量定理

电介质中高斯定理的微分形式应改写为

A.电位移矢量真空中高斯定理:将式(2-58)两边在任一体积V内积分,并应用高斯公式,则得(2-58)B、电介质中的高斯定理

xe称为电介质的极化率上式中ε是媒质的介电常数,在真空中。C、与的关系（本构关系）,介电常数对真空中的点电荷q对介质中的点电荷q真空中点电荷q的场：介质中点电荷q的场：表3.2-1电介质的介电常数和击穿强度

高斯定理的应用----总结

——已知源电荷分布，求空间场分布应用场强叠加原理利用高斯定理的积分形式（当电场分布具有某种空间对称性）——已知场空间分布，求源电荷分布利用高斯定理的微分形式高斯定理解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在电场强度相等的曲面上。（4）分别求出，从而求得及。（3）电场强度相等的面不构成闭合面时，另选法线的面，使其成为闭合面。

例1

一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气。求导体球外空间任一点的电位移矢量、电场强度、极化矢量以及束缚电荷密度。

解：(r≥a)介质内(a<r<b)：介质外(r>b)：介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：介质表面外法线方向；

例2

设有两块很大的平行导体板,板间距离为d,且d比平板的长和宽均小得很多。两板接上直流电压源U,充电后又断开电源;然后在两板间插入一块均匀介质板,其相对介电常数εr=9。假设介质板的厚度比d略小一点,留下一空气隙,如图所示。

试求:(1)放入介质板前后,平行板间各点的电场强度;(2)介质板表面的束缚面电荷密度,和介质板内的束缚体电荷密度。图两平行导体板间的电场(a)插入介质板前的电场;(b)插入介质板后的电场图两平行导体板间的电场(a)插入介质板前的电场;(b)插入介质板后的电场

［解］因为两板间距离d远小于平板的尺寸,所以可以忽略边缘效应,认为板间的电场是均匀的,方向与极板垂直。

(1)加入介质板前的电场强度为

设两极板上自由电荷面密度分别为ρs和-ρs,根据高斯定理,作一柱形高斯面,如图3-15(a)中虚线所示,上下底面与极板平行,ΔS是其面积,所以因而得

加入介质板后的电场:因为充电后电源已被切断,所以极板上的自由电荷密度保持不变。用上面同样的方法作高斯面,并用高斯定理求得所以空气间隙中的电场强度为(与未加介质板前相同)介质中的电场强度为(是未加介质板前场强的1/9)(2)介质中的极化强度小结积分形式:※

静电场的基本方程※本构关系:线形、各向同性媒质※场量电场强度矢量电位移矢量标量