材料力学第9章应力分析强度理论

第九章应力分析强度理论§9.1应力状态概述§9.2二向和三向应力状态的实例§9.3二向应力状态分析--解析法§9.4二向应力状态分析--图解法§9.5三向应力状态§9.6广义胡克定律§9.7复杂应力状态的变形比能§9.8强度理论概述§9.9四种常用强度理论1§9.1应力状态概述回顾: 结论:⑴同一截面上，各点的应力不同。⑵同一点在不同方位的截面上，应力不同。∴应力有三要素：大小、方向、作用面。㈠定义⒈应力状态：通过受力物体内某一点的各个截面上的应力情况，称为这一点的应力状态。⒉应力状态分析2㈡研究方法：围绕点取单元体，以单元体代替点。⒈单元体假设形状：任意,一般为正六面体大小：边长无限小各面应力：均布，一对平行平面应力相同。⒉如何取？利用已知横截面或斜截面上的应力。如：⑴拉、压： ⑵扭转：

⑶纯弯： ⑷剪弯： 3㈢分类：⒈主平面：只有σ，无τ的面。

主应力：主平面上的正应力。约定：按代数值大小排：σ1≥σ2≥σ3⒉分类：⑴三个主应力中，只有一个不为零——单向应力状态⑵三个主应力中，有二个不为零——二向应力状态(平面应力状态)⑶三个主应力都不为零——三向应力状态(空间应力状态)4§9.2二向和三向应力状态的实例㈠二向应力状态实例(受压的薄壁筒)横截面上应力设内压为p,壁厚为t,D为内径,

⒈横截面上应力(σ)5⒉纵截面上应力微截面:微压力:在y向投影:纵截面上应力6⒊σ作用的截面是直杆轴向拉伸的横截面,τ=0内压对称,σ作用的截面上,τ=0∴壁内任意点的纵、横截面都为主平面。

为二向应力状态7㈡三向应力状态的实例如滚珠轴承、火车车轮与钢轨的接触点解：例：A3钢制成的锅炉，t=10mm，内径D=1m，p=3Mpa，求锅炉壁内任意点处的三个主应力。8§9.3二向应力状态分析--解析法方法：力的平衡条件规定：

σx、σy：拉为正、压为负

τxy：对单元体内任意点而言，顺时针为正，逆时针为负。

α：从x轴起到截面的法线逆时针为正，顺时针为负。9㈠求σα、τα已知如图，设ef面积为dA斜截面上应力的公式10㈡σmax、σmin解出两各极值点α0,α0=90+α0最大、最小应力即为主应力σmax、σmin为三个主应力中的两个。11讨论：⑴若代数值σx≥σy，则α0、α0中，绝对值较小者是σx与σmax之间夹角，且小于45。⑵若代数值σx≤σy，则α0、α0中，绝对值较小者是σx与σmin之间夹角，且小于45。12㈢τmax、τmin(与z轴平行的任意斜截面上的)例题13例:讨论圆轴扭转时的应力状态,并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：取单元体：σ1=τ，σ2=0，σ3=-τ铸铁试件受扭时，表面各点σmax所在平面联成45的螺旋线，铸铁抗拉能力差，沿45的螺旋面破坏14铸铁扭转破坏动画15例:已知:横力弯曲梁,A点的应力状态:σ=-70Mpa,τ=50Mpa，试确定A点的主应力、主平面，并讨论同一截面上其他点的应力状态。解：σx=0，σy=-70Mpa，τxy=-50Mpa∵σx>σy，则α0是σx与σmax之间夹角,可确定主平面16§9.4二向应力状态分析--图解法㈠应力圆,莫尔圆⒈应力圆方程应力圆方程圆心坐标:半径:τσ17⒉应力圆的作法⑴建立στ坐标系⑵按一定的比例尺量取，横坐标OA=σx，AD=τxy，确定D点。⑶按一定的比例尺量取，纵坐标OB=σy，BD=τyx，确定D点。⑷连接DD与横坐标交于C点。⑸以C为圆心，CD为半径作圆。设1819证明：OC=OB+BC=OA-CA∵BC=CA∴2BC=OA-OB圆心坐标:20⒊应力圆与单元体对应关系⑴点面对应：应力圆上的点与单元体的面对应。D→x面，D→y面⑵同方向转动：⑶倍角关系：单元体由x轴转到截面的法线转过α角，在应力圆上由D点转过2α到Dα点。21㈡利用应力圆求任意斜截面的应力由对应关系：在应力圆上得到对应点，其坐标即为α截面上的应力。证明：22㈢利用应力圆求主应力、主方向⒈主应力值：应力圆与σ轴的交点的值为主应力证明：23⒉主方向应力圆：D点顺时针转2α0到A1点单元体：x轴顺时针转α0到主平面法线证明：24㈣利用应力圆求剪应力极值应力圆上最高点、最低点的纵坐标值，为剪应力的极大、极小值。证明：由应力圆有：方向：应力圆：与主应力夹角90单元体：与主平面夹角45例题25例：已知：如图，试用应力圆求主应力，并确定主平面的位置。解：⒈画应力圆⒊量取：DCA1=2α0=45

α0=22.5,逆时针转⒉量取：26例:已知:如图,求斜截面de上的正应力、剪应力。解：⒈画应力圆⒉在应力圆上找出与α截面对应的E点⒊按比例尺量取：27§9.5三向应力状态三向应力状态：三个正应力，6个剪应力有6个独立的应力㈠三向应力圆⒈平行于σ3的斜截面上的应力其中：只有σ1,σ2对该斜截面上的应力产生影响28⒉平行于σ1的斜截面上的应力⒊平行于σ2的斜截面上的应力㈡最大剪应力在一般情况：只有σ2、σ3对该斜截面上的应力产生影响只有σ1、σ3对该斜截面上的应力产生影响29§9.6广义胡克定律㈠胡克定律⒈单向应力状态时σ=Eε横向应变：纯剪切：τ=Gγ30E为何相同？⒉广义胡克定律由实验知：对各向同性材料，当小变形且在弹性范围内时，

ε只与σ有关，与τ无关

γ只与τ有关，与σ无关++εx=++εy=++εz=σx单独作用σy单独作用σz单独作用σxσyσz31广义胡克定律广义胡克定律γxy=0，γyz=0，γzx=0σxσyσz32⒊讨论：⑴ε1、ε2、ε3称为主应变，与主应力方向相同，ε1≥ε2≥ε3⑵σ、ε为代数值，ε>0,表示伸长,ε<0表示缩短。⑶适用条件：小变形、线弹性范围内、各向同性材料σxσyσz必须是各向同性材料33㈡体积应变体积应变其中:平均应力体积弹性模量讨论:⑴θ与三个主应力和有关⑵一般μ<0.5,θ都存在。例题变形前:V=dxdydz变形后:V1=(dx+ε1dx)(dy+ε2dy)(dz+ε3dz)=(1+ε1+ε2+ε3)dxdydz略去高阶无穷小34例：已知：钢块上有一直径为50.01mm凹座,放入直径为50mm的钢制圆柱,压力P=300KN,假设钢块不变形,E=200Gpa,μ=0.3,求圆柱的主应力。解：圆柱体横截面内各点为二向应力状态，压力为pσx=σy=-pp=8.43Mpaσ1=σ2=-8.43Mpa,σ3=-153Mpa35§9.7复杂应力状态的变形比能㈠变形比能⒈简单应力状态:⒉三向应力状态变形能、变形比能与加力次序无关，与外力和变形的最终值有关。36㈡体积改变比能与形状改变比能⒈体积改变比能(uv)⒉形状改变比能(uf)⒊u=uv+uf37§9.8强度理论概述㈠简单应力状态下的强度条件⒈破坏形式塑性材料:屈服、流动脆性材料：断裂⒉许用应力由实验定强度条件：σ≤[σ]结论：对简单应力状态，强度条件以实验为基础。38㈡复杂应力状态⒈实验多而且很困难，无法做完。⒉不能引用简单应力状态的结果。⒊根据破坏现象提出强度假说

破坏现象：屈服与断裂

影响因素：应力、应变、变形能⒋条件：常温、静载、均匀、连续、各向同性材料39§9.9四种常用强度理论㈠最大拉应力理论(第一强度理论)⒈假说:最大拉应力是引起断裂的主要因素。即：无论在什么应力状态下，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值时，材料就发生断裂。∴可用单向应力状态来确定这一极限值。⒉断裂准则：σ1=σb⒊强度条件：σ1<[σ]⒋适用范围：脆性材料40第一强度理论--铸铁扭转破坏动画断口为何45°？41㈡最大伸长线应变理论(第二强度理论)⒈假说:最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即：无论在什么应力状态下，只要最大伸长线应变达到与材料性质有关的某一极限值时，材料就发生断裂。∴可用单向应力状态来确定这一极限值。⒉断裂准则：∴准则单向:42⒊强度条件：⒋适用范围：脆性材料43㈢最大剪应力理论(第三强度理论)⒈假说:最大剪应力是引起屈服的主要因素。即：无论在什么应力状态下，只要最大剪应力达到与材料性质有关的某一极限值时，材料就发生屈服。∴可用单向应力状态来确定这一极限值。⒉屈服准则：单向:在45斜截面上∴准则⒊强度条件：⒋适用范围：塑性材料44㈣形状改变比能理论(第四强度理论)⒈假说:形状改变比能是引起屈服的主要因素。即:无论在什么应力状态下,只要形状改变比能达到与材料性质有关的某一极限值时,材料就发生屈服。∴可用单向应力状态来确定这一极限值。⒉屈服准则：单向:形状改变比能为在任意应力状态:准则:⒊强度条件：⒋适用范围：塑性材料45㈤小结⒈统一形式:σr:相当应力46⒉一般:脆性材料:用第一、第二强度理论。

塑性材料:用第三、第四强度理论。

注意：同一种材料在不同的应力状态下，有不同的失效形式。如：⑴低碳钢三向受拉时，出现脆性断裂，此时用第一、第二强度理论。⑵铸铁三向受压时，出现屈服现象，此时用第三、第四强度理论。例题47例：已知：A3钢锅炉圆筒任意点的主应力为：σ1=150Mpa，σ2=75Mpa，σ3=0，[σ]=160Mpa，试校核其强度。解：钢锅炉