材料力学《第三章》扭曲

§9-1引言§9-2动力传递与扭矩§9-3切应力互等定理与剪切胡克定律§9-4圆轴扭转横截面上的应力§9-5极惯性矩与抗扭截面系数§9-6圆轴扭转破坏与强度条件§9-7圆轴扭转变形与刚度条件*§9-8非圆截面轴扭转简介第九章扭转一、

工程实例§9-1引言汽车传动轴、转向盘轴；机床传动轴；攻螺纹丝锥；行车传动轴；船舶推进轴等。O轴：工程中以扭转变形为主的构件。AOBgBAf二、特点受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作

用平面与杆轴线垂直；变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。扭转角f：任意两横截面转过的角度。如：fABMM一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系式中：P—功率，千瓦(kW)

n—转速，转/分(r/min)

M—外力偶矩，牛顿·米(N·m)§9-2动力传递与扭矩可知：P一定时，n，

M

工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上的外力偶矩：如：一万吨轮，P=7060

kW，n=119

r/min，则：mmx二、扭矩及扭矩图T1.扭矩Mmm规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：截面法：MM设横截面上的内力偶矩为T：SMx=0T–M=0∴

T=M称T为扭矩

，为横截面上内力的合力偶矩。

2.扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。BCAD例1已知一传动轴，n=300r/min，主动轮输入PA=500kW，

从动轮输出PB=150kW，PC=150kW，PD=200kW，试绘

制轴的扭矩图。nMB

MC

MA

MD解：(1)计算外力偶矩BCADMB

MC

MA

MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1B11MBT1SMx=0T1

+MB

=0∴

T1

=–MB=–4.775kN·m

CA段：截面2-2SMx=0T2

+MB

+MC

=0∴

T2

=–MB–MC=–9.55kN·m

AD段：截面3-3SMx=0T3

–MD

=0∴

T3

=MD=6.336kN·m

BC22T2MBMCD33T3MD(3)绘制扭矩图∴CA段为危险截面：xT4.7759.556.336BCADMB

MC

MA

MDBACD|T|max

=9.55kN·m

+--T1

=–4.775kN·m

T2

=–9.55kN·m

T3

=6.336kN·m

薄壁圆筒：R0：为圆筒平均半径。一、薄壁圆筒的扭转应力薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。§9-3切应力互等定理与剪切胡克定律薄壁圆筒的扭转实验：壁厚d≤R0/10两端加外力偶矩M，使薄壁圆筒产生扭转变形。(1)圆周线形状、大小、

间距不变，仅绕轴线

相对转动；推知：实验现象：(2)纵向线倾斜了角；(3)矩形abcd变成了平行

四边形a'b'c'd'。(1)过半径的纵向截面上无正应力；(2)横截面上无正应力，只有切应力。abcda'b'c'd'截面法：取横截面m-m分析

A0：为平均半径处圆的面积。∵圆周各点对称于圆心，沿圆周各点

切应力

相等，方向与半径垂直。∵d<<R0，切应力

沿壁厚均布。

∴横截面上各点切应力相等，方

向与半径垂直。取微面积：dA=

d·R0dqdq微内力：dA=

d·R0dq对圆心微力矩：dT=dA·R0=

d·R02dq合力偶矩即为横截面上的扭矩：dAacdbdxdy''二、纯剪切与切应力互等定理取微小单元体abcd：左、右侧面(横截面)：合力：ddy其力偶矩：(ddy)dx上、下底面(纵向截面)：'合力：'ddx其力偶矩：('ddx)dySMz=0('ddx)dy

–(ddy)dx

=0∴'

=切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切

应力必成对存在，且数值相等，方向相反，

两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向

或背离这一交线。纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。acdbdxdy三、剪切胡克定律切应变

g：单元体直角的改变量。单位：rad(弧度)由试验可得-g

曲线。可知：当≤

p

时，有''=Gg称为剪切胡克定律。p：材料的剪切比例极限；

G：材料的切变模量，单位：GPa钢：G=80GPa对各向同性材料，有Op在材料的三个弹性常数中，只要知道任意两个，就可以确定第三个。一、扭转切应力的一般公式§9-4圆轴扭转横截面上的应力1.扭转试验研究——变形几何关系目的：确定横截面上各点应变

分布规律。圆轴扭转试验：薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。实验现象：(1)圆周线绕轴线相对转动，但

形状、大小、间距不变；(2)纵向线仍为直线，但倾斜了角；(3)矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。(1)横截面上无正应力；假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半

径仍为直线。可知：(2)横截面上切应力方向与半径垂直。取截面1、截面2之间的微段dx分析：横截面2相对截面1转过df；半径O2c转到O2c'；纵向线ac倾斜了g角至ac'；表层单元体abcd发生剪切变形；abcda'b'c'd'变形几何关系：cc'=Rdf=gdx表层切应变：在横截面上半径r处e点：同样有：ee'=r

df=grdx∴e点切应变：(a)扭转角f沿轴线x的变化率，对给定的截面为一常量。横截面上切应变分布规律：横截面上任意点的切应变与该点半径成正比，方向与半径垂直。轴线上：r

=0，gr=0轴表层：r

=R，Ttmaxtmax2.物理关系——剪切胡克定律小变形下为弹性变形，满足胡克定律：目的：由横截面上切应变分布规律确定切应力分布规律。∴(b)横截面上切应力分布规律：横截面上任意点的切应力与该点半径

成正比，方向与半径垂直并与扭矩方

向一致。即切应力沿半径呈线性分布。轴线上：r

=0，tr=0轴表层：r

=R，TtmaxtmaxtminTOdA3.静力学关系令将(b)式代入(c)式得：目的：找横截面上扭矩与切应力之间关系，建立切应力计算公式。取微面积dA，距圆心为r，切应力tr微内力：rdA对圆心微力矩：dT=rdA·r整个横截面上的内力矩即为扭矩T：(c)称为横截面对形心O点的极惯性矩，仅与横截面的形状尺寸有关。∴为计算圆轴扭转变形的基本公式。r为计算圆轴横截面扭转切应力的基本公式。将代入(b)式，得：二、最大扭转切应力在圆轴表层：rmax=R，有最大切应力：令称为横截面的抗扭截面系数，单位：m3，mm3。∴可知：Wp，tmax∴Wp代表截面的扭转强度。注意：公式适用于弹性变形范围内的圆截面直杆。OD§9-5极惯性矩与抗扭截面系数一、实心圆截面d取微面积：dA=2prdr，距圆心为r，∴单位：m4，cm4，mm4。单位：m3，cm3，mm3。工程中近似可取：Wp=0.2D3二、空心圆截面外径：D内径：d可求得：DOd一、扭转失效与扭转极限应力低碳钢试件：铸铁试件：§9-6圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转试验：扭转试验机上进行。由试验可知：先发生屈服，产生较大的塑性变形，最后沿横截面断开。由试验可得扭转屈服极限：ts变形很小，无屈服现象，最后沿与轴线约成45的螺旋面断裂。由试验可得扭转强度极限：tb二、圆轴扭转时的强度条件材料的扭转许用切应力：强度条件：对等截面圆轴：(1)强度校核(2)设计截面尺寸(3)确定许可载荷最大工作应力不超过材料的扭转许用切应力。对阶梯圆轴要分段考虑确定tmax。圆轴扭转强度计算：由得：空心圆轴：由Tmax[M][P]例2功率为150kW，转速为924r/min的电动机转子轴如图，

材料许用切应力

[]=30MPa。试校核其强度。1550N·m解：(1)确定外力偶矩(3)校核强度∴此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCMMTx(2)扭矩及扭矩图作扭矩图。一、圆轴扭转时的变形由公式对同材料等截面圆轴，只在两端有外力偶作用时，T、Ip不变：§9-7圆轴扭转变形与刚度条件得：∴扭转角为圆轴扭转角计算公式。f单位：弧度(rad)。由上式可知：T、l

一定时，GIp，f∴称GIp为圆轴截面的抗扭刚度。表示圆轴抵抗扭转变形的能力。二、圆轴扭转刚度条件∵

：rad/m，[]：º/m对一般传动轴：[]=(0.5~1.0)º/m当圆轴的T、Ip分段变化时：单位长度扭转角：在工程实际中，对轴类构件的扭转变形有一定限制，即要求有一定的扭转刚度。在工程上限制，使其不超过许用扭转角[]：∴对精密机械的轴：[]=(0.25~0.50)º/m三种类型的刚度计算：(1)校核轴的刚度(2)设计轴的直径(3)确定许可载荷按刚度条件确定轴直径时：由得：空心轴：在同时按强度条件和刚度条件设计轴直径时，应选择其中较大的直径。例3例1中传动轴为钢制实心轴，许用切应力

[]=30MPa，

[

]

=0.3º/m，G=80Gpa。

试按强度条件和刚度条件设计轴的直径

D。解：应先作出轴的扭矩图，确定Tmax，在例１中完成。BCADMB

MC

MA

MDCA段：|T|max

=9.55kN·m。(1)强度条件(2)刚度条件∴

D≥12.34cm，圆整，取D=12.5cm例4某汽车的主传动轴用40钢钢管制成，钢管外径，D=76mm，

壁厚d=2.5mm，轴传递转矩M=1.98kN·m。材料的许用切

应力

[]=100MPa，G=80GPa，轴[

]

=2º/m。

试校核该轴的强度和刚度。解：(1)轴的扭矩M

MT=M=1.98kN·m。(2)强度校核∴满足强度要求。(3)刚度校核∴满足刚度要求。例5如将例4中的空心轴改为同一材料的实心轴，且仍使

max=

96.4MPa。

试确定实心轴的直径

d，并比较两者的重量。解：(1)确定实心轴的直径

dM

M∴(2)比较两者的重量∴两者的重量比空心轴：实心轴：可知：此时在承载能力相同的条件下，空心轴的重量只为实心

轴的1/3，比实心轴节省材料。为什么空心轴能节省材料呢？由扭转切应力分布图可知：在实心轴中靠近轴心处的切应力很小，这部分材料没有充分发挥作用。若将这部分材料向外移，制成空心轴，使其承担较大的应力。T同时材料离轴心远了，内力的力臂增大了，轴的抗扭能力更加增大。Ttmin在横截面面积相同时，由实心轴改为空心轴后，Ip、Wp都大幅度增大，轴的强度和刚度都有较大提高。且节约材料，重量轻。∴空心圆截面是轴的合理截面，可提高扭

转强度和刚度，且节约材料，重量轻。在工程中空心圆轴有着较多的应用。