第八章 组合变形

第八章组合变形Chapter8Combineddeformation材料力学Mechanics

ofMaterials

第八章组合变形

组合变形§8-1

组合变形和叠加原理§8-2

拉伸（压缩）与弯曲的组合§8-3

偏心拉（压)•截面核心§8-4

扭转与弯曲的组合

一、组合变形的概念

构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形,

则构件的变形称为组合变形。二、解决组合变形问题的基本方法－叠加法叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与外力之间成线性关系。§8-1

组合变形和叠加原理三、工程实例(Engineeringexamples)

Fhg1、外力分析

将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基本变形,使之每个力(或力偶)对应一种基本变形3、应力分析

画出危险截面的应力分布图，利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加,建立危险点的强度条件

四、处理组合变形的基本方法

2、内力分析

求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险截截面。分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形=++=+一、受力特点杆件将发生拉伸(压缩)与弯曲组合变形作用在杆件上的外力既有轴向拉(压)力，还有横向力二、变形特点§8-2

拉伸(或压缩)与弯曲的组合FF1F2F2F1

产生弯曲变形F2

产生拉伸变形FyFxFy

产生弯曲变形Fx

产生拉伸变形示例1示例2三、内力分析xy0zMZFN横截面上内力2、弯曲1、拉(压)：轴力FN弯矩

MZ剪力FS因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。

横截面上任意一点(z,y)处的正应力计算公式为四、应力分析1、拉伸正应力

2、弯曲正应力xy0zMZFN(z,y)轴力所以跨中截面是杆的危险截面F1F2F2l/2l/23、危险截面的确定作内力图弯矩xxFN图M图F2F1l/4拉伸正应力最大弯曲正应力杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为4、计算危险点的应力F1F2F2l/2l/2-

当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、抗压强度条件。五、强度条件由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其强度条件为例题1悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯刚度Wz

=237cm3,横截面面积A=35.5cm2，总荷载F=34kN，横梁材料的许用应力为[]=125MPa。校核横梁AB的强度。FACD1.2m1.2mB30°AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘解：(1)分析AB的受力情况BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B(2)压缩正应力(3)最大弯曲正应力(4)危险点的应力BADFFRAyFRAxFyFxFNAB30°FACD1.2m1.2m30°B例题2小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力[t]=30MPa，许用压应力[c]=160MPa。试按立柱的强度确定压力机的许可压力F。yzz0z1350FF5050150150解：(1)确定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy

=5310cm4计算截面对中性轴y

的惯性矩yzz0z1350FF5050150150FnnFNMy(2)分析立柱横截面上的内力和应力在n—n

截面上有轴力FN及弯矩Mynn350FFyzz0轴力FN产生的拉伸正应力为FnnFNMynnyzz0z1350FF5050150150由弯矩My产生的最大弯曲正应力为5050150150yzz0z1拉nn350FFFnnFNMy（3）叠加在截面内侧有最大拉应力[F]45.1kN5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy在截面外侧有最大压应力[F]171.3kN[F]45.1kN所以取5050150150yzz0z1拉压nn350FFFnnFNMy例题3正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。FFaaaa11FFa/2未开槽前立柱为轴向压缩解：Faa开槽后1-1是危险截面危险截面为偏心压缩将力F

向1-1形心简化未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力例题4矩形截面柱如图所示，F1的作用线与杆轴线重合，F2作用在y

轴上。已知:F1=F2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出现压应力，求F2的偏心距e。yzebhF1F2mm解：(1)外力分析将力F2向截面形心简化后，梁上的外力有轴向压力力偶矩yzebhF1mmF2mz(2)m--m

横截面上的内力有轴力弯矩轴力产生压应力弯矩产生的最大正应力(3)依题的要求,整个截面只有压应力得yzebhF1mmF2mz

§8-3

偏心拉（压）•截面核心1、定义当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。O1yzF一、偏心拉（压）A(yF,zF)xyzFeF2、以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力F

为例

(1)将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶)只产生一种基本变形形式O1yzA(yF,zF)FFe轴向拉力

F力偶矩

m=Fe，将m

向y轴和z轴分解F

使杆发生拉伸变形My

使杆发生xz

平面内的弯曲变形（y为中性轴）Mz

使杆发生

xy

平面内的弯曲变形（z

为中性轴）yzO1FxMyMz

二、任意横截面n-n上的内力分析轴力FN=FFyO1MyMznnyzMyMzFN弯矩

三、任意横截面n-n

上C

点的应力分析yzMyMzFN(y,z)由F产生的正应力由My

产生的正应力由Mz

产生的正应力由于C

点在第一象限内,根据杆件的变形可知,由叠加原理，得C点处的正应力为

均为拉应力yzMyMzFN(y,z)式中A为横截面面积;

Iy

,Iz

分别为横截面对

y轴和z

轴的惯性矩;

(zF，yF

)为力F

作用点的坐标;(z，y)为所求应力点的坐标.上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线=0）就是中性轴。四、中性轴的位置令

y0,z0代表中性轴上任一点的坐标，即得中性轴方程讨论

(1)在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线Oz中性轴yyz中性轴O(2)用ay和az

记中性轴在y,z

两轴上的截距，则有(yF

,zF

)ayaz(3)中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧y0z中性轴外力作用点yz中性轴（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1,D2两切点D1(y1,z1)D2(y2,z2)(a)(b)(c)yyzz(5)对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定NMzyzFyF/WzMyFzF/WyyzD1D2中性轴最大拉应力tmax

和最大压应力cmin

分别在截面的棱角D1

D2

处.无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可五、强度条件由于危险点处仍为单向应力状态，因此，求得最大正应力后，建立的强度条件为yz六、截面核心中性轴（yF，zF）为外力作用点的坐标ay，az为中性轴在y轴和z轴上的截距(yF,zF)当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将只有拉应力或只有压应力yz中性轴yz中性轴中性轴yz(yF,zF)(yF,zF)(yF,zF)yz截面核心1、定义当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力，这个区域就称为截面核心yz当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。中性轴2、截面核心的确定(yF,zF)截面核心

例5求圆形截面的截面核心yzOdA1作切线为中性轴

,在两个形心主惯性轴上的截距分别为圆截面的惯性半径1d/8

由于圆截面对于圆心O是对称的,因而,截面核心的边界对于圆也应是对称的,从而可知,截面核心边界是一个以O为圆心,以d/8为半径的圆2hbABCDyzO例6求矩形截面的截面核心

作切线为中性轴，得两截距分别为1

矩形截面的1hbABCDyz01234

同理,分别作切线、、，可求得对应的核心边界上点的坐标依次为2

矩形截面核心形状分析3直线绕顶点B

旋转到直线时，将得到一系列通过

B点但斜率不同的中性轴，而

B点坐标yB

,zB

是这一系列中性轴上所共有的。hbABCDyz02341

这些中性轴方程为上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程。故外力作用点移动的轨迹是直线。

这些中性轴方程为hbABCDyz01234

(1)对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心

(2)对于周边有凹进部分的截面（如T字形截面），能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线穿过横截面。

4、讨论(Discussion)LaABCF研究对象圆截面杆受力特点

杆件同时承受转矩和横向力作用变形特点

发生扭转和弯曲两种基本变形§8-4

扭转与弯曲的组合一、内力分析

设一直径为

d

的等直圆杆AB,B端具有与AB成直角的刚臂。研究AB杆的内力。将力F

向AB

杆右端截面的形心B简化得横向力F

（引起平面弯曲）力偶矩m=Fa

（引起扭转）AB

杆为弯、扭组合变形BAFmxlaABCF画内力图确定危险截面固定端A截面为危险截面AAFmmFlA截面

C3C4TC3C4C2C1二、应力分析危险截面上的危险点为C1

和C2

点最大扭转切应力

发生在截面周边上的各点处。

C2C1危险截面上的最大弯曲正应力

发生在C1

、C2处A截面

对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆，这两点的危险程度是相同的。可取任意点C1

来研究。C1点处于平面应力状态,该点的单元体如图示C1C3C4

C2C1TC3C4C2C1三、强度分析1、主应力计算

C12、相当应力计算

第三强度理论,计算相当力

第四强度理论,计算相当应力3、强度校核C11该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力，是危险点的切应力。且横截面不限于圆形截面讨论C1该公式适用于弯，扭

组合变形；拉（压）与扭转的组合变形;以及拉（压），扭转与弯曲的组合变形弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为对于圆形截面杆有2C1式中W为杆的抗弯截面系数。M，T分别为危险截面的弯矩和扭矩.以上两式只适用于弯，扭组合变形下的圆截面杆。例题7空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构，受力如图。AB杆的外径D=140mm，内、外径之比α=d/D=0.8，材料的许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论校核AB杆的强度ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm解：(1)外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABFm+15kN·m-(2)内力分析--画扭矩图和弯矩图固定端截面为危险截面20kN·m例题8传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩

m=1kN·m，皮带轮直径D=300mm，皮带轮紧边拉力为F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径zF1F2xyABl/2l/2m解：将力向轴的形心简化轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲mmF=3F2zF1F2xyABl/2l/2m+T=1kN·m+中间截面为危险截面1kN·mmmF=3F2例题9

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C

上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.64

kN

。齿轮

C

的节圆直径d1=400mm,齿轮

D

的节圆直径d2=200mm。设许用应力=100MPa

,试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：(1)外力的简化将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kNxyzACBD5kN1kN·m1.82kN3.64kN10kN1kN.m1kN·m

使轴产生扭转

5kN

，3.64kN

使轴在xz

纵对称面内产生弯曲

1.82kN，10kN使轴在xy

纵对称面内产生弯曲

(2)轴的变形分析