第一讲 随机试验与随机事件

课程信息教材：《概率论与数理统计》浙江大学教师：林军课程要求：(1)课前预习

(2)认真听讲

(3)课后复习,认真完成作业概率论与数理统计第一部分概率论第二部分数理统计第一部分概率论第一章概率论的基本概念第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理第二部分数理统计第六章数理统计的基本概念第七章参数估计第八章假设检验引言

概率论是一门研究随机现象规律的数学分支

其起源于十七世纪中叶，当时在误差、人口统计、人寿保险等范筹中，需要整理和研究大量的随机数据资料，这就孕育出一种专门研究大量随机现象的规律性的数学

但当时刺激数学家们首先思考概率论的问题，却是来自赌博问题

首先要提到的有三位数学家费马（1601-1655）法国律师和业余数学家）帕斯卡（1623－1662）法国数学家、物理学家、哲学家、散文家惠更斯(1629—1695)荷兰物理学家、天文学家、数学家，费马向帕斯卡提出下列的问题：

现有甲，乙两个赌徒各出30万元共60万元作为赌注，每局甲，乙取胜机会相等，约定谁先赢3局就算赢了.当赌徒甲赢2局，而赌徒乙赢1局时，赌博因故中止，那赌本应怎样分才合理呢？

假设我们让赌徒继续赌完，最多两局就可以分出胜负可能结果为：

前3种结果甲赢最后1种结果乙赢，

故合理分配为甲45万元，乙15万元甲甲，乙甲，甲乙,乙乙

这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。

经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。

因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。

这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率

瑞士数学家族——贝努利家族（共出现了11位数学家）的几位成员对概率论这一学科做出了重要贡献，特别是雅可布·贝努利

雅可布继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并花了20年时间完善并证明了“大数定律”。雅各布·伯努利一生最有创造力的著作就是1713年出版的《猜度术》,雅可布·贝努利（1654-1705）瑞士数学家

在概率论中引入了更有力的数学分析工具。他证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”，还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继往开来的作品。

拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进，拉普拉斯(1749－1827)是法国分析学家、概率论学家和物理学家，拿破仑的老师

概率论在20世纪再度迅速地发展起来，中心极限定理终于被严格的证明了，以后数学家正利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从以正态分布。

到了20世纪的30年代，人们开始研究随机过程，其中著名的是1931年的马尔可夫过程的理论马尔可夫（1856-1922）俄罗斯数学家

柯尔莫哥洛夫在概率论发展史上亦作出了重大贡献，1933完成了概率的公理论化体系，在三条简洁的公理下，发展出概率论整座宏伟建筑，有如欧几里德公理体系（五条）下发展的整部几何柯尔莫哥洛夫（1903－1987）,20世纪苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一。他的研究几乎遍及数学的所有领域，做出许多开创性的贡献,马尔可夫的学生

随机分析理论在经济学中有广泛的应用：

最成功的应用应该是在连续金融领域

1972年布莱克（F.Black1938-1995)和肖尔斯(M.S.Scholes1941~)用Ito公式得到的关于期权定价的布莱克和肖尔斯公式,它成为有史以来使用最频繁的数学公式

肖尔斯和默顿(R.C.Merton,1944~)荣获得1997年诺贝尔经济学奖.一必然现象与随机现象

在一定条件下可以准确预言结果的现象称为确定性现象.也称为必然现象.

“在一个标准大气压下1000C的水必定沸腾”

1.确定性现象“没有外力作用下，作匀速直线运动的物体仍然作匀速直线运动”“没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落”

实例自然界所观察到的现象:确定性现象,随机现象.第一讲随机事件及其运算P1（牛顿：惯性定律）

在条件相同的情况下，某种结果可能发生也可能不发生的现象称为随机现象.2.随机现象

实例1

“在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况”.结果有可能出现正面也可能出现反面.实例2

“在相同条件下生产同一种零件，观察它们的尺寸”.结果:“它们的尺寸总会有一点差异

”.2°随机现象从表面上看，似乎杂乱无章,没有规律.但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,它的总体就呈现出一定的规律性.注1°随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.

这种规律性随着我们观察的次数的增多而愈加明显.这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性叫做统计规律性.概率论和数理统计就是研究这种统计规律性的数学学科.

（1）在相同的条件下可以重复地进行;

（2)试验前就能确定试验的所有可能结果,

且结果不止一个；1随机试验定义二随机试验P2(3)试验前不能确定会出现哪一种结果具有以下三个特征的试验称为随机试验实例1

“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.

实例2“从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数”.实例3记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.实例4考察某地区10月份的平均气温.实例5从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.

1样本点(基本事件)

2样本空间S随机试验的基本结果称为样本点

(基本事件).

三基本事件(样本点),样本空间SP2

随机试验E的所有基本结果组成的集合称为E的样本空间,记为

S

.也有用U或Ω的1)观将一枚硬币连抛100次,观察正面出现的次数.例1写出下列随机试验的样本空间.2）抛掷二枚骰子,观察出现的结果.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.4)记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.Z-正品C-次品5)一枚硬币抛3次观察正面H,反面T

出现的情况等价定义:1随机事件的定义P3四、随机事件的概念随机试验可能出现的结果称为随机事件以大写英文字母A,B,C,

…来表示事件.样本空间S的子集称为随机事件例如如果试验是抛一骰子S

={123456}样本空间由如下六个样本点组成：A={出现奇数点

}={1，3，5}B={点数不超过3}={1，2，3}C={点数为8}=φ1一次随机试验只可能出现一个基本结果S的子集注意:2随机事件的发生：随机事件包含的某个基本结果出现P23小结如：上述试验中“点数不大于6”

就是必然事件.4必然事件S

:随机试验中必然会出现的结果.如:“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.2基本事件:

由一个样本点组成的单点集.3复合事件:

由若干个样本点组成的点集.如：“点数不大于4”,“点数为偶数”

.五随机事件的关系及其运算P3(一)包含关系“事件A发生必导致事件B发生”记为AB例抛一骰子,则

A是B的子集S={1,2,3,4,5,6}A={点数不超过3}={1,2,3}B={点数不超过4}={1,2,3,4}BAS

(二)事件的和或者事件的并运算P31AB=A+B={事件A与B至少有一个发生}A发生B不发生(II)A,B同时发生(III)B发生A不发生例:A={甲击中目标}B={乙击中目标}则A+B={至少有一人击中目标}AB例:医生对n个人进行检查

Ai={第i个人有病}(i=1,2,3…n)={至少有一人有病}2多个事件的和或者多个事件的并A1+A2+A3+…An表示A1

A2

A3…An

至少有一个发生A1+A2+A3+…An1AB=A∩B={A与B都发生}例:A={甲击中目标}B={乙击中目标}(三)

事件的积或者事件的交运算P3A与B的交集AB=A∩B={二人都击中目标}AB例:n个人进行射击比赛

Ai={第i个人击中目标}(i=1,2,3…n)={每个人都击中目标}2多个事件的积或者多个事件的交A1A2A3…An表示A1A2A3…An

每个都发生A1A2A3…An

(四)互斥关系或互不相容关系P4“事件A与事件B不可能同时发生”BASA∩B=AB=φA与B的交集为φ例抛一骰子,则S={1,2,3,4,5,6}A={2,3}B={5,6}则A与B为互斥事件或互不相容事件A

(五)

事件的差运算P41A-B={事件A发生但B不发生}例抛一骰子,则S={1,2,3,4,5,6}A={1,2,3,4,5}B={3,4,6}A-B={1,2,5}B有用等式!

(六)

事件的补运算P4={非A}={A不发生}={A的对立面发生}称为A的对立事件或逆事件性质:A注意:对立事件与互斥事件的关系(1)A与B为互斥事件时，A与B不一定为对立事件(2)A与为对立事件，则A与为互斥事件BASASB为的子集(七)运算性质（Demorgan律)P5注意此性质非常有用即例1从一批产品中取3件产品进行检验（每次取一件，不放回）Ai

={第i次取合格品}i=1,2,3,用符号表示下列事件（1）三次都取合格品，（2）至少有一次合格品（3）恰有二件合格品（4）至多一次取合格品