第10章 复杂受力时构件的强度设计-

工程力学第十章复杂受力时构件的强度设计拉伸、压缩、弯曲与扭转时杆件的强度问题共同特点：危险截面上的危险点只承受正应力或切应力；都是通过试验直接确定失效的极限应力。从而建立强度准则。复杂受力：工程构件，其危险截面上危险点同时承受正应力和切应力，或危险点的其他面上同时承受正应力或切应力。§10.1基本概念复杂受力特点：受力形式繁多，不能通过实验一一确定失效时的极限应力。措施：在研究各种不同复杂受力形式下，强度失效的共同规律，假定失效的共同原因，从而可能利用单向拉伸试验结果建立复杂受力时的失效判据与设计准则。分析失效原因：研究过一点不同方向面上应力相互之间的关系。——建立复杂受力设计准则的基础。低碳钢?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁断口低碳钢和铸铁的拉伸实验为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？低碳钢铸铁低碳钢和铸铁的扭转实验FPFPFPFP受力之前,表面的正方形，受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。受力之前,表面斜置的正方形，受拉后，正方形变成了菱形，直角有了改变。这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力MxMx受扭之前圆轴表面的圆，受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向表示承受拉应力而伸长，短轴方向表示承受压应力而缩短。这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力

拉中有剪根据微元的局部平衡剪中有拉根据微元的局部平衡

不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。

10.1.1什么是应力状态及其研究目的

应力状态：围绕一点作一微小单元体，即微元，微元的不同方位面上的应力是不相同的。过一点的所有方位面上的应力集合，称为该点的应力状态。

横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。FNxFQ

微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。FFAAAAσaτaτβσβ四个面上既有正应力又有切应力所取方位不同，单元体各面上应力不同对受到轴向拉伸、压缩、扭转、弯曲等基本变形的杆件，其受力简单，直接由试验确定，建立相应强度条件。对于复杂受力杆件，需先研究危险点处的应力状态，找出最大应力值及其所在截面的方位，为建立强度理论提供必要的依据。危险截面危险点破坏形式危险点处危险方位强度理论（假设）取微元法10.1.2应力状态分析的基本方法

任意一对平行平面上的应力相等三个方向上的尺寸均无穷小312231每个面上应力均匀分布微元特征

微元的应力状态可代表一点的应力状态微元：取一个由三对互相垂直的面构成的六面体主平面：切应力为零的面123A主应力：主平面上的正应力通过受力构件的任意点必定存在

三个相互垂直的主平面，因而设一点都有三个主应力分别记为1,2,3

且规定按代数值大小的顺序来排列,即2）平面（二向）应力状态：所有应力作用线都处于同一平面内

三个主应力1

、2

、3

中有两个不等于零1）单向应力状态：只受一个方向正应力作用

三个主应力1

、2

、3

中只有一个不等于零221111应力状态分类xy4)纯剪应力状态只受切应力作用的应力状态。3）空间（三向）应力状态

三个主应力1

、2、3均不等于零31223110.1.3建立复杂受力时失效判据的思路与方法拉伸和弯曲强度失效判据单向应力状态扭转强度的失效判据纯切应力状态复杂受力时的失效判据：不能应用试验结果建立。其实质提出关于材料在不同应力状态下的失效共同原因的各种假说，通过假说来建立失效判据。通过试验确定极限应力值，直接利用试验结果建立失效判据微元三对面上的应力已经确定，如何求某个截面上的应力？

采用假想界面将微元从所考察的斜面处截为两部分

考察其中任意一部分的平衡，由平衡条件求该斜截面上的正应力和切应力。§10.2平面应力状态分析-任意方向面上应力的确定正应力

拉为正压为负正负号约定

10.2.1方向角与应力分量的正负号约定（1）正应力的正负号约定切应力使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。正负号约定（2）切应力的正负号约定由x正向反时针转到x'正向者为正；反之为负。yxθ（3）θ角正负号约定求斜截面上的应力xxyzyxyyx垂直于坐标轴y的截面上，应力为、。

已知：垂直于坐标轴x的截面上，应力为、。

xyaxxyxxyefbcd研究与坐标轴z平行的任一横截面ef上的应力

10.2.2微元的局部平衡xyaxx'efx'ysbcdefaxyθθx'y'efaθdAdAsindAcosθ由力的平衡化简以上两个平衡方程最后得不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数注意：1）应力均为正值，并规定自x轴开始逆时针转动为正，反之为负。3）单元体无限小，故aef部分可视为汇交力系平衡。2）式中τxy和τyx均为垂直于x轴的截面上的x面上的切应力，且按切应力互等定理，二者相等。【例题10-1】分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。【例题10-2】分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。一、正应力极值——主应力求极值条件：令p和p+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。§10.3应力状态中的主应力与最大切应力将p和p+90°代入公式得到max和

min(主应力）

(2)当x<y

时，p是x与min之间的夹角(1)当xy时，p是x与max之间的夹角

二、最大切应力求极值条件：令s和s+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.将s和s+90°代入公式得到max和min

比较和图为承受均布载荷作用的简支梁。截面距离左端支座为。①指出横截面1至5点沿纵横截面截取的单元体各面上的应力方向。②若2点的横截面上的正应力为，剪应力为，试确定2点的主应力及主平面的方位。解：（1）梁的内力图如图所示则m-m截面上的剪力和弯矩均为正由此可得各点的应力状态图如下单元体的应力状态：主应力的计算：单向应力状态单向应力状态纯剪切应力状态AA把从A点处截取的单元体放大如图因为x

<y

，所以0=27.5°与min对应xAA01313斜截面应力计算公式为§10.4分析应力状态的应力圆法一、应力圆改写为上式为以、

为变量的圆方程。圆心的坐标圆的半径此圆称为应力圆或莫尔圆把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得以为横坐标轴，为纵坐标系轴①

建-坐标系,根据已知应力选取适当比例尺o二、应力圆的作图方法应力圆法——应力分析的图解法xyxyτDxo②量取OA=

xAD=得

D

点xAOB=y③量取BD′=得

D′点yByD′④连接DD′两点的直线与轴相交于C

点⑤以C为圆心,CD

为半径作圆，即得相应于该单元体的应力圆Cxyxyτ⑥

半径CD逆时针转过圆心角=2得E点，则E点横坐标OF即为θ，纵坐标FE即为τ。DxoxAyByD′CEF2θxyxyτ证明A1B1DxoxAyByD′CEF2θ2o1）应力圆圆周上任意点坐标对应着单元体某个斜面上的应力。DoxAyBD′C20FE2θxyaxxefn在应力圆上以CD

为起点，逆时针方向转动2θ得到半径CE，圆周上E点的坐标就是单元体斜截面上的应力θ

和。⑦应力圆的应用角度的起点点和面的对应关系二倍角关系转向一致OCDxn2)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

3)该圆半径为DxoxAyByD′CEF2θA1B1DxoxAyByD′CEF24）求主应力数值5)求主平面位置

应力圆上由D点顺时针转过2o

到A1点。A1B1DxoxAyByD′CEF2θ2o对应微元体从x面顺时针转过θo

角（no

面）。应力圆上继续从A1点转过180o到B1，对应微元体从nθo

面继续转过90o到no+90面，此时6）求最大切应力G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力2θ0DxoxAyByD′C12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径3不参与微元体的力平衡采用应力圆确定由于3

作用平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力3

平行的斜截面上的应力与3

无关。三、空间应力状态的最大切应力（1）平行σ3方向的任意斜截面α上应力adbσ1σ2σ3cxyzadbcσατασ1σ2σ3A12BC3同理，可画出另外两个应力圆。将三个应力圆画在同一平面上，称为三向应力圆。

O斜截面上的应力必在由1

和2所确定的应力圆上。

A12BC3O平行σ3方向斜截面上的极值切应力平行σ2方向斜截面上的极值切应力平行σ1方向斜截面上的极值切应力A1O2BC3结论按约定排列的三个非零的主应力1

、2、3作出的两两相切的三个应力圆中，可找到三个相应的极值切应力τ12、τ13、τ23，其中最大切应力值为：最大正应力值为：A1O2BC3与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力所对应的点，位于三个应力圆围成的阴影线区域内。312231单独存在时单独存在时

单独存在时同时存在时一、广义胡克定律§10.5复杂应力状态下的应力应变关系同理可得2、3方向的应变，一并写为：xyxyxzxzyxyzzxzy①主应变方向与主应力方向相同；②线应变与切应力无关，切应变与正应力无关。对非主单元体，可以证明两个结论：主应力形式：对平面一般应力状态其余

绝大多数各向同性材料，υ=0-0.5，则G取值范围为：E/3<G<E/2二、各向同性材料各弹性常数间关系三、畸变能密度弹性应变能（应变能）：材料在弹性范围内工作，微元三对面上的力在各自对应应变所产生的位移上所做的功，所转变成的一种能量，dVε。应变能密度υε：dVε/dV，dV为微元的体积。总应变能密度υε

=υv+υd，υv

：体积改变能密度；

υd：畸变能密度一般情形，物体变形包含体积改变和形状改变。危险点处于复杂应力状态构件的强度确定：不能采用将构件内的应力直接与极限应力比较强度理论§10.6复杂应力状态下的强度设计准则一、强度理论概述（1）什么是强度理论强度理论是关于材料破坏原因的学说。根据这些假说，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据。就可以预测材料在复杂应力状态下，何时发生失效，以及怎样保证不发生失效，进而建立复杂应力状态下强度设计准则或强度条件。切应力强度条件正应力强度条件（2）材料的两种破坏类型①脆性断裂，②塑性屈服低碳钢（塑性）拉伸实验扭转实验复杂破坏现象—滑移破坏原因—破坏现象—切断破坏原因—铸铁（脆性）拉伸实验扭转实验复杂破坏现象—拉断破坏原因—破坏现象—拉断破坏原因—1）不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（失效）具有不同的抵抗能力（抗力）2）同一材料在不同环境及加载条件下对失效具有不同抗力①带环形深切槽的圆柱低碳钢试件受拉，沿切槽根部脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态②圆柱形铸铁试件受压，出现塑性变形，处于压缩型应力状态①铸铁脆性断裂失效具有抗拉强度σb②低碳钢表现为塑性屈服失效具有屈服应力σs③

圆柱形大理石试件受轴向压力和侧向压力发生塑性变形，处于三向压缩应力状态（3）强度理论的提出

杆件基本变形时，危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态，其强度条件分别为许用应力可由实验测出。

复杂应力状态下，不可能测出每一种应力状态下的极限应力，提出了材料在不同应力状态下产生某种形式破坏的共同原因的各种假设，这些假设称为强度理论。常温、静载、一般复杂应力状态下的弹性失效准则（4）强度理论的基本思想

1）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出假设2）根据标准试件在简单受力下的破坏实验，建立材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件

3）工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两种失效形式，分别提出共同力学原因的假设。二、常用四个强度理论●最大拉应力准则（第一强度理论）不论材料处于什么应力状态，引起材料脆性断裂破坏的主要原因是最大拉应力。强度条件为：材料的断裂判据为：

基本观点：当复杂应力状态的最大拉应力达到单向应力状态破坏时的极限应力，材料便发生断裂破坏。

适用范围：铸铁、工业陶瓷等脆性材料，特别适用于拉伸型应力状态。●最大拉应变准则（第二强度理论）认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的。强度条件为：基本观点：复杂应力状态下，材料中最大伸长线应变1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应变时，材料发生脆性断裂破坏。最大拉应变准则：

适用范围：石料、混凝土脆性材料，及铸铁的混合型压应力状态。●最大切应力准则（第三强度理论）认为材料发生塑性屈服破坏是由最大切应力引起的强度条件为：基本观点：复杂应力状态下，材料中的最大切应力max达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的极限切应力u时，材料发生塑性屈服破坏。屈服条件为适用范围：低碳钢、铜、软铝塑性材料。最大切应力准则●畸变能密度准则（第四强度理论）认为材料发生塑性屈服破坏是由畸变能密度引起的。相关理论分析可得三向应力状态下的形状改变比能为单向拉伸至屈服时，

，

代入上式得到单向拉伸至屈服时的畸变能密度为基本观点：复杂应力状态下，当畸变能密度υd

达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的形状畸变能密度υ0d，材料发生塑性屈服破坏。强度条件为：按照形状改变比能理论，屈服判据为适用范围：塑性较好材料。

1）

强度理论的统一形式：r

称为相当应力，第一相当应力第二相当应力第三相当应力第四相当应力三、相当应力2）

强度理论的选用一般情况下：脆性材料通常发生脆性断裂破坏，采用第一和第二理论；塑性材料通常发生塑性屈服破坏，采用第三和第四理论。三向受拉时，不论是脆性材料还是塑性材料，用第一和第二理论；三向压缩时，不论是脆性材料还是塑性材料，用第三和第四理论。特殊情况下：思考题:

水管在寒冬低温条件下，由于管内水结冰引起体积膨胀，而导致水管爆裂。由作用反作用定律可知，水管的内压与冰块所受的压力相等，试问为什么冰不破裂，而水管发生爆裂。答:水管在寒冬低温条件下，管内水结冰引起体积膨胀，水管承受内压而使管壁处于双向拉伸的应力状态下，且在低温条件下材料的塑性指标降低,因而易于发生爆裂；而冰处于三向压缩的应力状态下，不易发生破裂.例如深海海底的石块，虽承受很大的静水压力,但不易发生破裂.123思考题:

把经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中,将引起钢球的爆裂,试分析原因。答:

经过冷却的钢质实心球体，放人沸腾的热油锅中,钢球的外部因骤热而迅速膨胀，其内芯受拉且处于三向均匀拉伸的应力状态因而发生脆性爆裂。123已知：铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力为[]=30MPa。试校核该点的强度。解：首先根据材料和应力状态确定破坏形式，选择强度理论。脆性断裂，选用最大拉应力准则r1=max=1[]1＝29.28MPa,2＝3.72MPa,3＝0

结论：强度是安全的。其次确定主应力练习

薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4,y=7.3710-4,已知钢的E=210GPa，[]=170MPa,泊松比=0.3，试用第三强度理论校核其强度。解：由广义虎克定律得:AxyxyA所以，此容器不满足第三强度理论。不安全。如图所示和

已知，试写出最大切应力理论和形状改变比能理论的表达式。解：首先确定主应力2＝0

对于最大切应力理论对于形状改变比能理论300126159yzAB2m2mFCFq1m1mDE例ba

一工字形截面梁受力如图所示，已知

F=80KN,q=10KN/m,许用应力。试对梁的强度作全面校核。横力弯曲横截面上切应力计算公式MPa120][=σc

，作用点－距中性轴最远处；作用面上作用面上，作用点－中性轴上各点；都较大的作用面上，都比较大的点。分析：1、可能的危险点：AB2m2mFCFq1m1mDEb（单向应力状态）（平面应力状态）（纯剪应力状态）全面校核：沿梁截面上的危险点2、危险点的应力状态：caa300126159ybacz(-)5852075(-)(+)(+)解：（1）求支座反力并作内力图作剪力图、弯矩图。（2）确定危险截面危险截面可能是截面或：AB2m2mFCFq1m1mDE207565（3）确定几何性质对于翼缘和腹板交界处的a

点:300126159ybacz（4）对C截面强度校核最大正应力在b

点:但所以仍在工程容许范围内,故认为是安全的.b300126159ybacz按第三和第四强度理论校核:所以C截面强度足够。对于a

点:aa300126159ybacz（5）对D截面强度校核最大正应力在b

点:对于a

点:aa300126159ybacz按第三和第四强度理论校核:对于c

点:c300126159ybaczc按第三和第四强度理论校核:

D截面强度足够。AB2m2mFCFq1m1mDE所以此梁强度安全。平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩平面应力状态的几种特殊情况扭转弯曲平面应力状态的几种特殊情况

某点的应力状态如图所示,当σx,σy,σz不变,τx增大时,关于εx值的说法正确的是____.A.不变B.增大C.减小D.无法判定εx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。

图示为某点的应力状态，其最大切应力τmax=_____MPa.薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，轴向载荷FP＝20kN。薄壁圆管抗扭截面系数为

求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为

30º的斜截面上的应力；

2.D点主应力和最大剪应力。

解：1．取微元，确定微元各个面上的应力围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。利用拉伸和圆轴扭转时横截面上的正应力和剪应力公式计算微元各面上的应力：

在本例中有：

σx＝63.7MPa，σy＝0，

τxy＝－76.4MPa，θ＝120º。

3．确定主应力与最大剪应力

D点的最大剪应力为

解:s3例

求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)AB

12解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与sa

轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆0s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐标系内画出点s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图

102AB解法2—解析法：分析——建立坐标系如图60°xyO

边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，ν=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求