第九讲MATLAB在信号处理中的应用(二)

第九讲MATLAB在信号处理中的应用（二）1主要内容9.1数字滤波器结构的表示方法9.2无限长单位冲激响应（IIR）滤波器9.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波器2Z变换信号与系统的变换域分析连续时间信号与系统：拉普拉斯变换和傅里叶变换离散时间信号与系统：z变换和离散时间傅里叶变换Z变换的作用和数字滤波器的功能类似：将输入信号通过一定的运算变化成输出序列，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程。Z变换定义若序列为x(n),则幂级数称为序列x(n)的z变换，其中z为变量,它表示z平面，用极坐标表示为：。收敛域：即只要满足绝对可和的条件该级数收敛。本章我们只讲右边序列即无限长序列左边为0.滤波器：所谓的滤波器是指对输入信号起滤波的作用的装置。为了处理信号，必须设计和实现称之为滤波器（在某些领域或称为频谱分析仪）的各种系统。滤波器设计受到它的类型（IIR或FIR）和实现结构等因素的影响。所以有必要了解滤波器是如何实现的。当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽样响应h（n）时，这样的滤波器称作数字滤波器（DigitalFilter，DF）。DF是由差分方程来描述的一种特殊的离散时间系统。常系数线性差分方程与系统函数假设常系数线性差分方程的一般形式为：若系统起始状态为零，直接两边取z变换，利用移位特性得：9.1数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器实现的方法：（1）利用计算机编程，即软件实现;（2）数字信号处理器（DSP）,即专用硬件实现。数字滤波器的系统函数可以表示为：其中ak和bk都是常量，当ak不等于0时，有反馈环路是递归型结构。若ak=0则没有反馈，称为非递归结构。实现数字滤波器的基本运算单元

单位延时

常数乘法器加法器这些单元有两种表示法：1）方框图2）信号流图z-1az-1ax(n)x(n-1)x(n)ax(n)x1(n)x2(n)x1(n)+x2(n)补充知识方框图与信号流图若二阶数字滤波器表示为：

方框图信号流图其中1,2,3,4,5称为网络节点，x(n)为输入节点（源节点），y(n)处为输出节点（阱节点）节点之间用有向支路相连接，任一节点的节点值等于它的所有输入支路的信号之和。而输入支路的信号值等于这一支路起点处节点信号值乘以支路上的传输系数。如果支路上不标注传输系数值，则认为其传输系数为1。分支节点：只有一个输入，一个输出或多个输出。如2,3,4。相加器：有两个或两个以上的输入。如1,5。12345213459.2无限长单位冲激响应滤波器无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的特点：1）系统的单位冲激响应h(n)无限长；2）系统函数H(z)在有限z平面内有极点存在；3）从输出到输入存在反馈环路（回路），即存在递归型结构。1.直接型直接型结构是按照给出的系统差分方程或者系统函数直接实现的。例9-1二阶数字滤波器的系统差分方程为：试构造它的直接型I型和直接II型方框图，并观测它们的单位冲激响应。x(n)y(n)直接I型仿真模型对应的信号流图H(Z)转置定理如果将线性时（移）不变网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。1）将全部路径箭头方向颠倒过来。2）将全部支路节点用加法器替换，将全部加法器节点替换成支路节点。3）将输入和输出节点交换。所得的结构称为转置直接型结构，即直接II型对调y(n)z-1z-1z-1b0b1b2bM+1bMx(n)z-1z-1a1a2z-1aN-1aNy(n)x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0z-1z-1z-1b1b2bM+1bMa1a2z-1aN-1aNz-1z-1x(n)b0y(n)a1a2z-1z-1aN-1b1b2bM+1bMz-1aNz-1合并直接II型直接II型仿真模型对应的信号流图MATLAB提供了专门求离散系统单位响应，并绘制其时域波形的函数impz()（数字滤波器冲激响应），该函数有以下几种调用格式：impz(b,a)%以默认格式绘制向量a和b定义的离

散系统的单位响应impz(b,a,n)%绘制0~n时间范围内的单位响应波形impz(b,a,n1:n2)%绘制n1~n2时间范围内的单位

响应波形y=impz(b,a,[n1:n2])%并不绘制波形，而是求出单位响应的数值解将差分方程化简为：a=[1-1/3-1/4];b=[111];impz(b,a,[0:10])title('单位脉冲响应')xlabel('Time(s)')axis([0,10,-3,3])2.级联型结构级联型结构是把系统函数H（z）进行因式分解为较低的二阶节，然后将系统函数表示成二阶节的乘积，其中每个二阶节用直接II型结构实现。x(n)β1ka2kz-1z-1a1kβ2ky(n)一般用直接II型（典范型）表示用多个二阶节级联表示滤波器系统β1Mβ2Mx(n)β11a21z-1z-1a11β21β12a22z-1z-1a12β22a2Mz-1z-1a1M…...y(n)例9-2用级联型结构实现以下系统函数级联型结构的仿真建模x(n)y(n)3.并联型结构其实现结构为：AN1z-1a1x(n)aN1a11z-1z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2z-1z-1z-1例9-3用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤波器。法一：分解为：并联型结构仿真模型x(n)y(n)例9-4用并联型结构实现以下用系统函数表示为IIR滤波器。法二：解：自定义函数文件dir2par(b,a).m>>b=[61.64.8-1.3];a1=[1-0.5];a2=[10.90.8];a=conv(a1,a2)>>[C,B,A]=dir2par(b,a)C=3.2500B=-0.2500-2.52503.00000A=1.00000.90000.80001.0000-0.50000并联型结构仿真模型x(n)y(n)9.3有限长单位冲激响应（FIR）滤波器的结构特点：1）系统的单位冲激响应h(n)在有限个n值时不为零；2）系统函数H(z)在有限z平面中只有零点，全部的极点都位于z=0处；3）结构上不存在由输出到输入的反馈，仅在某些实现结构（例如频率抽样型）中含有反馈的递归部分。有限长单位冲激响应滤波器的主要实现结构有直接型、级联型、线性相位型等。FIR的系统函数及差分方程设FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为一个N点序列，0<=n<=N-1，则滤波器的系统函数为：即它有N-1阶极点在z=0处，有N-1个零点位于有限z平面的任何位置。其中H(z)为：本章只考虑无反馈情况（没有输出到输入的反馈）即ai=0。（若结构为频率抽样则包含反馈即有递归部分）其差分方程为1.直接型（卷积型、横截型结构）h(0)h(1)h(2)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)转置定理h(0)h(1)h(N-1)h(N)Z-1Z-1Z-1Z-1y(n)x(n)信号流图FIR滤波器的直接型结构FIR滤波器的直接型结构举例例9-5一FIR滤波器由下面的系统函数给出（要求画出信号流图、方框图与仿真模型）：直接型FIR滤波器仿真模型x(n)y(n)2.级联型结构级联型结构是把系统函数H(z)分解为二阶因式，然后将各阶因式以级联链接方式实现。例如采用级联结构实现例3-10将系统函数进行分解，分解成：x(n)2.8257z-1z-13.9921-2.825z-1z-13.9921-0.7078z-1z-10.2505y(n)…...111FIR级联型仿真模型x(n)y(n)特点：1）由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。2）由于这种结构的每一节控制一对零点，因而在需要控制传输零点时用。3.FIR滤波器线性相位型当一个FIR滤波器具有线性相位响应时，它的脉冲响应呈现线性相位的对称条件。这时，可利用其对称关系减少相乘的次数。所谓线性相位：是指滤波器产生的相移与输入信号频率成线性关系。对称关系：若FIR滤波器的单位冲激响应h(n)为实数，0<=n<=N-1，且满足条件

偶对称h(n)=h(N-1-n);奇对称h(n)=-h(N-1-n);也就是说h(n)的对称中心在（N-1）/2，则这种FIR滤波器就具有严格线性相位。举例：例3-12信号流图和仿真模型x(n)y(n)IIR和FIR数字滤波器的比较比较项目IIRFIR相同性能（同样的选择性）阶数低高相位非线性线性经济性成本低成本高结构结构递归结构非递归结构稳定性极点必须在单位圆内才稳定始终稳定运算误差大，寄生震荡小快速运算不能应用FFT算法可用FFT算法适用范围规格化的、频率特性为分段常数的标准低通、高通、带通、带阻、全通滤波器对相位要求不敏感（语音通讯）可适用于各种幅度特性和相位特性对相位要求敏感（图像处理）习题：1.写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（要求画出信号流图和仿真模型，输入用x(n)表示，输出用y(n)表示。）2.用并联型结构实现以下用系统函数表示的IIR滤波器。（要求画出信号流图和仿真模型，输入用x(n)表示，输出用y(n)表示。）分解后为：令n’=N-1-n代入用n=n’并应用线性FIR特性：h(n)=h(N-1-n)线性相位型讨论：当h(n)为偶，N=偶数时FIR的线性相位的特性其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……

h(n)为偶，N=偶数时,线性相位FIR的结构流图Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)x(n-N/2+1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(N/2-2)h(N/2-1)…….z-1z-1z-1z-1共有（N/2-1）项当N=奇数时，有一中间项h((N-1)/2)无法合并，需提出来：当h(n)为偶，N=奇数时FIR的线性相位的特性其中h(0)=h(N-1),h(2)=h(N-2)……,h((N-3)/2)=h((N-1)/2共有（N-3）/2项h(n)为偶，N=奇数时,线性相位FIR的结构流图h(N-1)Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1Z-1x(n)y(n)h(0)h(1)h(2)h(3)…….当h(n)=偶对称时，即h(n)=h(N-1-n),可