新高考数学二轮复习专题讲测练专题05 数列放缩（精讲精练）（原卷版）

专题05数列放缩【命题规律】数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠拢．【核心考点目录】核心考点一：先求和后放缩核心考点二：裂项放缩核心考点三：等比放缩核心考点四：SKIPIF1<0型不等式的证明核心考点五：SKIPIF1<0型不等式的证明核心考点六：SKIPIF1<0型不等式的证明核心考点七：SKIPIF1<0型不等式的证明【真题回归】1、（2022·全国·高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．2、（2022·全国·高考真题）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，已知SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．3、（2021·天津·高考真题）已知SKIPIF1<0是公差为2的等差数列，其前8项和为64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比数列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（II）记SKIPIF1<0，（i）证明SKIPIF1<0是等比数列；（ii）证明SKIPIF1<04、（2021·全国·高考真题（文））设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n项和．证明：SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】常见放缩公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0．（15）二项式定理①由于SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（16）糖水不等式若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【核心考点】核心考点一：先求和后放缩例1．（2022·全国·模拟预测）己知SKIPIF1<0为等比数列SKIPIF1<0的前n项和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.例2．（2022·江苏南京·模拟预测）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.例3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.例4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）在各项均为正数的数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．例5．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为其前n项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．例6．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.核心考点二：裂项放缩例7．（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0.例8．（2022·山东·济宁市育才中学高三开学考试）已知数列{an}的前n项和为Sn，且SKIPIF1<0，a1＝1．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列{bn}的前n项和为Tn，证明SKIPIF1<0．例9．（2022·天津一中高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0记SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0为等比数列，并求出数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.(3)设SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.例10．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））记数列SKIPIF1<0​前SKIPIF1<0​项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0​为等差数列；(2)若SKIPIF1<0​，记SKIPIF1<0​为数列SKIPIF1<0​的前SKIPIF1<0​项积，证明：SKIPIF1<0​.例11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．核心考点三：等比放缩例12．（2022·重庆八中高三阶段练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.例13．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的首项为1，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0成等差数列，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．例14．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）记SKIPIF1<0是公差不为0的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式，并证明数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和的最大值、最小值.(3)求证：对于任意正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例15．（2022·浙江大学附属中学高三期中）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为2的等差数列.(1)求证SKIPIF1<0为等比数列，并求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.例16．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式及SKIPIF1<0；(2)数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的公比，且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0例17．（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三开学考试）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0为等比数列；(2)记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．核心考点四：SKIPIF1<0型不等式的证明例18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最大值；(2)若关于x的方程SKIPIF1<0有实数根，求实数k的取值范围；(3)证明：SKIPIF1<0．例19．（2022·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值：(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式：(3)证明：对一切正整数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0.例20．（2022·上海·模拟预测）在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)设SKIPIF1<0，证明数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，试比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小．例21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．例22．（2022·湖南·周南中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最大值；(2)证明：SKIPIF1<0例23．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递减的正项数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时满足SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0前n项和．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.例24．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0是首项为3，公差为1的等差数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.例25．（2022·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．例26．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)证明：对任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0例27．（2022·天津河西·高三期中）设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝SKIPIF1<0，已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜SKIPIF1<0．(3)求证：SKIPIF1<0核心考点五：SKIPIF1<0型不等式的证明例28．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数SKIPIF1<0.（1）判断函数SKIPIF1<0的单调性；（2）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.例29．（2022·黑龙江·大庆一中高二阶段练习（理））已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.例30．（2022·浙江温州·高二期末）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式，并证明你的结论；（3）证明：对所有的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.核心考点六：SKIPIF1<0型不等式的证明例31．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）(1)判断并证明数列SKIPIF1<0的单调性；(2)记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．例32．（2022·天津市第九十五中学益中学校高三开学考试）已知SKIPIF1<0为等差数列，前n项和为SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，且公比大于0，SKIPIF1<0．(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的前8项和SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0．例33．（2022·山西·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：对SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？请说明理由．核心考点七：SKIPIF1<0型不等式的证明例34．（2022·广东·广州大学附属中学高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0恒成立，证明：SKIPIF1<0．例35．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0．例36．（2022·广东·红岭中学高三阶段练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0.(1)试证明数列SKIPIF1<0是等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)是否存在常数SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0是等比数列？请说明理由.(3)令SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0对一切SKIPIF1<0都成立？若存在，求出SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，请说明理由．例37．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0）.【新题速递】1．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.2．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是公差为1的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0．3．（2022·全国·高三专题练习）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如SKIPIF1<0的一阶和数列是SKIPIF1<0，设它的n阶和数列各项和为SKIPIF1<0．(1)试求SKIPIF1<0的二阶和数列各项和SKIPIF1<0与三阶和数列各项和SKIPIF1<0，并猜想SKIPIF1<0的通项公式（无需证明）；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，并证明：SKIPIF1<0．4．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）已知SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0；(3)记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．5．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知数列{SKIPIF1<0}的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(1)求数列{SKIPIF1<0}的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.证明：SKIPIF1<06．（2022·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.7．（2022·全国·高三专题练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.8．（2022·天津一中高三阶段练习）已知SKIPIF1<0为等差数列，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，且公比大于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(3)若数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.9．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)证明SKIPIF1<0为等差数列，求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求使不等式SKIPIF1<0对任意正整数SKIPIF1<0都成立的最大实数SKIPIF1<0的值；(3)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0.10．（2022·陕西·模拟预测（文））已知等比数列SKIPIF1<0为递增数列，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．11．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0