第五章4节 弯曲应力

§5–1纯弯曲§5–2纯弯曲时的正应力§5–3横力弯曲时的正应力§5–4弯曲切应力§5–5关于弯曲理论的基本假设§5–6提高弯曲强度的措施

第五章弯曲应力

(Stressesinbeams)zybh1、假设：⑵切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。yτFs一、矩形截面梁上的切应力§5–4弯曲切应力

(Shearstressesinbeams）q(x)F1F2x⑴横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。mnnmxyzobdxm’m’hn(a)截取微段q(x)F1F2mmnnxdx2、公式推导Zmnnmxyzobdxm’m’hn(b)截取单元体yABA1B1ZyABB1A1mnxzyym’FNFN1ττ’mnnmxyzoyABA1B1bdxm’m’hnττ’ABB1A1mnxzyym’FNFN1ττ’(c)平衡方程式中：为面积A*对中性轴的静矩A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积b矩形截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的横线以外部分面积对中性轴的静矩横截面上的剪力——矩形截面梁弯曲切应力公式

y1nBmAxyzOyA1B1m1可见,切应力沿截面高度按抛物线规律变化。zτmaxy=±h/2(即在横截面上距中性轴最远处)

τ=0y=0(即在中性轴上各点处),切应力达到最大值式中，A=bh，为矩形截面的面积。3、切应力沿截面高度的变化规律z截面静矩的计算方法A为截面面积为截面的形心坐标A*二、工字形截面梁（工-sectionbeam)假设求应力的点到中性轴的距离为y。研究方法与矩形截面同,切应力的计算公式亦为HoyBxdzhOzydxyd

——腹板的厚度——距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩。τminozyτmaxτmax(a)腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化。(b)最大切应力也在中性轴上，这也是整个横截面上的最大切应力。τminozyτmaxτmax(c)计算结果表明，腹板上的总切应力约为整个截面上切应力的0.95~0.97，可见，横截面上的剪力绝大部分由腹板承担。(d)腹板上的切应力接近于均匀分布，所以腹板内的切应力约为最大切应力发生在中性轴上ydzo式中为圆截面的面积假设(a)沿宽度kk’上各点处的切应力均汇交于o’点。(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。三、圆截面梁(Beamofcircularcrosssection)四、强度条件（Strengthcondition）需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，而FS较大时，要校核切应力；（2）铆接或焊接的组合截面的工字梁，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力。解(1)计算支反力做内力图。qBACDElFFaaRARB例5-5

简支梁AB如图所示.l＝2m,a＝0.2m.梁上的载荷为q＝10kN/m,F＝200kN.材料的许用应力为[σ]=160MPa,[τ]＝100MPa,试选择工字钢型号。(2)根据正应力强度条件选择工字钢型号查型钢表,选用22a工字钢,其W＝309cm38kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·mxxM（3）校核梁的切应力腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得τmax超过[τ]很多，应重新选择更大的截面.现将25b工字钢进行试算查表得d=1cm所以应选用型号为25b的工字钢。

§5–6提高梁弯曲强度的措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)一、合理安排梁的受力情况，降低梁的最大弯矩值1、合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件FlFl/4l/4l/2Fl/4xMFl/8xM2、合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动a=0.207l

时aalqlqxql2/8M0.0214ql2xM二、选择合理的截面，增大Wz1、合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zD1zaaa12a1z工字形截面与框形截面类似。0.8a2a21.6a22a2z工字钢或槽钢比矩形截面经济合理，矩形截面比圆形截面经济合理所以工程上钢结构中的抗弯杆件，经常采用工字形，槽形或箱形截面截面形状圆形矩形槽钢工字钢几种截面的抗弯截面模量/截面面积2、合理的放置bhbh竖放比横放要好b.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧3、根据材料特性选择截面形状a.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面zy1y2σcmaxσtmax要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力三、采用等强度梁梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力,则称为等强度梁。例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁,若设计成等强度梁,则其高度随截面位置的变化规律h(x),