材料有限元分析课件-4

第四章非线性问题的有限元法4.1.概述

线弹性体系的基本特点：应变和位移关系是线性的（几何方程 )；应力和应变关系是线性的（本构方程 )；变形前应力和体力关系是线性的（平衡方程 )线弹性体系成立的前提：结点位移无限小；材料的应力和应变关系满足虎克定律；加载时边界条件保持不变。材料非线性：材料自身的应力和应变关系是非线性的。如，纯金属及其绝大多数合金材料、高分子材料等。应变屈服点..材料极限塑性应变几何非线性：结构的位移造成体系受力状态发生显著变化。如，金属构件的塑性变形和蠕变等。大位移小应变（如，塑料的热成形）；大位移大应变（如，金属的压力加工）。AB边界非线性：边界条件非线性变化。例如模锻毛坯的接触问题4.2.材料非线性共同特点：材料特性随温度和时间变化。（1）弹塑性问题加载后，如果载荷恒定，则材料的变形不随时间变化;但另一方面，当载荷增加到某个值时，材料的变形会出现屈服现象。（2）粘弹性和粘塑性问题加载后，材料的变形随时间变化。蠕变－－应力恒定，应变随时间增加；松弛－－应变恒定，应力随时间减小。t=hourlt=0Creep

l1l2

l1=

l2

t=0t=hourStressRelaxation4.2.1.非线性方程组的求解

离散化的非线性方程组一般可表示为返回到P13(1)直接迭代法直接迭代法求解非线性方程组的局限：只适用于求解与变形历史无关的非线性问题（例如，弹塑性问题）。直接迭代法收敛的几何含义（图中的为标量，非线性系统是单自由度的）(2)Newton－Raphson迭代法目的：进一步提高近似解的精度和解的收敛速度。回到P14N-R法中的初始近似解，可简单的设为 ；这样， 的初值 在非线性问题中就是弹性刚度矩阵。N-R法求解过程的几何表示(3)修正的Newton－Raphson法目的：克服每迭代一次都需重新生成并求逆切线矩阵的麻烦。思路之一：式(4-10)是以牺牲收敛速度为代价来换取计算量的减少。思路之二：迭代若干次（例如m次）后，更新为，再进行以后的迭代。(4)增量法如果初始状态下，解向量和载荷向量f均为定值，则用增量法求解非线性方程组可以得到较好的收敛解。令式(4-2)中的载荷项，得增量方程解得(4-14)中的，再用“修正的”欧拉公式改进之，即按(4-14)或(4-15)计算出来的（如图）一般会导致解的漂移。为克服解的漂移现象，可以将N-R法或mN-R法用于每一增量步。例如，用(4-8)修正(4-14)，得由上式解出回到14，17，40为缩减(4-17)的计算量，采用修正的Newton－Raphson方法，此时(4-17)和(4-20)被称为考虑平衡校正后的迭代算法，其几何意义如图所示变斜率切线对应(4-17)恒斜率直线对应(4-20)(5)加速收敛的方法（以Aitken法为例）考查单自由度非线性系统，无Aitken加速的mN-R迭代和有Aitken加速的mN-R迭代求解示意图如(a)、(b)所示：特点：切线和割线交替出现当经过迭代1~2次后，从(b)图得到的两次迭代之差值为于是，增量法公式(4-18)可改写成公式(4-24)表明，Aitken加速收敛法的特点是：迭代和加速交叉进行。将(4-24)推广到N个自由度的系统为避免因上式分母项的值很小时，计算量剧增的情况出现，特对(4-25)进行修正，用标量代替(4-25)中的对角矩阵4.2.2.材料非线性本构关系4.2.2.1.材料的弹塑性行为

单调加载理想弹塑性硬化塑性非线性弹性和塑性当材料发生应变硬化（加工硬化）时，有即：加载过程中，材料的下一步屈服与前一步应变有关。

反向加载针对硬化材料，如果在一个方向加载进入塑性后，卸载并在反方向加载，直至进入新的塑性。循环加载一次循环循环松弛循环硬化循环蠕变（棘轮效应）通常，循环加载条件与材料特性的关系 循环加载条件 材料特性 等幅应变控制 循环硬（软）化 不等幅应变控制 循环松弛 不等幅应力控制 循环蠕变（棘轮效应）4.2.2.2.塑性力学的基本法则屈服条件 对于初始各向同性材料，其开始进入塑性流动的条件为 式中k“硬化”参数，应力向量阵列，Y(k)单向屈服应力(2)流动法则 假设塑性应变增量与塑性势（能）有关 则

式中 塑性应变增量；

与材料硬化法则有关的参数；Q塑性势函数

返回到26，33，35，38对于稳定的应变硬化材料，如果存在关联塑性，即

Q=F其中F后继屈服函数（后继加载函数或加载曲面，即与加载历史有关的屈服函数）此时，公式(4-28)变成(3)硬化法则 公式(4-29)中，后继屈服函数的一般表达式 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，所以后继屈服函数应与初始屈服函数F()一致，即对于硬化材料各向同性硬化法则各向同性硬化特点

材料进入塑性变形后，加载屈服面（后继屈服面）在各方向上均匀向外扩张，其形状、中心和方位保持不变。例如，当 时，初始屈服轨迹与后继屈服轨迹之间的关系加载屈服面初始屈服面 根据Von.Mises流动法则(4-28)，各向同性硬化后继屈服函数（加载屈服面）的通式为 式(4-32)中的是加载时的后继屈服应力，它是等效塑性应变的函数。其中 的值可由材料单轴拉伸试验的曲线获得，定义为材料的塑性模量（硬化系数），它与弹性模量E和切线模量 之间存在关系各向同性硬化法则适用的材料单调加载，且 。运动硬化法则

运动硬化法则特点材料进入塑性后，加载屈服面在应力空间作刚性移动，其形状、大小和方位均保持不变。此时的后继屈服函数可表示为

F(,)=0(4-37)

式中是加载曲面中心在应力空间的移动张量(法向量），与材料的硬化特性和变形历史有关。

运动硬化法则适用的材料单调加载时，；卸载时， 。初始屈服面加载屈服面混合硬化法则混合硬化的后继屈服函数混合硬化法则适用的材料并且主要用于反向加载和循环加载的场合。加载、卸载准则 由于材料变形过程中，其应力状态是在变化的，因此，用加载、卸载准则来判断材料从当前状态出发，下一步是继续加载还是弹性卸载，并以此确定后继计算是采用弹塑性本构方程还是采用弹性本构方程。由(4－27)知则对于理想弹塑性材料，继续塑性加载；对于硬化材料：中性变载（即仍保持塑性状态，但不发生新的塑性流动）4.2.2.3.应力应变关系（本构关系）

当应力产生无穷小增量时，假设应变由弹性应变和塑性应变两部分组成，即因弹性应变塑性应变返回到32当材料发生塑性屈服时，应力状态处在式(4-27)所表示的屈服面上，对(4-27)微分，得为了消去参数，用 左乘式(4-40)两端，得式(4-45)中的称为弹塑性矩阵。该矩阵只有在材料是关联塑性的情况下才对称。此外，对于理想塑性材料（这时A=0），矩阵仍有定义。4.2.3.粘塑性问题4.2.3.1.粘塑性材料的本构方程

对于具有粘塑性的材料，在应力空间中，其总应变速率等于弹性应变速率与粘塑性应变速率之和。即

粘塑性材料的屈服条件在形式上与塑性材料相同（4-27），即返回43根据粘塑性流动法则，材料的粘塑性应变速率可表示为返回到42，434.2.3.2.蠕变

蠕变的特征：在常应力条件下，材料的变形与时间和温度有关。设蠕变应变为 ，则蠕变应变率为t=hourlt=0Creep4.2.4.温度对材料非线性本构方程的影响

考虑温度的影响，则非线性材料的应变增量（用张量形式）应为此时的应力应变关系可表示为上述应变增量的具体表示式：弹性应变增量考虑到温度对弹性模量E和泊松比的影响，有(2)塑性应变增量(3)温度应变增量(4)蠕变应变增量4.2.5.弹塑性问题的有限元求解(增量法)

由于材料和结构的弹塑性行为与加载及变形历史有关，所以，通常把载荷分解成若干个增量，针对每一个载荷增量，线性化弹塑性方程，从而将非线性问题转化成一系列线性问题（即按载荷步求解）。应用(4-16)，即然后利用迭代法可求得4.2.6.粘塑性问题的有限元求解(增量法)

按时间间隔(增量)求解。假设：在时刻已求得结点位移和应力，且载荷向量已知，则(1)应变增量由式(4-49)表示的应变率法则，可求得内产生的应变增量式中应力增量 由(4-51)的增量形式和(4