新高考数学二轮复习专题讲测练专题15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用（精讲精练）（解析版）

专题15周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用【命题规律】从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．【核心考点目录】核心考点一：函数单调性的综合应用核心考点二：函数的奇偶性的综合应用核心考点三：已知SKIPIF1<0奇函数SKIPIF1<0核心考点四：利用轴对称解决函数问题核心考点五：利用中心对称解决函数问题核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题核心考点七：类周期函数核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性核心考点九：函数性质的综合【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．1【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为偶函数，令SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，从而可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的一个周期为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以一个周期内的SKIPIF1<0．由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由SKIPIF1<0，联想到余弦函数和差化积公式SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，则由方法一中SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合条件，因此SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于22除以6余4，所以SKIPIF1<0．故选：A．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0的定义域均为R，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0的图像关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，联立得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图像关于点SKIPIF1<0中心对称，因为函数SKIPIF1<0的定义域为R，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0及其导函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0，故C正确；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，由①求导，和SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，因为其定义域为R，所以SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，从而周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误．故选：BC．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知SKIPIF1<0周期为2，关于SKIPIF1<0对称，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然A，D错误，选BC．故选：BC．[方法三]：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为偶函数，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C正确；函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象分别关于直线SKIPIF1<0对称，又SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0可导，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，D错误；若函数SKIPIF1<0满足题设条件，则函数SKIPIF1<0（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定SKIPIF1<0的函数值，故A错误．故选：BC．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若SKIPIF1<0是奇函数，则SKIPIF1<0_____，SKIPIF1<0______．【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，不关于原点对称SKIPIF1<0若奇函数的SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为奇函数，定义域关于原点对称，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．[方法二]：函数的奇偶性求参SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0为奇函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0[方法三]：因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即函数的定义域为SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，在定义域内满足SKIPIF1<0，符合题意．故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】1、单调性技巧（1）证明函数单调性的步骤①取值：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0定义域内一个区间上的任意两个量，且SKIPIF1<0；②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；③定号：判断差的正负或商与SKIPIF1<0的大小关系；④得出结论．（2）函数单调性的判断方法①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（3）记住几条常用的结论：①若SKIPIF1<0是增函数，则SKIPIF1<0为减函数；若SKIPIF1<0是减函数，则SKIPIF1<0为增函数；②若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均为增（或减）函数，则在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公共定义域上SKIPIF1<0为增（或减）函数；③若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为增函数，则函数SKIPIF1<0为增函数，SKIPIF1<0为减函数；④若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0为减函数，则函数SKIPIF1<0为减函数，SKIPIF1<0为增函数．2、奇偶性技巧（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数SKIPIF1<0是偶函数SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象关于SKIPIF1<0轴对称；函数SKIPIF1<0是奇函数SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处有意义，则有SKIPIF1<0；偶函数SKIPIF1<0必满足SKIPIF1<0．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数SKIPIF1<0的定义域关于原点对称，则函数SKIPIF1<0能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如SKIPIF1<0．对于运算函数有如下结论：奇SKIPIF1<0奇=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶；奇SKIPIF1<0偶=非奇非偶；奇SKIPIF1<0奇=偶；奇SKIPIF1<0偶=奇；偶SKIPIF1<0偶=偶．（7）复合函数SKIPIF1<0的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．（8）常见奇偶性函数模型奇函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0=4\*GB3④函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数SKIPIF1<0或函数SKIPIF1<0．偶函数：=1\*GB3①函数SKIPIF1<0．=2\*GB3②函数SKIPIF1<0．=3\*GB3③函数SKIPIF1<0类型的一切函数．④常数函数3、周期性技巧SKIPIF1<04、函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数SKIPIF1<0有两条对称轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0的图象有两个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0；（3）若函数SKIPIF1<0有一条对称轴SKIPIF1<0和一个对称中心SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是周期函数，且SKIPIF1<0．5、对称性技巧（1）若函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（2）若函数SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0．（3）函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于原点对称．【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用【典型例题】例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的减函数，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】显然当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为单调减函数，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上减函数，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故选：A．例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】假设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以SKIPIF1<0的对称中心为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求导得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，取等号，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在R上单调递增，因为SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（舍去），或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A错误；又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，对于函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，故D错误；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；∵SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0单调递增，故函数SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C错误．故选：B．核心考点二：函数的奇偶性的综合应用【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0为偶函数，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】∵SKIPIF1<0为偶函数，∴SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，又函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：B．例5．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0在R上为增函数，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0，故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则使不等式SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0是偶函数，所以不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．综上可知，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选：A．例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0在R上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D．例8．（2023春·广西·高三期末）SKIPIF1<0是定义在R上的函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0（

）A．－1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【解析】SKIPIF1<0是定义在R上的函数，SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．故选：A例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）=SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0恒成立的实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数，所以SKIPIF1<0等价于：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则问题转化为：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，所以只需求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值即可．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A．核心考点三：已知SKIPIF1<0奇函数+M【典型例题】例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知SKIPIF1<0（a，b为实数），SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．【答案】-2014【解析】SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．－2 D．－3【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为奇函数，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：D．例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【解析】由题设，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0为奇函数，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是奇函数，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小、最大值的和为0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：B核心考点四：利用轴对称解决函数问题【典型例题】例13．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0故SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0、曲线SKIPIF1<0交点的横坐标．根据函数SKIPIF1<0和函数SKIPIF1<0互为反函数，它们的图象关于直线SKIPIF1<0对称，故曲线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0的图象交点关于直线SKIPIF1<0对称．即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即SKIPIF1<0，求得x1+x2=5，故选：D．例14．（2021春·高一单元测试）设函数SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．（0，2] B．SKIPIF1<0C．[2，＋∞） D．SKIPIF1<0∪[2，＋∞）【答案】B【解析】由题意，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的偶函数，且在SKIPIF1<0上为单调递减函数，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式的解集为SKIPIF1<0．故选：B．例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的大小关系（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数，将SKIPIF1<0图像向右平移一个单位得到SKIPIF1<0图像，所以SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，且在SKIPIF1<0单调递增．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A核心考点五：利用中心对称解决函数问题【典型例题】例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的偶函数，且SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0图象关于点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：C．例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0为奇函数，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象共有SKIPIF1<0个交点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的图象也关于点SKIPIF1<0对称，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象共有SKIPIF1<0个交点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且这六个点也关于点SKIPIF1<0对称，所以，SKIPIF1<0．故选：B．例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数SKIPIF1<0是奇函数，若函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0图象的交点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题可得SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0的图象也关于点SKIPIF1<0对称，即若点SKIPIF1<0为交点，则点SKIPIF1<0也为交点，同理若SKIPIF1<0为交点，则点SKIPIF1<0也为交点，……则交点的所有横坐标和纵坐标之和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D．例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为函数SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，则SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴交点关于原点对称，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．故选：A．例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个零点，则所有这些零点之和为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0为奇函数，其图象关于点SKIPIF1<0对称，又函数SKIPIF1<0是由函数SKIPIF1<0向右平移一个单位得到的函数，故函数SKIPIF1<0的图象关于点SKIPIF1<0对称，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象都关于点SKIPIF1<0对称，所以两个函数图象的交点也关于点SKIPIF1<0对称，因为函数SKIPIF1<0恰有2021个零点，所以2021个零点除SKIPIF1<0之外的2020个零点关于SKIPIF1<0对称，则所有这些零点之和为SKIPIF1<0．故选：D．核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题【典型例题】例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0为奇函数，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0为偶函数，所以SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0①，用SKIPIF1<0代替SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，由①②得：SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：C例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0为偶函数，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0中心对称，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0．例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0恰有三个公共点，那么实数a的取值的集合为（

）A．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） B．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）C．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0） D．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【答案】B【解析】定义在R上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，且SKIPIF1<0为周期是2的偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以画出函数图像如下图所示：①当SKIPIF1<0时，结合图像可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）有两个公共点；②当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）相切时，满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，结合图像可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）有两个公共点；由图像可知，SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）有三个公共点；又因为SKIPIF1<0周期SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．故选：B．例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是周期为2的周期函数，又函数SKIPIF1<0的图象可由函数SKIPIF1<0的图象向左平移一个单位可得，所以函数SKIPIF1<0的图象的对称轴为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0的图象也关于SKIPIF1<0对称，在平面直角坐标系中作出函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右侧的图象，数形结合可得，若函数SKIPIF1<0图象与SKIPIF1<0的图象恰有10个不同的公共点，则由函数图象的对称性可得两图象在SKIPIF1<0右侧有5个交点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：D．例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<01，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．0 D．2【答案】B【解析】因为