2023年度人教版数学九年级上册考点归纳与练习21.1 一元

第13页第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1.一元二次方程的定义〔1〕一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．〔2〕概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．〔3〕判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后〞；“一个未知数〞；“未知数的最高次数是2〞；“二次项的系数不等于0〞；“整式方程〞．2.一元二次方程的一般形式〔1〕一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．

〔2〕要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．3.一元二次方程的解〔1〕一元二次方程的解〔根〕的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

〔2〕一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两实数根，那么以下两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．

ax12+bx1+c=0〔a≠0〕，ax22+bx2+c=0〔a≠0〕．一．选择题〔共15小题〕1．以下方程是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．〔x+1〕〔x+2〕=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=02．以下方程中是一元二次方程的为〔〕A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=93．假设关于x的方程〔a+1〕x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，那么a的取值范围是〔〕A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠04．假设关于x的方程〔m﹣2〕x2+mx﹣1=0是一元二次方程，那么m的取值范围是〔〕A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠05．假设方程〔m﹣1〕xm2+1﹣〔m+1〕x﹣2=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为〔〕A．0 B．±1 C．1 D．﹣16．假设关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，那么a的值不能为〔〕A．2 B．﹣2 C．0 D．37．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为〔〕A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=08．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是〔〕A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、29．假设关于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，那么m等于〔〕A．0 B．1 C．2 D．1或210．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为〔〕A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x11．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．312．关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0的一个根0，那么a值为〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．013．假设x=1是方程ax2+bx+c=0的解，那么〔〕A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=014．假设关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，那么2023+2a﹣b的值是〔〕A．2023 B．2023 C．2023 D．202315．α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，那么α3+8β+6的值为〔〕A．﹣1 B．2 C．22 D．30二．填空题〔共8小题〕16．假设〔m﹣2〕﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m的值为．17．假设关于x的方程〔a+3〕x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a的值为．18．一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化为一般形式为．19．一元二次方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，那么p的值．21．假设2n〔n≠0〕是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，那么m﹣n的值为．22．假设关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，那么m+n=．23．假设m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，那么6m2﹣9m+2023的值为．三．解答题〔共7小题〕24．关于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0．〔1〕当m为何值时，该方程为一元二次方程？〔2〕当m为何值时，该方程为一元一次方程？25．方程是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．26．把方程〔3x+2〕〔x﹣3〕=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．27．假设关于x的二次方程〔m+1〕x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．28．假设x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，求a的值．29．2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．〔1〕求m的值；〔2〕求△ABC的周长．30．m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式〔m2﹣m〕〔m﹣+1〕的值．

参考答案与试题解析一．选择题〔共15小题〕1．以下方程是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x2+=1 B．ax2+bx+c=0 C．〔x+1〕〔x+2〕=1 D．3x2﹣2xy﹣5y=0【解答】解：A、x2+=1是分式方程，故此选项错误；B、ax2+bx+c=0〔a≠0〕，故此选项错误；C、〔x+1〕〔x+2〕=1是一元二次方程，故此选项正确；D、3x2﹣2xy﹣5y=0是二元二次方程，故此选项错误．应选：C．2．以下方程中是一元二次方程的为〔〕A．x2+y=3 B．x2﹣2x+5=0 C． D．x﹣2y=9【解答】解：A、x2+y=3，是二元二次方程，故此选项错误；B、x2﹣2x+5=0，是一元二次方程，故此选项正确；C、x2﹣=4是分式方程，故此选项错误；D、x﹣2y=9是二元一次方程，故此选项错误；应选：B．3．假设关于x的方程〔a+1〕x2﹣2x﹣1=0是一元二次方程，那么a的取值范围是〔〕A．a≠﹣1 B．a＞1 C．a＜1 D．a≠0【解答】解：由题意可知：a+1≠0，∴a≠﹣1应选：A．4．假设关于x的方程〔m﹣2〕x2+mx﹣1=0是一元二次方程，那么m的取值范围是〔〕A．m≠2 B．m=2 C．m≥2 D．m≠0【解答】解：由题意，得m﹣2≠0，m≠2，应选：A．5．假设方程〔m﹣1〕xm2+1﹣〔m+1〕x﹣2=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为〔〕A．0 B．±1 C．1 D．﹣1【解答】解：由题意得：m2+1=2，m﹣1≠0，解得m=﹣1，应选：D．6．假设关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，那么a的值不能为〔〕A．2 B．﹣2 C．0 D．3【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x=2x2﹣2是一元二次方程，∴〔a﹣2〕x2﹣3x+2=0是一元二次方程，∴a﹣2≠0．∴a≠2．应选：A．7．将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为〔〕A．3x2﹣4x+2=0 B．3x2﹣4x﹣2=0 C．3x2+4x+2=0 D．3x2+4x﹣2=0【解答】解：方程整理得：3x2﹣4x+2=0，应选：A．8．一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，a、b、c的值分别是〔〕A．3、﹣4、﹣2 B．3、﹣3、2 C．3、﹣2、2 D．3、﹣4、2【解答】解：一元二次方程3x2﹣3x=x+2化为一般形式ax2+bx+c=0后，3x2﹣4x﹣2=0，那么a=3，b=﹣4，c=﹣2．应选：A．9．假设关于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，那么m等于〔〕A．0 B．1 C．2 D．1或2【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+3x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，m﹣2≠0，解得：m=1．应选：B．10．将一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为〔〕A．3，﹣6 B．3，6 C．3，1 D．3x2，﹣6x【解答】解：一元二次方程3x2+1=6x化为一般形式是3x2﹣6x+1=0，各项的系数分别是：3，﹣6．应选：A．11．关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为〔〕A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，∴02+a2﹣1=0，解得，a=±1，应选：C．12．关于x的一元二次方程〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0的一个根0，那么a值为〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0，解得：a=±1，∵〔a﹣1〕x2+x+a2﹣1=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1，∴a的值是﹣1．应选：B．13．假设x=1是方程ax2+bx+c=0的解，那么〔〕A．a+b+c=1 B．a﹣b+c=0 C．a+b+c=0 D．a﹣b﹣c=0【解答】解：把x=1代入ax2+bx+c=0，可得：a+b+c=0；应选：C．14．假设关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，那么2023+2a﹣b的值是〔〕A．2023 B．2023 C．2023 D．2023【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，∴4a﹣2b+4=0，那么2a﹣b=﹣2，∴2023+2a﹣b=2023+〔2a﹣b〕=2023+〔﹣2〕=2023．应选：B．15．α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，那么α3+8β+6的值为〔〕A．﹣1 B．2 C．22 D．30【解答】解：方法一：方程x2﹣2x﹣4=0解是x=，即x=1±，∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴①当α=1+，β=1﹣时，α3+8β+6，=〔1+〕3+8〔1﹣〕+6，=16+8+8﹣8+6，=30；②当α=1﹣，β=1+时，α3+8β+6，=〔1﹣〕3+8〔1+〕+6，=16﹣8+8+8+6，=30．方法二：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，∴α2=2α+4∴α3+8β+6=α•α2+8β+6=α•〔2α+4〕+8β+6=2α2+4α+8β+6=2〔2α+4〕+4α+8β+6=8α+8β+14=8〔α+β〕+14=30，应选：D．二．填空题〔共8小题〕16．假设〔m﹣2〕﹣mx+1=0是一元二次方程，那么m的值为﹣2．【解答】解：根据题意得：，解得：m=﹣2．故答案是：﹣2．17．假设关于x的方程〔a+3〕x|a|﹣1﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a的值为3．【解答】解：由题意得：|a|﹣1=2，且a+3≠0，解得：a=3，故答案为：3．18．一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0．【解答】解：一元二次方程3x〔x﹣3〕=2x2+1化为一般形式为x2﹣9x﹣1=0，故答案为：x2﹣9x﹣1=0．19．一元二次方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5的二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13．【解答】解：方程〔2+x〕〔3x﹣4〕=5整理为一般式可得3x2+2x﹣13=0，∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，故答案为：3、2、﹣13．20．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，那么p的值﹣1．【解答】解：把x=2代入方程x2+px﹣2=0得4+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故答案为：﹣1．21．假设2n〔n≠0〕是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，那么m﹣n的值为．【解答】解：∵2n〔n≠0〕是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，∴4n2﹣4mn+2n=0，∴4n﹣4m+2=0，∴m﹣n=．故答案是：．22．假设关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，那么m+n=﹣2．【解答】解：∵2〔n≠0〕是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，∴4+2m+2n=0，∴n+m=﹣2，故答案为：﹣2．23．假设m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，那么6m2﹣9m+2023的值为2023．【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，∴2m2﹣3m=1∴原式=3〔2m2﹣3m〕+2023=2023故答案为：2023三．解答题〔共7小题〕24．关于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0．〔1〕当m为何值时，该方程为一元二次方程？〔2〕当m为何值时，该方程为一元一次方程？【解答】解：〔1〕∵关于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0为一元二次方程，∴m2﹣1≠0，解得m≠±1，即当m≠±1时，方程为一元二次方程；〔2〕∵关于x的方程〔m2﹣1〕x2+〔m﹣1〕x﹣2=0为一元一次方程，∴m2﹣1=0，且m﹣1≠0，解得m=﹣1，即当m为﹣1时，方程为一元一次方程．25．方程是一元二次方程，试求代数式m2+2m﹣4的值．【解答】解：根据题意得，m2﹣2=2且m﹣2≠0，解得m=±2且m≠2，所以，m=﹣2，所以，m2+2m﹣4=〔﹣2〕2+2×〔﹣2〕﹣4=4﹣4﹣4=﹣4．26．把方程〔3x+2〕〔x﹣3〕=2x﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数