第十四章 超静定结构

第十四章超静定结构§14-1超静定结构概述§14-2用力法正则方程求解超静定结构§14-3

对称及反对称性质§14-4连续梁及三弯矩方程§14-1超静定结构概述一、相关概念桁架：由直杆以铰节点相连接组成的杆系.若载荷只作用于节点上，则每一杆件只承受拉伸或压缩.刚架：由直杆以刚节点相连接组成的杆系.在载荷作用下，各杆可以承受拉压、剪切、弯曲和扭转作用.连续梁：连续跨过一系列中间支座的多跨梁.超静定结构：支座约束反力和（或）各构件的内力仅由静力平衡方程不能完全求解的结构.静定结构：支座约束反力和（或）各构件的内力仅由静力平衡方程可完全求解的结构.几何不变结构（运动学不变结构）：只可能有变形引起的位移而无任何刚性位移或转动的结构.多余约束：超静定结构中，超过维持结构几何不变性的外部和内部约束.PCBA机构超静定次数：结构的约束反力和各杆件的内力个数之和与能列出的独立的平衡方程个数之差.若该差值为1则超静定次数为1，为2则超静定次数为2等.基本静定系：若解除超静定结构上的某些多余约束后结构变为静定的，则称该静定结构为原超静定结构的基本静定系.基本静定系的选择不是唯一的.相当系统：在基本静定系基础上，附加上与多余约束相对应的多余反力，便得到原超静定结构的相当系统.多余反力：与多余约束对应的反力.【例14-1】指出超静定刚架的基本静定系和相当系统.基本静定系【例14-2】指出超静定梁的基本静定系和相当系统.相当系统基本静定系基本静定系相当系统相当系统三、超静定结构的分类外力超静定结构：结构支座反力超过了结构的静力平衡方程数目，支座反力不能通过静力平衡关系求解.内力超静定结构：结构的内力不能通过截面法求解.混合超静定结构：结构的内力和支座反力都不能通过静力平衡方程求解.二、超静定结构的判定方法外力超静定：对于平面系统，约束反力超过3个；空间系统，约束反力超过6个则为超静定结构.内力超静定：对于平面系统，单个封闭框架为内力3次超静定，每增加1个封闭框架，则增加3次超静定；对于空间系统，单个封闭框架为内力6次超静定，每增加1个封闭框架，则增加6次超静定.四、超静定结构的特点超静定结构的刚度一定比同类静定结构的刚度大，即结构位移小.在一般条件下，超静定结构的强度也比同类静定结构的强度高.超静定结构各个构件的内力与构件的刚度有关，其各个构件的刚度的变化将影响结构的内力分配，因此对于超静定结构的截面设计，最后必须按照预先规定的面积比值设计.对于超静定结构，温度变化、构件的加工尺寸不准确以及支座的沉陷等问题均会使得结构出现内力.五、超静定结构的求解方法材料力学中求解超静定结构的方法均以“力”作为基本未知量，称为“力法”.主要包括：变形比较法：适用于简单超静定结构.力法正则方程：适用于次数较高的超静定结构.三弯矩方程：适用于连续梁.六、超静定结构的求解步骤判断结构是否为超静定的，如果是则应确定其超静定次数.去除超静定结构的多余约束，得到基本静定系，用多余广义反力取代多余约束得到相当系统.将相当系统与原超静定结构作比较，得到相当系统应满足的变形协调条件(几何条件或位移边界条件).使用能量法或其它方法将变形协调条件转换成关于多余(外力和内力)反力的方程，求解多余反力.利用静力平衡方程求解其它约束反力.δij—仅施加单位Xj即令Xj=1时，与Xi相对应的广义位移；Xi—未知多余广义力；ΔiF—仅施加已知广义力系F时，与Xi

相对应的广义位移；由位移互等定理知：δij

＝δji

一、力法正则方程对线弹性杆系，ΔiF和δij一般由莫尔积分求得.§14-2用力法正则方程求解超静定结构n—超静定次数；由m根杆组成的桁架：δijXj—仅施加Xj时，与Xi相对应的广义位移；AFBAFBX1X3X2AFΔ1FΔ3FΔ2FAδ11δ31δ211δ12δ32δ221δ13δ33δ2313次超静定结构基本静定系及相当系统已知外力系F在B点引起的位移令X1＝1时在3个方向引起的位移令X2＝1时在3个方向引起的位移令X3＝1时在3个方向引起的位移二、正则方程系数图解示例AAxla【例14-3】求超静定梁B端的约束反力.ACBaFl【解】1）本题为1次超静定问题，视支座B为多余约束，设X1为多余反力，得相当系统.ACBFX12）由单位载荷法求F单独作用时，与X1相对应的位移Δ1F.ACBFΔ1F13）求令X1＝1时，与X1相对应的位移δ11在Δ1F中令a=l，F=-1得:4）由正则方程求解.三、例题aaF123456X1X1654321杆件（k）1111000【例14-4】求桁架各杆内力.设各杆刚度相同.各杆内力：11aa123456FFAORθB【例14-5】求图示曲杆支座B的约束反力.AORθFB【解】1）该题为1次超静定，视支座B为多余约束，X1为多余反力，得相当系统AORθFB2）由单位载荷法求已知力F单独作用时，与X1相对应的位移Δ1FX1φ3）求令X1＝1时，与X1相对应的位移δ11在Δ1F中令θ＝π/2，F=-1得4）由正则方程求解1【例14-6】超静定刚架各杆抗弯刚度为EI，求B端约束反力.qaaACB【解】1）本题为3次超静定.视支座B为多余约束，X1,X2,X3为多余反力,得相当系统qaaACBX1X2X32）由单位载荷法求已知力q单独作用时，与X1,X2,X3相对应的位移Δ1F,Δ2F,Δ3Fqx2x1x2x11x2x11x2x113）求令X1＝1时,与X1,X2,X3相对应的位移δ11,δ21,δ31;X2＝1时,与X1,X2,X3相对应的位移δ12,δ22,δ32;X3＝1时,与X1,X2,X3相对应的位移δ13,δ23,δ33考虑到δij

＝δji，则x2x11x2x11x2x114）将所求系数代入正则方程求解负号表示多余反力的实际指向与假定方向相反.§14-3对称及反对称性质的利用利用对称结构上载荷的对称或反对称性质，可使正则方程简化.一、相关概念对称结构：几何形状、支承条件和各杆的刚度都对称于某一轴线的结构.对称载荷：对称结构上，作用位置、大小和方向都对称于某一轴线的载荷.反对称载荷：对称结构上，载荷的作用位置、大小对称于某一轴线但方向却反对称于该轴线的载荷.对称结构对称载荷反对称载荷对称内力：对称结构上，作用位置、大小和方向都对称于某一轴线的内力.反对称内力：对称结构上，作用位置、大小对称于某一轴线但方向反对称于该轴线的内力.同一截面上轴力、弯矩为对称内力，剪力为反对称内力.二、对称载荷作用下内力的特点FFFFX1X2X3X1X2X3对称截面两侧水平相对位移、垂直相对位移和相对转角均为零，即满足正则方程F111F111四个弯矩图中只有图是反对称的，其它图则是对称的，故必有：同理，由知：正则方程为：对称结构上承受对称载荷作用时，对称截面上的反对称内力(剪力)等于零δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0，δ22≠0三、反对称载荷作用下内力的特点FF111111FFFFX1X2X3X1X2X3四个弯矩图中、图是反对称的，其它图则是对称的，故有：δ12＝δ21＝δ23＝δ32＝0同理，由知：δ11·δ13·δ22·

δ33≠0正则方程为：对称结构上承受反对称载荷作用时，对称截面上的对称内力(轴力和弯矩)均等于零.四、叠加原理某些载荷虽不是对称或反对称的，但可将其转化为对称与反对称两种载荷的叠加，分别求出对称与反对称两种情况下的解，叠加后即得到原载荷作用下的解.2qqqq+彼此等效【例14-7】图示刚架中Me=qa2，求弯曲内力.qqaaaMex2q0.5MeX1x1【解】1）该结构为反对称结构，故内力只有剪力X1，为1次内力超静定问题2）求弯矩方程3）由单位载荷法求Δ1F14）求δ115）求X1x2x1五、例题【例14-8】沿等截面圆环直径AB两端作用方向相反的一对力P.求圆环弯矩方程和直径AB及CD的变化量.PPABCDRFNPACDX1FNX1X1FNAD【解】1）圆环受对称于截面CD的载荷作用，故截面CD剪力为零2）轴力FN=P/2.故只有弯矩X1为未知，为1次超静定问题3）A截面转角为零，视为夹紧端4）求FN单独作用时的弯矩方程ADFNφR5）求令X1=1时的弯矩方程1ADφR6）求正则方程系数7）求解X18）求截面弯矩方程9）求直径的变化量在上述M

(φ)中令P=1得附加单位力时的弯矩方程：【例14-9】图示直角折杆截面直径d=2cm，a=0.2m，l=1m，F=650N，E=200GPa，G=80GPa.求力作用点的垂直位移.a2FllaFlX1X2【解】1）该题可视为对称载荷问题，故其超静定次数为2.2）求外载荷F作用时的内力方程l段a段3）求分别令X1=1，X2=1时的内力方程l段a段l段a段§14-4连续梁及三弯矩方程一、连续梁的标记1）支座编号：从左至右依次编为0,1,2,…,i-1,i,i+1,…,n;2）跨度编号：从左至右依次编为