第四章 位置线与船位理论

第四章位置线与船位理论

§4—1位置线与船位线一、基本概念1、等值线：观测值函数为常数的几何轨迹，在数学上称为等值线。例如：等深线、等高线、等磁差曲线等。2、位置线（lineofposition,LOP）在航海定位中，测者对物标进行观测时，其观测值为常数的点的几何轨迹，称为观测者的位置线。3、船位线推算船位附近一小段曲线或其切线所代替的位置线，叫船位线。2/5/20231二、位置线的种类1、方位位置线在近距离上，是和所观测已知位置的物标具有相同方位的点的轨迹。⑴船测岸：在地球表面上是恒位线（如图2-2-6所示）2/5/20232⑵岸测船：在地球表面上是大圆弧（如图2-2-5所示）⑶在墨卡托海图上：大圆弧与恒位线以恒向线为对称轴2/5/20233⑷平面上：方位位置线都是物标与测者两点间的直线。（如图2-2-1a船测岸、图2-2-1b岸测船所示）2/5/202342、距离位置线●平面上：是以物标为圆心，所测距离为半径的圆。（如图2-2-2所示）●球面上：是以M为极点，以所测距离D为极距的球面小圆。2/5/202353、方位差位置线（水平角位置线）平面上：是船与两物标所连的三角形的外接圆圆弧的一部分。(如图2-2-3所示)2/5/202364、距离差位置线是以两物标为焦点的双曲线。(如图2-2-4所示)2/5/20237§4—2位置线梯度及其误差位置线是观测时刻符合观测值的点的轨迹。就是说，当观测值变化时，必然会导致位置线的变化。例如，当观测值存在误差时，船位就不可能在此位置线上。因此，讨论观测值的变化与位置线的变化之间的相互关系，对研究船位线误差是必需的。同时，也为减少船位误差的方法提供了理论依据。2/5/20238一、位置线梯度的定义位置线梯度（gradientofLOP）是用来表示观测值的变化量与其位置线的位移量之间的比值的向量。（如图2-2-10所示）：2/5/20239当△u一定时：若△n越小，说明此间位置线的密度越大。船舶运动时的观测值变化越快；反之，若△n越大，密度越稀，变化越慢。航海上，近似认为：位置线梯度的模：g=△u/△n梯度的方向：τ=α±90o(即与位置线法线方向一致指向△u增加的方向)α：船位线方向，即位置线在船位处的切线方向。2/5/202310二、几种常用的平面位置线梯度1、方位位置线梯度⑴岸测船（如图2-2-11所示）：Δn=D·ΔBD：测者至船位间距（＇）ΔB：方位观测值增量（rad）∴gB=Δu/Δn=ΔB/D·ΔB

=1/D（rad/nmile）或gB

=ΔBo/D·ΔB/57o.3

=57o.3/D(o/nmile)

方向：τ=TB+90o.2/5/202311⑵船测岸（如图2-2-12所示）：Δn=D·ΔB∴gB=Δu/Δn

=1/D（rad/nmile）

或gB=57o.3/D(o/nmile)

方向：τ=TB–90o.2/5/2023122、距离位置线梯度（如图2-2-13所示）：Δn=D+ΔD–D=ΔDgD=Δu/Δn=ΔD/ΔD

=1τ=TB+180o.

(背离物标方向)TB：物标的真方位。2/5/2023133、方位差(水平角)位置线梯度数学证明:两函数的代数和(差)的梯度,等于该两函数的梯度的几何和(差)。因而方位差位置线梯度可以用两方位位置线梯度的几何差来表示。即：gα=g2–g1方位位置线梯度的模：gα=D/D1D2方位差位置线梯度的方向：是从船位P指向方位差位置线圆心的方向。

2/5/2023142/5/2023154、距离差位置线梯度（如图2-2-15所示）：模：γ——测者对基线的张角。方向：与双曲线P点的法线一致，并与P点和基线张角γ的平分线相垂直。2/5/202316

综上所述，现将位置线的梯度列表总结如下：（表见下页）梯度的方向：表明观测值增加时，位置线变化的方向；梯度的模：表明观测值的变化与所引起的位置线变化的量的关系。∵g=Δu/Δn∴Δn=Δu/g即：当Δu一定时，也就是观测误差Δu一定时，梯度g越大，位置线位移量Δn越小；反之，梯度g越小，位置线位移量Δn越大。2/5/202317种类模方向方位gB=1/Dτ=TB±90o.距离gD=1τ=TB+180o.方位差g△B=D/D1D2.τ=TB1+α2.距离差g△D=2（sinγ/2）τ=[（TB1+TB2）/2]±90o.下面来分析如何运用梯度来表示位置线的误差。2/5/202318三、位置线的误差1、若测量值为系统误差ε则，位置线系统误差公式：Eε=ε/g⑴方位位置线系统误差：⑵距离位置线系统误差：⑶方位差位置线系统误差：

⑷距离差位置线系统误差：2/5/2023192、若测量值为随机误差σ则，位置线的标准差公式为：Eσ=σ/g⑴方位标准差：⑵距离标准差：⑶方位差标准差：⑷距离差标准差：2/5/202320这样，只要知道测量值的系统误差ε和随机误差的标准差σ，利用上述公式，就可确定位置线的系统误差和随机误差的标准差。例：

用六分仪测M、N两物标间的水平角，若测角系统误差+１＇.2，随机误差标准差为±3＇.0，M、N间距4＇.0，船距M、N的距离分别为4＇.5和8＇.6。求该水平角位置线系统误差和标准差。解：系统误差：

标准差：2/5/202321当我们测定船位时，若同时获得两条位置线，且都不存在误差。则，该两条位置线的交点即为观测时刻的船位。但是，测量一定存在误差，导致测得的位置线也一定存在误差。那么，这两条同一时刻含有误差的位置线的交点，只能是我们观测时刻含有误差的船位。下面，将分别按位置线仅存在系统误差或随机误差两种情况来进行讨论。2/5/202322§4—3系统误差影响下的船位误差及其校正方法一、系统误差影响下的船位误差（如图2-2-17所示）P点是存在系统误差的船位线Ⅰ、Ⅱ的交点（观测船位），Ⅰ、Ⅱ的梯度分别为g1和g2。Ⅰ的测量系统误差为+ε或-ε，所导致的船位线误差分别为△n1和－△n1。2/5/202323消除测量系统误差+ε或-ε导致的船位线误差△n（+E）或-△n（-E）后的船位线将向梯度g的反方向或g方向上移动△n的距离。消除了系统误差后的观测船位应为P1、P2、P3、P4中的一点。它们与P之间的距离反映了在系统误差影响下船位P的误差大小。2/5/2023241、当Ⅰ、Ⅱ的系统误差同号时，消除了系统误差后的船位P1、P2与P之间的距离为δ。2、当Ⅰ、Ⅱ的系统误差异号时，消除了系统误差后的船位P3、P4与P之间的距离为δ1，则：2/5/202325若ε1=ε2=ε；g1=g2=g,则上述两公式可简化为：2/5/2023263、船位误差三角形（cockedhat）如果同时测得三条船位线，由于每条船位线必存在误差。因此，这三条船位线通常相交成一个小三角形，即船位误差三角形。（如图2-2-18所示）：2/5/202327二、如何在航海实践中判断位置线存在系统误差1、船位误差三角形短边长超过正常界限。（在大比例尺1:200,000海图上，边长＞5mm）；2、短时间内连续测得相同类型的几条船位线定位，其误差三角形相似；3、连续观测两标方位所得船位的连线，在改换观测其它物标时，发现断开现象。2/5/202328三、系统误差的消除和船位校正1、系统误差的消除系统误差是观测值与真值之差，即：ε=l–L可用差值法消除系统误差。∵在相同条件下，测得不同物标的两个观测值l1、l2则：L1=l1–ε；L2=l2–ε∴L2–L1=l2–l1。表明：两物标观测值之差=两物标真值之差即：消除了系统误差的影响。航海实践中，可将三标罗方位定位转换成三标两水平角定位；可将三标距离定位转换成三标两距离差定位。2/5/2023292、系统误差产生误差三角形的船位校正对于由于系统误差产生的船位误差三角形来说，消除了系统误差的船位P到误差三角形的三边的距离，应分别等于其位置线误差E1、E2、E3。∵E1=ε1/g1；E2=ε2/g2；E3=ε3/g3。若ε=ε1=ε2=ε3，且g=g1=g2=g3；

则：E1=E2=E3=E2/5/202330◆当三标分布范围＞180o时，校正后的船位应在船位误差三角形的内心上（内切圆圆心）上。（如图2-2-22所示）2/5/202331◆当三标分布范围＜180o时，校正后的船位应在船位误差三角形的中标位置线外側的旁心上（旁切圆圆心）上。（如图2-2-23所示）2/5/202332§4—4随机误差影响下的船位精度一、两条船位线定位（船位）误差平行四边形（errorparallelogram）（如图2-2-24所示）设Ⅰ、Ⅱ是两条同时观测到的船位线，其交点P是最概率船位。若Ⅰ、Ⅱ分别存在的标准差为±E1、±E2，则，以±E1、±E2分别所作船位线Ⅰ、Ⅱ的平行线交成船位误差四边形ABCD，且：2/5/202333E1=σ1/g1，E2=σ2/g2；已知：σ、E的概率均为68.3%，根据概率乘法定律，可得两条船位线的标准差同时出现在标准误差四边形内的概率为：1E1、1E2:P=P1×P2=68.3%×68.3%=46.6%；2E1、2E2:P=P1×P2=95.4%×95.4%=91.0%；3E1、3E2:P=P1×P2=99.7%×99.7%=99.4%；2/5/2023342、(船位)误差椭圆（errorellipseofposition）由船位误差理论可知，在均方误差四边形周界内，将真实船位出现的概率相等的各点连接起来，将是一个椭圆。据船位线标准差求得的椭圆，称为标准误差椭圆。该椭圆内切于标准误差四边形，且切点为各边中点。▲船位误差椭圆的长轴在船位线夹角的锐角区域内，且靠近精度较高的一条船位线。2/5/202335▲真实船位落在标准误差椭圆内的概率为：1a、1b：39.4%；2a、2b：86.5%；3a、3b：98.9%称以3a、3b所作的船位误差椭圆为极限误差椭圆。▲在误差椭圆内：短轴方向上，船位分布范围最小，精度最高；长轴方向上，船位分布范围最广，精度最低；2/5/202336▲在航海实践中，例如通过狭水道，应要求航线左右方向上船位分布尽量小，而在前后方向上船位分布偏大些对航行安全的影响相对小些。可见，航道前后方向上有两个以上可供定位的物标时，用方位定位有利；而在正横方向上有物标定位时，用距离定位较有利。（如图2-2-25和2-2-26所示）2/5/2023373.（船位）误差圆（Circleofuncertainty）是以观测船位为圆心，以观测船为标准差M为半径的圆。且：式中：E1、E2——分别为两条位置线的标准差。