第二章构件与产品的静力分析

产品设计机械基础李江Li_jiang@.c一篇工程力学基础工程力学的基本概念（2学时）产品与构件的静力分析（2学时）产品与构件的强度与刚度分析（2学时）第二章构件与产品的静力分析平面力系的简化与合成平面力系平衡问题的求解空间力系简介超静定的概念物体的重心和平面图形的形心摩擦与摩擦力问题功与功率第一节平面力系的简化与合成

产品常受到由多个力和力偶组成的力系的作用。须在作用

效果不变的前提下，将力系加以简化，以便于问题的求解。

一、力的投影合力投影定理图2-1力的投影

注意，力的投影Fx

、Fy

等不是矢量，是代数量，有正负，应使用白体字母。

确定正负的规则是：从a

到b

的指向与x轴的正向一致，则

Fx

取正值；

Fy

的正负规则类同。

若力F的数值大小为

F，与x轴正向所夹的锐角为α

，则

（2-1）

1.力在坐标轴上的投影第一节平面力系的简化与合成例2-1求图2-2中各力在x、y

轴上的投影。已知F1=F2=100kN；F3=F4=200kN。图2-2例2-1图

解由式（2-1）可得：

F1x

＝－F1cos45°＝－100kN×0.707＝－70.7kN

F1y

＝

F1

sin45°＝100kN×0.707＝70.7kN由图判定F2

与x

轴形成的锐角是α＝30°，因此有：F2x＝－F2cos30°＝－100kN×0.866＝－86.6kN

F2y＝－F2

sin30°＝－100kN×0.500＝－50.0kN

F3X

＝F3

cos30°＝200kN×0.866kN＝173.2kN

F3y

＝－F3sin30°＝－200kN×0.500＝－100kN

F4x＝F4cos90°＝0

F4y＝F4

sin90°＝200kN×1.00＝200kN

已知力

F在坐标轴上的投影Fx和Fy，可由式（2-2）求出力F的大小和方向：

（2-2）力F的指向根据FX和Fy的正负加以确定。第一节平面力系的简化与合成图2-3合力投影定理

刚体受

F1

、F2

、…Fn

等n个力的汇交力系的作用，若该力系的合力为R

，即

R

＝

F1＋F2

＋…＋Fn

，则有

（2-3）

式（2-3）表示：合力在任意坐标轴上的投影等于诸分力在同一坐标轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

二、平面汇交力系的合成F1、F2、…Fn

等n个力组成平面汇交力系，合力R的大小和方向由式（2-4）求出：（2-4）式中，R为合力R的大小，θ为合力R与x轴所夹的锐角。图2-4例2-2图

例2-2平面汇交力系作用于吊环螺栓如图2-4示，求四力合力的大小和方向。

解1）各力在图示x轴和y轴上的投影

F1x＝－360N×cos（90°－60°）＝－312N

F2x＝550N×cos90°＝0

F3x＝380N×cos（90°－30°）＝190N

F4x＝300N×cos（90°－30°－40°）＝282NF1y＝360N×sin（90°－60°）＝180N

F2y＝550N×sin90°＝550N

F3y＝380N×sin（90°－30°）＝329N

F4y＝300N×sin（90°－30°－40°）＝103N2）各力投影的代数和

Rx＝ΣFx＝F1x＋F2x＋F3x＋F4x＝160N

Ry＝ΣFy＝F1y＋F2y＋F3y＋F4y＝1162N3）由式（2-4），合力R的大小

R与x轴所夹锐角由于Rx＞0，Ry＞0，可知合力R指向右上方。第一节平面力系的简化与合成第一节平面力系的简化与合成三、力对点之矩合力矩定理1.力对点之矩力F对O点之矩，简称力矩。

转动中O点称为矩心。

矩心到力作用线的垂直距离d称

为力臂。力F对O点之矩用MO（F）表示，

符号“Mo”中的下标“O”表示矩心点。图2-5力对点之矩

力对点之矩是一个代数量：力矩使物体绕矩心逆时针转动时，取正号；反之，取负号。力矩的单位为牛米（N·m），或千牛米（kN·m）：1kN·m＝1000N·m。2.合力矩定理合力对平面内任意一点之矩，等于所有分力对同一点之矩的代数和，即：若R＝F1＋F2＋…＋Fn，

则Mo（R）＝Mo（F1）＋Mo（F2）＋…＋Mo

（Fn）＝∑Mo（F）（2-6）即Mo（F）＝F×d

（2-5）第一节平面力系的简化与合成

例2-3齿轮在齿廓的P点受到法向力

Fn＝100N作用,P点处直径d＝80mm，

α＝20°，求力Fn对轮心O点之矩。图2-6

例2-3图

解⑴由式（2-5）

⑵力Fn

可以分解为径向分力Fr和切向分力Ft；前者通过轮心O点，对O不产生力矩。因此力由式（2-6）

（结果为负值，表明力矩将使齿轮顺时针转动。）第一节平面力系的简化与合成

例2-4T形构件受力如

图2-7所示，P

＝250N,求

力P对C点之矩Mc（P）。图2-7例2-4图

解将力P分解为Px、Py如图2-7b示，用式（2-6）进行求解。分力的数值Px＝Pcos30°，Py＝Psin30°Mc

（P）＝Mc

（Px）＋Mc（Py）＝Px×0.5m＋Py×0.4m

＝－Pcos30°×0.5m＋Psin30°×0.4m

＝－250N×0.866×0.5m＋250N×0.5×0.4m＝－58.25N·m

力矩值为负数，此力矩为顺时针方向。第一节平面力系的简化与合成四、力偶力偶系的合成1.力偶及力偶矩图2-8力偶示例

力偶臂：力偶中两力作用线间的垂直距离d。

力偶作用面：力偶中两个力所在的平面

大小相等、方向相反、不共线的两个平行力F、F′组成力偶，用符号（F、F′

）表示。力偶只能使物体发生转动。

乘积F×d为度量力偶转动效应的物理量，称为力偶矩，用符号M表示，即图2-9力偶臂

图2-10力偶矩

的正负号规则

M＝F×d（2-7）力偶使物体逆时针转动，则力偶矩取正号；反之，取负号。

力偶矩的单位是牛米（N·m）或千牛米（kN·m）。第一节平面力系的简化与合成2.力偶的性质（1）力偶无合力。力偶和力是组成力系的两个并列的基本物理量。

力偶三要素是：力偶矩的大小、转动方向和力偶作用面。（2）力偶两力对面内任一点力矩的代数和等于力偶矩，与矩心位置无关。（3）力偶的等效性及其推论图2-11力偶的投影为零

推论：

力偶可以在其作用面内任意移动而

不改变它对刚体的转动效应。即力偶对刚体的转动效应与力偶在作用面内的位置无关。图2-12

力偶的

等效性

第一节平面力系的简化与合成3.平面力偶系的合成

M合＋M1＋M2＋…＋Mn＝∑M

（2-8）图2-13例2-5图

例2-5物体受3个力偶作用，F1＝240N、

d1＝100mm、F2＝160N、d2＝40mm、

M3＝－24N·m，求合力偶矩。

解由式（2-7）：M1＝－F1×d1＝－240N×0.100m＝－24N·mM2

＝F2×d2

＝160N×0.04m＝6.4N·m由式（2-8）：M合＝M1＋M2

＋M3＝（－24＋6.4－24）N·m＝－41.6N·m合力偶矩为负值，它使物体顺时针转动。平面力偶系合成的结果为一合力偶，

合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即：第一节平面力系的简化与合成五、力的平移定理图2-14力的平移引起效应改变

图2-15力的平移定理

若将作用在刚体某点的力平移到刚体上任意另外一点，而不改变原力的

作用效应，则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点之矩。六、平面任意力系的简化

由任意多个力和任意多个力偶组成的平面力系，可以简化为作用于面内

任意点的一个力，和一个附加力偶。这个力，称为原力系的主矢量，简称主矢。

这个附加力偶的力偶矩，称为原力系的主矩。

选定的“任意点”，称为简化中心。第一节平面力系的简化与合成图2-16平面

任意力系的简化

主矢量R′的大小和方向（角）：

Ry′＝Ｆ1y′＋Ｆ2y′＋…＋Ｆy′＝Ｆ1y＋Ｆ2y＋…＋Ｆny＝∑Fy

（2-11）(2-10)

式中Rx′＝Ｆ1x′＋Ｆ2x′＋…＋Ｆnx′＝Ｆ1x＋Ｆ2x＋…＋Ｆx＝∑Fx由式（2-6）求得主矩MO′的数值：由式（2-4）得到Mo′＝M1＋M2＋…＋Mn

＝Mo（F1）＋Mo（F2）＋…＋Mo（Fn）＝∑Mo（F）（2-12）主矢量R′之值与简化中心的位置无关。主矩的大小是与简化中心的位置无关的。(2-9)第一节平面力系的简化与合成七、平面力系简化结果的分析平面任意力系简化的结果，不外乎以下4种情况：1.主矢量R′和主矩MO′都等于零，表示原力系是一个平衡力系。2.主矢量R′≠0，主矩MO′＝0，表示原力系可合成为一个合力，

此合力就是作用在简化中心的主矢量。3.主矢量R′＝0，主矩MO′≠0，表示原力系可合成为一个力偶，

此力偶的力偶矩就是主矩。4.主矢量R′≠0，主矩MO′≠0，表示力系能使物体移动、也能使物体转动。

主矢量R′和力偶矩为MO′的合力偶还可以合成为一个合力R，其大小和方向

与R′相同，简化中心到合力R作用线的垂直距离d为：

。

第二节平面力系平衡问题的求解一、平面汇交力系的平衡问题平面汇交力系的平衡方程如下：（2-13）

平面汇交力系平衡的充分必要条件是：

力系中各力在任选直角坐标系两个坐标轴上投影的代数和均为零。

式（2-13）包含两个独立的方程，可用以求解两个未知量。图2-17例2-6图

例2-6水平力F将吊住的重物G右推距离x，G＝80N，l＝600mm，x＝240mm，

求推力F和绳索的拉力T。

解1）取重物为研究对象，画出受力图。2）列出平衡方程求解：∑Fx＝0，F－Tsinα＝０（1）∑Fy＝0，Tcosα－G＝0（2）由图，sinα＝（x／l）＝（240／600）＝0.4，

cosα＝0.917，

代入数据，求得：F＝35N，T＝87.2N。

第二节平面力系平衡问题的求解二、平面力偶系的平衡问题

平面力偶系平衡的充分必要条件是其合力偶矩为零。M合＝∑M＝0（2-14）推广：若作用在刚体上的所有力偶都在互相平行的平面内，

则刚体平衡的充分必要条件为所有力偶的合力偶矩为零。图2-19例2-8图

例2-8三个钻头对工件作用的三个力偶矩为：

M1＝6N·m，M2＝8N·m，M3＝12N·m；固定工件

的螺栓A和B的间距l＝100mm。求两螺栓的受力。

解：取工件为研究对象。

螺栓A、B对工件一对反力形成反向的力偶

（NA

，NB

），与3个主动力偶组成平衡力偶系，即

∑M＝0，（NA×l）－M1－M2－M3＝0

，且NB

＝NA＝280N。

提示图中NA、NB是螺栓A、B对工件的反力；本题要求的是工件给螺栓的作用力。

因两者互为作用力与反作用力，等值、反向。求出了前者，“默认”为后者也已求出。

代入数值，得到第二节平面力系平衡问题的求解三、平面任意力系的平衡问题

平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系中各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，各力对力系作用面内任一点之矩的代数和也等于零。基本平衡方程如下∑Fx＝0∑Fy＝0（2-15）∑MO（F）＝0“两矩一影式”平衡方程为∑MA（F）＝0∑MB（F）＝0（2-16）∑Fx＝0式（2-16）的使用条件是：所选的投影轴x轴不垂直于A、B两点的连线。“三矩式”平衡方程为∑MA（F）＝0∑MB（F）＝0（2-17）∑MC（F）＝0式（2-17）的使用条件是：A、B、C三点不在一条直线上。式（2-15）～（2-17）各包含3个独立的方程，各可用来求解3个未知量。

第二节平面力系平衡问题的求解四、物体系统（物系）的平衡问题图2-24例2-13图

物系受力平衡时，系内各个部分也受力平衡。求解从未知外力、或各个部之间的内力开始。

例2-13G＝720N的男子立于梯上K点，

AB＝AC＝3m，AD＝AE＝2m，AK＝1m，

α＝40。求B、C两点及铰链A处的反力、绳子DE的拉力。

解⑴求反力NB、NC

∑M

B（F）＝0

代入数据G＝720N，α＝40°，得到：NC＝480N

∑Fx＝0，NB＋NC－G＝0代入数据得到：NB＝240N⑵求物系的内力拉力T和铰链A的反力，取AB为研究对象

∑MA（F）＝0，

（1）

∑Fx＝0，T＋RAX＝0（2）∑Fy＝0，NB＋RAY＝0（3）算得：T＝131N，RAX＝－131N，RAY＝－240NRAX、RAY为负值，表明两力的实际指向与图2-24上所标示的指向相反。

第二章构件与产品的静力分析平面力系的简化与合成平面力系平衡问题的求解空间力系简介超静定的概念物体的重心和平面图形的形心摩擦与摩擦力问题功与功率第五节摩擦与摩擦力一、摩擦与摩擦力的概念若问题中摩擦力影响大，或问题由摩擦力所决定，摩擦力即为分析计算之要素。

实例：车轮与地面之间胶带传输机带传动机构摩擦离合器制动器螺钉、螺栓的联接紧固等本节只初步介绍古典摩擦理论中“干摩擦”问题的基本结论。二、滑动摩擦滑动摩擦沿接触面的切线方向，指向与相对滑动方向相反。

按物体间是否存在相对滑动，有静滑动摩擦力和动滑动摩擦力之分。1.静滑动摩擦力图2-39静摩擦力实验

静摩擦力F之值随主动力而变化，但不能超过最大静摩擦力Fmax，即：0≤F≤Fmax

（2-26）2.动滑动摩擦力

两物体滑动接触面间阻碍滑动的摩擦力，称为

动滑动摩擦力，简称动摩擦力，以F′表示。第五节摩擦与摩擦力3.滑动摩擦定律最大静摩擦力Fmax的大小与物体间的正压力（即法向反力）N成正比，即：Fmax＝μsN

（2-27）μs称为静滑动摩擦因数，简称静摩擦因数。与材料和表面状况有关，与面积无关。动滑动摩擦定律动摩擦力F′的大小也与物体间的正压力N

成正比

F′＝μN

（2-28）μ称为动滑动摩擦因数，简称动摩擦因数。与材料，表面状况以及速度有关。动摩擦因数μ略小于静摩擦因数μs

。小结：摩擦力的数值并非固定不变，分以下3种不同情况：①物体受力产生滑动趋势而仍静止未动，则静摩擦力F取值范围为：

0≤F≤Fmax，其值随外力变化，可根据该状况下的平衡条件计算确定。②物体处于临界平衡状态，静摩擦力具有最大值，即F＝Fmax＝μsN。③物体处于匀速滑动中，动摩擦力值F′为：F′＝μN。第五节摩擦与摩擦力三、考虑摩擦时的物体平衡问题①受力图上，摩擦力按实际方向、即与滑动（或滑动趋势）相反的方向画上；②平衡方程中的摩擦力值，按实际问题由式（2-26）、（2-27）或（2-28）确定；③由于静摩擦力值有一个变动范围，因此问题的解答也有可能有一个取值范围。图2-44例2-24图

例2-24夹角2β的楔形滑块A置导槽B中，受铅垂力Q（含滑块自重）作用，求能推动滑块的力P。摩擦副的摩擦因数为μs。

解⑴取楔形滑块研究结构对称，两斜面上的正压力等值：N1＝N2＝N。列平衡方程：∑Fy＝0，2Nsinβ－Q＝0，则⑵P力克服两侧接触面上的摩擦力才能使滑块移动。讨论：摩擦因数为μS、正压力为Q的平面接触滑块，最大静摩擦力为μsQ。

本例题表明：若滑块为楔角为2β的块槽配合，则最大静摩擦力将变成(μsQ／sinβ)，由于sinβ＜1，所以(μsQ／sinβ)＞μsQ。说明楔形块槽结构可以增加滑动摩擦力；且楔角β越小，摩擦力增大越多。这种“楔槽增压”方法，在工业产品中常有应用。例如V带传动，带轮楔角为2β＝38°时，因sinβ≈0.33，（1/sinβ）≈3，所以在径向压力相同的条件下，V带的传动能力能提高到平带传动能力的大约3倍。第五节摩擦与摩擦力四、摩擦角与自锁图2-45简单的自锁

图2-46摩擦角

简单直观的自锁现象：图2-451.摩擦角和摩擦锥R：全约束反力，简称全反力Φm称为摩擦角（图2-46）

摩擦角的正切等于摩擦因数（2-29）图2-47

摩擦锥

摩擦锥：顶角为2Φm的圆锥。（图2-47）2.自锁现象及应用实例

自锁现象如物体所受主动力合力的作用线在摩擦

锥以内，无论主动力多大，物体都保持静止不动。图2-48斜面自锁和摩擦因数的测定

Gsinα≤Fmax＝μs（Gcosα），

图2-48a中，物品斜面间正压力Gcosα；下滑力Gsinα，最大摩擦力Fmax＝μS（Gcosα）。

斜面自锁条件：即：

，

即斜面自锁条件为：

斜面倾角小于等于摩擦角。第五节摩擦与摩擦力图2-49自锁现象的应用实例

第二章构件与产品的静力分析平面力系的简化与合成平面力系平衡问题的求解空间力系简介超静定的概念物体的重心和平面图形的形心摩擦与摩擦力问题功与功率第六节功与功率一、功

功表征力在一段作用路程中产生的积累效应。图2-51常力在直线运动中的功

1.常力在直线运动中的功

物体在常力F作用下运动，力与运动方向夹

角α，力作用点位移s。将F分解成Fn与Fr：后

者与物体运动方向一致，使物体位移，力值为：Fr＝Fcosα

（2-30）

力F在物体运动方向上的投影与位移s的乘积称为力F在位移s中做的功，

以字母W表示，即W＝Fcosα×s＝Frs

（2-31）功是代数量，有大小、正负，而没有方向。功的单位是焦耳和千焦耳，用J和kJ表示：

1焦耳＝1牛顿×1米，1千焦耳＝1千牛×1米或1J＝1N·m，1kJ＝1kN·m。即1焦耳是1牛顿的力沿力的方向移动1米距离所做的功。第六节功与功率2.力矩在物体绕轴转动中的功图2-52力矩在物体转动中的功

在常力矩M作用下，物体发生绕轴线O的转动角

为φ，则力矩在物体这段转动中所做的功W为W＝Mφ

（2-32）转角φ的单位为弧度（rad）1rad＝（180°/π）＝57.3°

当力矩为常量时，力矩对转动体所做的功

等于力矩（转矩）M与转角φ的乘积。力矩与刚体转向相同时，力矩做正功；反之，力矩做负功。图2-53例2-26图

例2-26带轮直径D＝0.4m，紧边拉力T1＝300N松边，

拉力T2＝160N，求转矩M在轮子转过5圈中所做的功。解带轮所受的转矩为：此转矩由紧边拉力确定，与轮子转向一致，做功为正值：W＝Mφ＝M（5×2π）＝28N·m×5×2×3.14＝880N·m＝880J。第六节功与功率二、功率1.功率单位时间内所完成的功称为功率，用P表示：

（2-33）式中t是完成功W的时间。其中速度v

＝s/