材料力学第五章

第五章梁的基础问题§5-1平面弯曲概念§5-2梁的载荷及计算简图§5-3剪力与弯矩§5-4剪力图与弯矩图(FQ、M图)§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系第五章梁的基础问题§5-6纯弯曲梁的正应力§5-7梁的切应力§5-8梁弯曲时的强度计算§5-9梁的变形§5-10叠加法求梁的变形第五章梁的基础问题§5-11提高梁强度的措施§5-12梁的刚度条件与梁的合理设计§5-13简单超静定梁的解法小结一、梁的平面弯曲梁：主要承受横向载荷的杆。直梁—轴线为直线，曲梁—轴线为曲线；对称梁—有对称平面，非对称梁—没有对称平面。平面弯曲：载荷：所有外力都作用在梁纵向对称面内。§5-1平面弯曲概念变形：轴线在纵向对称面内变形。AxB纵向对称面FqMeFAyFByyyyy纵向对称轴平面弯曲图示§5-1平面弯曲概念二、梁的平面弯曲吊车梁§5-1平面弯曲概念三、工程实例钻床臂§5-1平面弯曲概念三、工程实例刨床刨刀§5-1平面弯曲概念三、工程实例x一、梁的载荷及支座反力1．载荷：xxxq(x)F1F2(a)集中力F(N)(b)分布载荷q(x)(N/m)

q(N/m)(d)集中力偶Me(N·m)(c)均布载荷qMeMe图示法符号(单位)名称Fx2Fy2§5-2梁的载荷及计算简图集中载荷(集中力、集中力偶)，分布载荷(均布载荷、分布载荷)。2．支座反力滑动铰支1

(FRy)固定铰支2(FRx，FRy)固定端3(M/FRx/FRy)FRyFRxMFRyFRxFRy图示法反力未知反力数名称§5-2梁的载荷及计算简图一、梁的载荷及支座反力二、梁的分类及计算简图1．梁的计算简图：用梁的轴线代替梁，将载荷和支座加到轴线上。2．梁的分类(根据支撑形式)：1)静定梁：仅用静力平衡方程即可求得反力；(a)悬臂梁，(b)简支梁，(c)外伸梁2)超静定梁：仅用静力平衡方程不可求得反力；(d)固定梁，(e)连续梁，(f)半固定梁§5-2梁的载荷及计算简图3(2)*3(2)3(2)6(4)5(4)4(3)(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁(d)固定梁(e)连续梁(f)半固定梁*假定轴线方向反力为零，则未知力总数减少为()内的数FxFyMFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy2Fx1Fy1Fy4Fy2Fy3Fy1Fx1M1Fy2梁的名称图示法未知反力数§5-2梁的载荷及计算简图二、梁的分类及计算简图一、截面法求弯曲内力截面法过程：切取、替代、平衡。M1FQ1FQ1M1FAyFCABy11xxFByFFAyFBy§5-3剪力与弯矩1．剪力：平行于横截面的内力；符号：FQ；使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负；2．弯矩：绕截面转动的内力(矩)；符号：M；使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负；梁左截面向上的剪力为正，右截面向下的剪力为正。使梁上压下拉的弯矩为正。§5-3剪力与弯矩二、弯曲内力的定义及正负-(FQ>0)FQFQFQFQ+(FQ>0)+(M>0)-(M<0)剪力FQ弯矩MMMFQFQMMMM§5-3剪力与弯矩二、弯曲内力的定义及正负FQ、M产生的变形正负1．剪力：任一截面的剪力FQ=该截面任一侧所有横向外力的代数和。2．弯矩：任一截面的弯矩M=该截面任一侧所有外力(横向力、力矩)对该截面形心产生力矩的代数和。§5-3剪力与弯矩三、弯曲内力的计算法则(截面左侧向上的外力和截面右侧向下的外力对该截面产生的剪力为正)(向上的横向力、截面左侧顺时针力矩和截面右侧逆时针力矩对该截面产生正的弯矩)*3．判断外力产生剪力、弯矩正负的图例：F1FAyFAy使AC段左上右下(或者FAy在AC段左截面且向上)，在n—n截面产生的剪力为正；

FAy使梁AC段产生下凸变形(或者FAy使梁AC上压下拉)，对n—n截面产生的弯矩为正；nnCFAyqF1Me1Me2FByABF2Me1§5-3剪力与弯矩三、弯曲内力的计算法则例5-1求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5m3m1.5m1.5mq=12kN/mF=8kNABFAyFBy解：1)求支反力：(可以利用A点矩平衡求FBy进行校核）2)求1—1截面内力：取左段研究3)求2—2截面内力：取左段研究取右段研究简单些§5-3剪力与弯矩一、剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程的函数图，横坐标为轴线，纵坐标为内力的大小。本书约定：内力均以坐标轴上方为正。—剪力、弯矩沿梁轴线变化的函数关系。剪力、弯矩方程的坐标原点及方向可任意选取；剪力、弯矩图根据相应的剪力、弯矩方程作出；§5-4剪力图与弯矩图二、剪力、弯矩图_FQ_M例5-2作图示悬臂梁AB的FQ、M图。lFABxxFl观察剪力弯矩图的形态：集中力作用处、无载荷作用段§5-4剪力图与弯矩图解：1)列剪力、弯矩方程：2)作图：F_+FQ+Mx例5-3图示简支梁受均布载荷q的作用，作该梁的FQ、M图。BqAlFAyFByql/2ql/2ql2/83ql2/32l/4解：1)求支反力：对称性2)列剪力弯矩方程：3)作FQ、M图：观察剪力弯矩图的形态：均布载荷作用，剪力为零截面§5-4剪力图与弯矩图x1x2+_FQ+M例5-4图示简支梁AB的C点作用集中力F，作该梁的FQ、M图。lFabCABFAyFByFb/lFa/lFab/l解：1)求支反力：2)列剪力弯矩方程：3)作FQ、M图：观察剪力弯矩图的形态：集中力作用处、无载荷作用段AC段：CB段：§5-4剪力图与弯矩图x1x2+FQ_+MMe/l例5-5简支梁AB的C点作用集中力偶Me，作该梁的FQ、M图。labMeCABFByFAyMeb/l解：1)求支反力：2)列剪力弯矩方程：3)作FQ、M图：观察剪力弯矩图的形态：集中力偶作用处AC段：CB段：§5-4剪力图与弯矩图Mea/l一、FQ、M和q(x)的微分关系假设q(x)向上为正，向下为负；任取无集中力、集中力偶的微段，认为q(x)为常数；微段左右截面FQ、M假设均为正。§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系一、FQ、M和q(x)的微分关系dxOq(x)M(x)FQ(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)xdxyxMeF1F2ABq(x)二、FQ、M和q(x)微分关系的几何意义集中力作用处：剪力图突变，突变值为集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向，弯矩图发生转折；FQ图某点的切线斜率等于该点q(x)；M图某点的切线斜率等于该点FQ

；若x1、x2两截面间无集中力作用，则两截面的剪力差为两截面间q(x)图面积；若x1、x2两截面间无集中力偶作用，则两截面的弯矩差为两截面间FQ图面积；§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系集中力偶作用处：弯矩图突变，突变值为集中力偶的大小，若该处无其它力，则左右弯矩图斜率不变，剪力图不受集中力偶影响；各种载荷下剪力图与弯矩图的形态qq>0q<0M">0M"<0FQ>0紧靠C的某一侧面FQ<0FQ=0FQ变号处+_CFCMeCFCMeC外力形态FQ图M图Mmax位置§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系二、FQ、M和q(x)微分关系的几何意义载荷图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；q突变反向，剪力图有尖点(转折)，弯矩图有凸凹性反转的拐点；三、利用微分关系作剪力弯矩图2．用计算法则(或积分关系)计算分段点FQ、M值；1．用微分关系判断分段点间FQ、M图形态；§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系3．分段点间连线；载荷图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称；q2qa2qa2qaaaaaaqaqFQMqaqa2qa20.5qa2--+--+qaqaqa22qa22qaqaqaqq§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系四、各种载荷下FQ、M图形态的引例FQ+__M(kN·m)3.81.413(kN)4.23.8E3.1m32.2例5-7作图示外伸梁的FQ—M图。q=2kN/mMe=6kN·mF=3kNDCAB4m1m1mFByFAy_++562134CA和DB段：可以先确定各分段点的FQ、M值，用相应形状线条连接。解：1)求支反力：2)各段FQ、M图形状：AD段：FQ图为水平线，M图为斜直线。q=0FQ图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。q=C<03)作FQ、M图：§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系五、附加题1．aBqa2A2aqaBqa2A2aq2．AaBaqa22aqqa3．aBqa2A2aaq4．qaaBqa2Aaqa5．2mB10kN.mA2m4kN/m20kN2m6．§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系六、叠加法作FQ、M图*§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系叠加法使用条件：线弹性、小变形，各载荷产生的物理量之间互相独立。叠加法求解的内容：内力、应力、应变及变形。叠加法作内力图的方法：梁的支撑形式不变，将梁上载荷分解成若干简单载荷分别作用，并作出各简单载荷作用下的内力图，再进行叠加。qaqa-+qa2qa2/8-qa2-qaqa/2-+六、叠加法作FQ、M图*§5-5剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系q2aaqa=+q2aa2aaqa3qa/2qaqa/2-+FQMqa2/2+一、梁按内力分类纯弯曲梁：横截面上只有弯矩M，无剪力FQ。横力弯曲梁：横截面上既有弯矩又有剪力。§5-6纯弯曲梁的正应力+-FQF/2F/2MFa/2+F/2F/2aa伽利略的研究*§5-6纯弯曲梁的正应力1638《关于两门新科学的对话》：1)悬臂梁强度；2)自重作用下等强度梁fFl中国的研究*§5-6纯弯曲梁的正应力北宋李诫(1035-1110)，《营造法式》hbh:b=1.5二、弯曲平截面假设平截面假设：变形前与轴线垂直的横截面，在变形后仍为平面且保持与轴线垂直。单向受力假设：纵向纤维之间无正应力作用。§5-6纯弯曲梁的正应力hMMhMM中性层：构件内部既不伸长也不收缩的层。中性轴：横截面与中性层的交线。纵向对称轴yzO中性层中性轴缩短升长§5-6纯弯曲梁的正应力三、中性层和中性轴不变xy四、横截面应力公式1．几何条件：yMMO1O2rya1ya2ya2a1dqdxe1O1O2e2x中性层z中性轴O曲率中心xe2e1scst研究中性层下方y处a1a2的线应变2．物理条件：§5-6纯弯曲梁的正应力M3．力学条件：dAz(中性轴)yzsdAxOy1)将s=Ey/r代入(1)式：—中性轴过截面形心§5-6纯弯曲梁的正应力四、横截面应力公式3．力学条件：MdAz(中性轴)yzsdAxOy2)将s=Ey/r代入(2)式：—y轴是截面的对称轴，自动满足§5-6纯弯曲梁的正应力四、横截面应力公式3．力学条件：MdAz(中性轴)yzsdAxOy§5-6纯弯曲梁的正应力3)将s=Ey/r代入(3)式：—截面对中性轴的惯性矩四、横截面应力公式4．公式：设距中性轴距离最大为e，—抗弯截面系数§5-6纯弯曲梁的正应力EIz—抗弯刚度，

反映梁抵抗弯曲变形的能力四、横截面应力公式中性层曲率横截面任意点正应力(到中性轴y)：边缘分别为拉、压应力最大值y坐标按中性轴下方为正，则公式计算值与拉、压应力对应；MMsminsmax5．横截面上正应力的画法：sminsmax6．拉、压应力判断：zyMstscMM由变形直接判断：纵向伸长—拉应力，纵向缩短—压应力。§5-6纯弯曲梁的正应力四、横截面应力公式四、横截面应力公式7．公式适用范围：

线弹性范围—正应力小于比例极限sp；精确适用于纯弯曲梁；横力弯曲的细长梁(l/h>5)，上述公式的误差较小，但公式中的M应为截面位置的函数：§5-6纯弯曲梁的正应力五、典型截面对中性轴的Iz和Wz1．矩形截面：yzhb2．实心圆截面(直径d)：3．空心圆环截面(外径D，内径d，a=d/D)：§5-6纯弯曲梁的正应力一、弯曲内力与应力的关系横截面：弯矩只产生正应力；剪力只产生切应力MFQMFQtsts§5-7梁的切应力ztm'tytf'tmtyf'm'mftf2)切应力互等定理：tm'和tm与截面周边相切假设m'm线上所有切应力均交于O'点；假设m'm线上所有切应力沿y分量均相等；yFQO'tyty§5-7梁的切应力二、相关假设1)m'm与中性轴平行e1yze2e1xdxxe2e1dxbyyxxM+dMMFQFQss+dst't'dxty§5-7梁的切应力三、弯曲切应力公式1．公式求出的是距中性轴y处沿剪力FQ方向的分量ty；2．横截面周边与y轴夹角qm最大，该处切应力最大；ztm'tytmtym'mftfyFQO'tyy处平行于中性轴线以外面积对z轴的静矩；y处截面的有效宽度；qm§5-7梁的切应力三、弯曲切应力公式Oyzbh例5-8求矩形截面梁横截面上的切应力分布。yOy解：1)剪力FQ沿y轴，各点的切应力均平行于FQ2)求距中性轴y处的ty：沿矩形截面高度，切应力t呈抛物线分布，在最边缘处为零，在中性轴上最大。FQ§5-7梁的切应力yORyz例5-9求圆形截面梁横截面上的切应力分布。xdxtbyqyqsr解：1)求距中性轴y处的分量ty：将各变量换算成R和q函数2)外边缘切线应力ts为：3)中性轴处：§5-7梁的切应力1．正应力强度条件：拉压对称材料：拉压不对称材料：2．切应力强度条件：一般情况：等直梁：3．用正应力强度条件设计，再校核切应力强度。§5-8梁弯曲时的强度计算例5-10工字钢截面的简支梁中点受F作用，已知Wz=141cm3，

l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，测得下边缘C

点的轴向线应变e=400×10-6。求F并校核梁的正应力强度。CBAl/2aFlz№16解：1)求F：2)校核梁正应力强度：梁危险截面在弯矩最大的中间截面§5-8梁弯曲时的强度计算例5-11图示T形梁，已知：F=1kN，q=1kN/m，a=1m，[s]c=100MPa，[s]t=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左截面E点的正应力和切应力；2)校核正应力和切应力强度。AaaBFqaCDzE40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_FAyFCy解：1)求支反力2)作梁的FQ-—M图3)求C左侧截面E点的正应力、切应力§5-8梁弯曲时的强度计算4)校核正应力强度因为[s]t≠[s]c，截面上下不对称，因此，正负弯矩最大值处均为危险截面§5-8梁弯曲时的强度计算AaaBFqaCDzE40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_切应力强度危险截面在剪力FQ最大的C右侧截面AaaBFqaCDzE40401010ycFQ0.250.751(kN)_+0.25M0.5(kN·m)_5)校核切应力强度§5-8梁弯曲时的强度计算一、研究意义§5-9梁的变形工程实例吊车横梁齿轮传动轴§5-9梁的变形一、研究意义工程实例汽车叠板弹簧

汽车叠板弹簧

§5-9梁的变形一、研究意义工程实例跳板

§5-9梁的变形一、研究意义工程实例控制变形！利用变形！解弯曲超静定问题！§5-9梁的变形一、研究意义二、弯曲变形度量方法挠曲线：yxBAqyxq挠度：——挠曲线方程梁横截面形心的竖向位移，正负：向下的挠度为正，反之为负。符号：y转角：梁横截面绕中性轴转动角度，正负：顺时针转动为正，反之为负。符号：q——转角方程CC1B1F§5-9梁的变形三、挠曲线近似微分方程力学关系：xOyxdqM1>0M2>0dxdy几何关系：—挠曲线近似微分方程结合力学与几何关系：图示坐标下：挠曲线下凸：挠曲线上凸：qr(x)C(曲率中心)qds§5-9梁的变形四、积分法求梁的变形——转角方程——挠曲线方程式中C、D为积分常数，由梁位移边界条件与连续条件确定。1．转角、挠曲线方程：§5-9梁的变形位移边界条件(约束条件)：铰支座固定端弹性支座lyAFBC挠曲线是光滑连续唯一的。连续条件：2．位移边界条件与连续条件：yyy§5-9梁的变形四、积分法求梁的变形§5-9梁的变形五、挠曲线微分方程的FQ、q表达式*弯矩边界条件：剪力边界条件：—静力边界条件yx例5-12悬臂梁自由端作用集中力F，求其挠曲线方程。lFBAqmaxB1ymaxx解：1)建立坐标系2)积分法3)由固定端边界条件决定积分常数：4)转角和挠曲线方程5)最大转角和挠度值：§5-9梁的变形讨论纯弯曲梁的挠曲线？MM圆弧抛物线挠曲线近似微分方程！§5-9梁的变形挠曲线与坐标的关系？MMyxyxMM?§5-9梁的变形讨论最大挠度和最大转角的判断？《高等数学》中的求函数极值和最大最小值。挠曲线的拐点意味什么？挠度必等于零()；转角必等于零()；剪力必等于零()；弯矩必等于零()；曲率必等于零()；√√××ק5-9梁的变形讨论积分常数的个数和位移边界、连续条件？积分常数：位移边界条件：aAaEaMeqCDFaB位移连续条件：§5-9梁的变形讨论x2yxx1例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。lFabABC解：1)求支反力：FAyFBy§5-9梁的变形2)建立图示坐标系：3)分段列弯矩方程：3)分段列出挠曲线微分方程并积分：例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。lFabABCx2yxx1§5-9梁的变形4)边界和连续性条件决定积分常数：例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。lFabABCx2yxx1§5-9梁的变形(C.C.)：(B.C.)：5)转角及挠曲线方程：例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。FabABC§5-9梁的变形6)|q|max及位置：变形连续性qAqBymax发生在AC段：7)|y|max及位置：当集中力作用在中点时：x0ymax§5-9梁的变形例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。FabABCqAqB8)讨论挠曲线无拐点的简支梁，工程上都可用中点挠度近似代替最大挠度例5-13求集中力F作用的简支梁的挠曲线方程。FabABCqAqBx0ymax当F无限接近右支座的极端情况下：可以用中点挠度近似代替ymax：§5-9梁的变形解：1)q(x)表示的挠曲线微分方程：xq(x)=q0x/lC2)将微分方程积分四次得：§5-9梁的变形例5-14求图示简支梁的挠曲线。q0lABxyxq(x)=q0x/lC3)由边界条件确定积分常数：4)转角和挠曲线方程分别为：§5-9梁的变形例5-14求图示简支梁的挠曲线。q0lABxy理论基础：叠加法求变形的表述：若干载荷共同作用下梁任意横截面上的总变形，等于各载荷单独作用时在该截面引起变形的代数和。§5-10叠加法求梁的变形例5-15图示悬臂梁的抗弯刚度EI为常数，求qB和yB。Fl/2ql/2ABCABqABCyBqyCqqCqqBFFyBF解：1)在F作用下：2)在q作用下：3)在q和F共同作用下：§5-10叠加法求梁的变形解：1)沿截面B将梁分成两段：ABqa0.5qa2C例5-16图示外伸梁的抗弯刚度EI为常数，求qC和yC。lABCaqqCB2)简支梁AB段受截面B处的剪力与弯矩作用，剪力不产生变形，弯矩产生变形为：3)悬臂梁BC段在均布载荷q

作用下变形：4)梁的总变形：§5-10叠加法求梁的变形例5-16图示外伸梁的抗弯刚度EI为常数，求qC和yC。ABqa0.5qa2ClABCaqqCB再将AB刚化，BC解除刚化成为悬臂梁，在q作用下变形。5)“逐段刚化法”§5-10叠加法求梁的变形先将BC刚化，则载荷可以简化到简支梁AB的B点(qa、0.5qa2)：AB变形引起刚体BC的伴随变形；6)讨论将载荷简化到B点不改变AB梁的变形任意截面弯矩和边界条件都没改变则考虑BC变形时，B截面的转角和挠度都是零—悬臂梁解：1)求支反力：ABCyCqCqCABCFAyFByq例5-17求图示简支梁的qC和yC，其抗弯刚度EI为常数。l/3ABC2l/3qFAyFByqCl/3qC(2l/3)2)对于CA段梁：3)对于CB段梁：4)2)、3)联立求解：§5-10叠加法求梁的变形§5-11提高梁强度的措施1．弯曲正应力是控制梁强度的主要因素；2．提高梁强度的措施；采用合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz；采用等强度梁或变截面梁；改善梁的受力条件，降低Mmax；一、梁的合理截面形状1．横截面面积A不变，Wz越大截面越合理：2．材料特性对截面形状的要求：优先采用工字形、槽形、箱形和圆环形截面；截面上的材料应尽可能远离中性轴；抗拉强度小的材料，采用中性轴偏向受拉侧的截面，如T形、不对称工字形等；拉压对称材料，采用关于中性轴对称截面；3．同时需考虑弯曲切应力强度：型钢等由腹板和翼缘组成的薄壁截面，两端翼缘承担正应力，中间腹板承担切应力。§5-11提高梁强度的措施二、等强度梁1．等强度观点的等高矩形截面悬臂梁的宽度b(x)：固定端和x截面最大正应力相等：等强度梁：任意横截面最大正应力都相等的梁。lHByHFxbzxx2．该等强度梁的重量是同样强度等截面梁的一半。§5-11提高梁强度的措施3．该梁的最大挠度：—最大挠度是同样强度等截面梁的1.5倍—固定端截面对z轴惯性矩。4．叠板弹簧设计思路：lFB§5-11提高梁强度的措施二、等强度梁F2FFF5．悬臂梁截面宽度一定，按等强度观点求得h(x)按抛物线规律变化。6．以上只讨论梁的弯曲正应力强度，设计等强度梁还必须考虑切应力强度条件，在自由端附近有一个最小截面宽度或高度。§5-11提高梁强度的措施二、等强度梁xHFxBzylBh三、改善梁的受力条件简