第六讲 图像复原

图像复原第六讲图像复原6.1概述6.2图像退化数学模型6.3无约束图像复原6.4有约束图像复原6.5几何失真校正图像复原6.1

概述

在各类图像系统中，图像的传送和转换，如成像、复制、扫描、传输及显示等，总要造成图像质量降低。图像退化：图像质量的变坏。图像复原：将图像退化的过程模型化，并且采用相反的过程来恢复出原始的图像。图像复原

图像复原技术的分类：

在给定退化模型条件下，可以分为有约束和无约束；根据所在的域，分为频域和空间域。

本讲首先介绍图像退化模型，然后是几种复原方法，如反向滤波图像复原、维纳滤波图像复原、几何校正等。图像复原6.2

图像退化数学模型6.2.1图像退化模型

图像复原的关键技术之一就是建立一个能够反映图像退化原因的图像退化模型。复杂的退化环境具有非线性、时变和空间变化的系统模型，但处理复杂。

采用线性空间不变模型近似。图像复原图6－1图像退化模型f(x,y)为原始图像，g(x,y)为退化图像。n(x,y)为噪声，在实际应用中假设噪声是白噪声，即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。

H为退化系统（或退化算子)。图像复原输入和输出满足下面关系：退化系统为具有线性和空间不变性。图像复原6.2.2常见图像退化模型一、连续函数退化模型由函数的性质：二维卷积定义：图像复原H为一线性算子，所以h(x,y)为单位冲激响应函数。H为线性空间不变系统，对任意输入信号的响应为：图像复原不考虑噪声的情况下，退化模型的响应为：有噪声的情况下，退化模型的响应为：有位移的情况下，退化模型的响应为：图像复原频域中：其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分别是退化图像g(x,y)、原图像f(x,y)、噪声信号n(x,y)的傅立叶变换；H(u,v)是系统的冲激响应函数h(x,y)的傅立叶变换，称为系统在频率域上的传递函数。图像复原二、离散函数退化模型1、一维情况：

设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数，h(x)为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数，则经退化系统后的离散输出函数g(x)为输入f(x)和冲激响应h(x)的卷积，即

g(x)=f(x)*h(x)

图像复原

为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠（设每个采样函数的周期为M），分别对f(x)和h(x)用添零延伸的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数，即

图像复原因为fe(x)和he(x)的周期为M,所以ge(x)的周期也是M。可以用矩阵表示：图像复原图像复原根据he(x)＝he(x＋M),所以H的表达式可以改写为：H是循环矩阵，即每行最后一项等于下一行的最前一项，最后一行的最后一项等于第一行最前一项。循环矩阵相加或相乘得到的还是循环矩阵。图像复原2、二维情况：设输入的数字图像f(x,y)大小为A×B，退化函数h(x,y)被均匀采样为C×D大小。为避免交叠误差，仍用添零扩展的方法，将它们扩展成M=A+C-1和N=B+D-1个元素的周期函数。图像复原所以降质图像为：考虑噪声的情况:图像复原用矩阵表示：其中H矩阵中的每个Hi是由函数he(x,y)的第i行而来，即：图像复原

Hi(i=0,1,2,…,M-1)为子矩阵，大小为N×N，即H矩阵由M×M个大小为N×N的子矩阵组成，称为分块循环矩阵。图像复原

上述线性空间不变退化模型表明，在给定了g(x,y)，并且知道退化函数h(x,y)和噪声分布n(x,y)的情况下，可估计出原始图像f(x,y)。假设图像大小M=N=512，相应矩阵MH的大小为MN×MN=262144×262144，这意味着要解出f(x,y)需要解262144个联立方程组，其计算量十分惊人。

图像复原6.3

无约束图像复原

反向滤波图像复原是最简单的复原代数方法，它采用了无约束条件的最小二乘方复原。6.3.1代数复原方法若图像的降质模型为：在不了解n的情况下，希望找到一个f的估计，使得Hf在最小二乘方意义上近似g，即最小。用线性代数中的理论解决图像复原问题图像复原由范数定义知：求最小等效于求最小，为此，令：图像复原求最小，即求的极小值，此处不受任何其他条件的约束，因此称为无约束复原。求极小值：令M＝N，且H可逆:图像复原6.3.2反向滤波原理(逆滤波)二维降质模型为：反向滤波过程为：（频域）图像复原有噪声的情况为：图像复原图6－2图像退化和复原模型考虑零点和噪声的反向滤波处理框图如图6－3所示：图6－3实际反向滤波处理框图图像复原

从逆滤波的表达式中可以知道，若H(u,v)中存在零点时逆滤波在这些点处是无法进行的。方法1：在零点处及其附近，人为设置反向滤波器的传递函数的值，设此时的传函为M(u,v)：6.3.3零点和噪声的影响图像复原图6-4反向滤波器零点的影响及其改进(a)退化系统的传递函数；(b)逆滤波器传递函数；(c)改进的逆滤波器传递函数图像复原方法2：一般情况下H(u,v)的值在离开原点时迅速衰减，而噪声的频谱接近常数，导致在离开原点时噪声的影响迅速增大。为此只需复原u,v平面上信噪比高的区域，因此令反向滤波器的传函为：图像复原6.3.4运动图像模糊复原根据前面推导得到的退化传递函数，利用反向滤波法消除运动模糊的过程如下：1、求模糊图像的傅立叶变换G(u,v);2、确定退化传递函数H(u,v);3、计算复原图像的傅立叶变换F(u,v);4、对F(u,v)进行傅立叶逆变换，得到复原图像。图像复原由运动模糊引起的降质图像的恢复a为原图，b为降质图，c为恢复图

处理的核心是寻找到合适的H，即建立降质模型。abc图像复原6.3.5无约束复原的特点优点：使准则函数最小外，没有其他的约束条件，因此只需了解降质系统的传递函数就能复原。缺点：由于传递函数存在病态问题，复原只能局限在靠近原点的有限区域内进行。图像复原6.4

有约束图像复原有约束复原是指除了要了解退化系统的传递函数之外，还需要知道某些噪声的统计特性或噪声与图像的某些相关情况。根据所了解的噪声的先验知识的不同，采用不同的约束条件，可得到不同的图像复原技术。最典型方法就是维纳滤波复原。

图像复原6.4.1代数复原方法

在最小二乘方处理中，为了数学上更容易处理，常常加入某种约束条件，例如，可以令Q为f的线性算子，则最小二乘方复原问题可看成是使形式为的函数，服从约束条件的最小化问题。具有附加条件的极值问题可用拉格朗日乘数法来处理，具体的处理方法如下：图像复原寻求一个f，使下述准则函数为最小：

λ为常数，是拉格朗日系数求上式的极小值，求导，并使结果为0，则有：图像复原求解有：图像复原求解上式关键就是如何选用一个合适的变换矩阵Q。选择的Q的形式不同，就可得到不同类型的有约束的最小二乘类图像复原方法。如果用图像f和噪声的相关矩阵Rf和Rn表示Q，就可以得到维纳滤波复原方法。图像复原6.4.2维纳滤波原理维纳滤波是寻找一个滤波器，使得复原后图像与原始图像的均方误差最小，即：E[·]为数学期望算子。因此，维纳滤波器通常又称为最小均方误差滤波器。图像复原令Rf和Rn分别是f和n的相关矩阵，即：将上式代入到代数复原方法中得到的复原函数的表达式中，则维纳滤波器的复原函数表达式为：图像复原

Rf和Rn是实对称矩阵，可近似为分块循环矩阵。因而用循环矩阵的对角化，可写成式中，A和B的元素分别为Rf和Rn中的自相关元素的傅立叶变换。这些自相关的傅立叶变换被分别定义为fe(x,y)和ne(x,y)的谱密度Pf(u,v)和Pn(u,v)。W为一个MN×MN矩阵，包含M×M个N×N的块。M、N的含义见二维离散模型部分。图像复原W的第i,m个分块为

i,m=0,1,…,M-1其中，WN为一个N×N矩阵，其第k,n个位置的元素为：

k,n=0,1,…,N-1图像复原D*为D的共轭矩阵再进行矩阵变换得：

将上式带入到(6-1)中有：假设M=N，则频域表达式为：

图像复原图像复原显然，维纳滤波器的传递函数为：分析：

(1)如果s=1，称之为维纳滤波器，若s为变数，此式为参变维纳滤波器。图像复原(2)当无噪声影响时，Pn(u,v)=0，称之为理想的反向滤波器。逆滤波器可看成是维纳滤波器的一种特殊情况。

(3)如果不知道噪声的统计性质，也就是Pf(u,v)和Pn(u,v)未知时，滤波传函可以用下式近似：式中，K表示噪声对信号的频谱密度之比。

图像复原6.5几何失真校正6.5.1概述几何失真：图像在成像过程中，由于成像系统本身具有非线性等原因，导致生成的图像比例失调或者扭曲，这类图像退化称为几何失真或几何畸变。典型的几何失真如图6-5所示:图像复原图6-5几种典型的几何失真(a)原图像；(b)梯形失真；(c)枕形失真；(d)桶形失真

图像复原几何校正：通过几何变换来校正失真图像中的各像素位置，以重新得到像素间原来的空间关系，包括原来的灰度值关系，这类校正方法称为几何校正。图像几何失真校正的步骤：1、空间变换：对图像平面上的像素进行重新排列以恢复原空间关系；2、灰度插值：对空间变换后的像素赋予相应的灰度值以恢复原位置的灰度值。图像复原6.5.2空间变换设原图像为f(x,y)，校正后的图像也用f(x,y)表示，畸变后的图像为g(x’,y’)，畸变前后图像所在两个坐标系间的关系：一、两坐标之间的对应关系h1和h2已知直接通过反变换来恢复图像。图像复原二、两坐标之间的对应关系h1和h2未知采用连点法，即找一些连接点，它们在输入（失真）图像和输出（校正）图像中位置是准确已知的，然后利用连接点建立失真图像与校正图像间其他像素空间位置的对应关系。典型的就是三角形区域，两个三角形的顶点就是相应的连接点。几何变形通过双线性方程来表示：图像复原确定失真图像中三角形三个顶点再找出其对应的三个真实点

解方程组，得到a,b,c,d,e,f六个系数，再按坐标关系已知的校正方法，进行校正。图像复原6.5.3灰度插值失真图像g(x’,y’)是数字图像，其坐标为整数，像素值仅在整数处有意义。而由上面公式计算出来的校正坐标(x,y)值可能不是整数，此时，非整数处的像素值就要用其周围一些整数坐标处的像素值来判断，用于完成该项任务的技术称为灰度插值。图像复原一、最近邻插值（零阶插值）如果校正坐标(x,y)是非整数坐标，则取与像素点相邻的4个点中距离最近的邻点灰度值作为该点的灰度值，如图6-6所示。显然，最近邻点法计算简单，但精度不高，同时校正后的图像亮度有明显的不连续性。图像复原图6-6最近邻插值

图像复原二、双线性插值用(x,y