概率论第一章 随机事件及其概率

课程：概率论与数理统计

主讲教师:李春华e-mail:1530405308@电话：563216办公室:西2(110)教材：《概率论与数理统计》（第三版）韩明等编同济大学出版社参考书：《概率论与数理统计》教材及习题解答（第四版）盛骤等编高等教育出版社在一定条件下必然发生的现象向空中抛一物体必然落向地面；水加热到100℃必然沸腾；异性电荷相吸引；放射性元素发生蜕变；确定现象在试验或观察前无法预知出现什么结果随机现象抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上；向同一目标射击,各次弹着点都不相同；某地区的日平均气温；掷一颗骰子，可能出现的点数；自然界现象概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。学科简介概率统计是研究什么的？随机现象：不确定性与统计规律性一.确定性数学---初等数学、微积分、线性代数等二.随机数学---以概率统计为代表

1.赌博人口统计出生率性别等

2.非确定性现象:抛硬币掷骰子发大水等

3.研究和揭示随机现象的统计规律性---概率论

4.研究怎样有效地收集整理和分析带有随机性的数据，对所考察的问题作出推断或预测，为决策和行动提供依据和建议---数理统计学概率统计是一门“将不定性数量化”的课程.1．两人各出100元赌博，掷一枚硬币若干次，（正面朝上甲赢，背面朝上乙赢）先赢五次者胜.若目前四比一，因故停止，问如何分配200元？2．某商场计划“五一”在户外搞一次促销活动，统计资料表明，如果在商场内搞促销活动，可获经济效益3万元；在商场外搞促销活动，如果不遇雨天可获经济效益12万元，遇到雨天则带来经济损失5万元；若前一天的天气预报称当日有雨的概率为40%，商场应如何选择促销方式？研究方法：

观察、试验、调查；收集、整理、处理数据并进行统计推断。调查是概率统计研究方法的基石。3．某食品厂用自动装罐机生产净重为345克的午餐肉罐头，由于随机性每个罐头的净重都有差别，现在从生产线上随机抽取10个，称其净重数据如下：344，346，345，342，340，338，344，343，344，343，通过样本推断生产是否正常？17世纪—博弈、机会游戏引发概率启蒙研究18世纪—注意到天文观测、误差理论、产品检查等问题与机会游戏相似之处，导致用频率（统计）研究概率19世纪—引入数学分析方法推动概率深入研究20世纪—用集合论（测度论）创建概率公理化，开创统计学21世纪—统计方法成为随机建模的基本工具应用遍及所有科技领域、工农业生产和国民经济的各个部门

和专业联系：国贸专业属于经济学学科范畴

1.核心必修课，考研必修课2.作为后续课程的基础（如统计学、证券投资、计量经济学等）3.贸易工作中有大量的数据需要分析，指导决策写在前面生活中最重要的问题,其中占大多数实际上只是概率的问题。

——拉普拉斯“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为.

——英国的逻辑学家和经济学家杰文斯在终极的分析中，一切知识都是历史。在抽象的意义下，一切科学都是数学。在理性的世界里，所有的判断都是统计学。

——C.R劳

1、课堂主讲----构建知识框架2、课程自主学习(自修)----理解巩固3、课程研讨项目----“学以致用”注：①期中、期末考试②课程项目研讨③作业出勤--抽查

课程教学组织及考核第一讲一、随机事件二、频率及概率第一章随机事件与概率

有如下特点:（可重复性）可在相同的条件下重复进行；（可观察性）试验结果不止一个,但能明确所有的结果；3.（不确定性）试验前不能确定出现哪种结果。

随机试验（Experiment）如何研究和揭示随机现象的统计规律性？

E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T

（Tails）出现的情况。

E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正、反面出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。

E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。

E5：观察一个网站一天内受到的点击次数。

E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最低温度和最高温度。S1:{H,T}S2:{HHH,HHT,HTH,HTT, THH,THT,TTH,TTT}S3:{0,1,2,3}S4:{1,2,3,4,5,6}S5:{0,1,2,3……}S6:{t|t0}S7:{(x,y)|T0xyT1}样本空间（S）随机试验E的所有可能结果组成的集合；样本点：样本空间的元素，即E的每个结果；随机事件:

样本空间

S的子集称为

E的随机事件；基本事件:

有一个样本点组成的单点集；必然事件:

样本空间S本身；不可能事件:空集。样本空间(Space)和随机事件我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现．对应于集合例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}

表示“第一次出现的是正面”

S6中事件B1={t|t1000}

表示“灯泡是次品”

事件B2={t|t1000}

表示“灯泡是合格品”

事件B3={t|t1500}

表示“灯泡是一级品”10

包含关系

事件间的关系与运算（对应于集合）20

和事件

30积事件

40

差事件50

互不相容60

对立事件SAB用事件发生观点解释

记号

概率论

集合论

S样本空间,必然事件空间（全集）

φ不可能事件空集

样本点（基本事件）元素

AB

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φA与B不能同时发生A与B无相同元素

AB

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

AB

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件发生A的余集

差化积随机事件的运算规律交换律:结合律:分配律:

DeMorgan定律:A,B,C

都不发生—

A,B,C

不都发生—（1）第三次未中奖（2）第三次才中奖（3）恰有一次中奖（4）至少有一次中奖（5）不止一次中奖（6）至多中奖二次§1.2随机事件的概率在生活当中，经常接触到事件的概率，比如：

明天降水

概率为30%

，某强队对弱队赢球

的概率为80%

概率是随机事件发生可能性大小的度量1、了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额2、了解顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员3、了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.性质:定义：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA（频数），比值称为事件A发生的频率，记成fn(A)

。一:频率的定义和性质

3.若事件A1,A2互不相容，则频率的稳定性:当试验次数充分大时，事件的频率常在某个确定的数字附近摆动试验者n

nA

fn(A)德·莫根蒲

丰K·皮尔逊K·皮尔逊204840401200024000106120486019120120.51810.50690.50160.5005历史上不少著名学者做过抛掷硬币试验，数据如下：实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性．频率的稳定性概率的公理化定义定义

设

E是随机试验，S

是它的样本空间，对于

E

的每一个事件A

赋予一个实数，记为称为事件A

的概率，要求满足下列条件：

概率的性质与推广SABSBASABSA练习:甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件第二讲一、古典概型二、条件概率及乘法公式三、事件的独立性

生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：

样本空间的元素只有有限个；

每个基本事件发生的可能性相同。

一.

等可能概型（古典概型）

设S={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，若事件A包含k个基本事件，即A={e1,e2,…ek},

则有：

例1将一枚硬币抛掷三次。事件A1为“恰有一次出现正面”事件A2为“至少有一次出现正面”，求解：属于古典概型，

样本空间S2={HHH,

HHT,HTH,THH,

HTT,THT,TTH,TTT}

A1={HTT,THT,TTH}练习：一部10卷文集，将其按任意顺序排放在书架上,试求其恰好按先后顺序排放的概率．

例如：若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮乘法原理加法原理排列组合知识例2：一口袋装有

6只球，其中

4只白球、2只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式（放回抽样和不放回抽样）。分别就两种方式求：

1）取到的两只都是白球的概率；

2）取到的两只球颜色相同的概率；

3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。

解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。设A=“

取到的两只都是白球”

B=“

取到的两只球颜色相同”，C=“

取到的两只球中至少有一只是白球”。有放回抽取:

无放回抽取:例3：在1~2000的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？解：设A为事件“取到的整数能被6整除”B为“取到的整数能被8整除”AB

为“既被6整除又被8整除”=“能被24整除”

例4：（分球入盒问题）

将

n

只球随机的放入N(Nn)

个盒子中去，求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。解：将

n

只球放入

N个盒子中去,共有而每个盒子中至多放一只球, 共有练习：

求国贸13-1班40人至少有2人生日相同的概率.解：所求概率为考虑其对立事件：即生日全不相同总的可能分布数：36540“生日全不相同”的可能分布数：365！/（365-40）！“在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为99.7%。2、确定概率的几何方法---几何概型若①样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S；

②落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的).

则事件A的概率为:说明：当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率.共同点是等可能例2

用随机试验的方法求任何一个复杂图形的面积

例1（会面问题）甲、乙两人约定在8时到9时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20分钟，过时即可离去。求两人能会面的概率。

几何方法的例子在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.引例：某厂有甲，乙两个车间生产同一种型号的产品，结果如下表，从这100件产品任取一件，设A表示取到合格品，B表示取到甲车间产品，求P（A），P（B），P（AB），P(A|B).二:条件概率解条件概率的计算方法（1）可用缩减样本空间法（2）用定义与有关公式分析发现

2.性质：（条件概率符合概率定义中的三个条件）即(1)对于任一事件B,有P(B|A)≥0;(2)P(S|A)=1;因此,概率中的一些重要结果都适用于条件概率.1.定义:设事件A,B,且P(A)>0,称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.例5:设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每次取一件,作不放回抽样.设A={第一次抽到合格品},B={第二次抽到次品},求P(B|A).解法1:P(B|A)=5/99解法2:P(AB)=(95×5)/(100×99),P(A)=95/100，

P(B|A)=5/99练习1:某动物活到20岁以上的概率是0.8,活到25岁以上的概率是0.4,现已有一只活到20岁,求它能活到25岁的概率（1）缩减样本空间法（2）用定义公式

3.乘法公式

由条件概率的定义可得：

P(AB)=P(A|B)P(B)或P(AB)=P(B|A)P(A)注：当P(AB)不易直接求得时，可考虑用乘法公式推广例6:

一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白球的概率.4.全概率公式

若事件B1,B2,······,Bn是样本空间的一组分割，则全概率公式用于求复杂事件的概率.使用关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：例7：设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次一件，求取出的第二件为不合格品的概率。解：设A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.贝叶斯公式

例8：某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.即追究事情根源----（1/6，2/6，3/6）P(飞机|迟到)=(1/3)×0.1/[(1/3)×0.1+(1/3)×0.2+(1/3)×0.3]若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，则贝叶斯（Bayes）公式

注：1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A发生的原因;

2)称P(Bj)为“先验概率”，称P(Bj|A)为“后验概率”

三、事件的独立性引例:分别掷两枚硬币设事件A={甲币出现正面H},B={乙币出现正面H}显然甲币是否出现正面与乙币是否出现正面互不影响定义:设A,B是两事件,如果P(AB)=P(A)P(B)

则称事件A,B为相互独立.定义:

设A，B为两事件，如果P(B|A）=P（B）即事件B发生的可能性不受事件A的影响，则称事件A,B相互独立.练习题:发电厂有两台发电机组,每台正常运转的概率是0.9,求电厂能发电的概率.定理2:若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.独立性的判定:(1)定义(2)背景(3)从统计数据推断例9:甲、乙两个战士打靶,甲的命中率为0.9,乙的命中率为0.85,两人同时射击同一目标,各打一枪.求目标被击中的概率.解:设A={甲击中目标},B={乙击中目标},C={目标被击中},=0.9+0.85-0.9×0.85=0.985思考：若目标已被击中，试求是甲击中的概率。定义:设A,B,C是三事件,如果具有等式

P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(CA)=P(C)P(A)P(ABC