北师大版选修1-1第3章变化率与导数单元测试

(时间：100分钟，？^分：120分)、选择题(本大题共10、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)=L,则f'(x)等于( )3B.0--iB.0D.3解析：选B.因为f(x)=宝，所以f'(x)=(2.已知某质点的运动规律为s=t22.已知某质点的运动规律为s=t2+3(s的单位:m\t的单位：s),则该质点在t=3s至ijt=(3+At)s这段时间内的平均速度为(6+At)m/s(6+(6+At)m/s(6+At+-^t)m/sC.(3+At)m/sD.C.(3+At)m/sD.解析：选A.平均速度为AsAt(3+At)2+3—(32+3)-解析：选A.平均速度为AsAt(3+At)2+3—(32+3)- =(6+At)m/s.3.设f(x)为可导函数,且满足ixm0f(1)—f(1—x)- 齐 =—1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的nx切线斜率为( )2—11-2解析：选D.k=f'(1)=lixm0解析：选D.k=f'(1)=lixm0f(1—x)—f(1)=2顿f(1)—f(1—x)2x=-2.4.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能是( )f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=2(x—1)f(x)=2(x—1)2f(x)=x-1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数 f'(x),再求f'(1).TOC\o"1-5"\h\zx2 1 .....已知曲线y=4—3lnx的一条切线的斜率为—2,则切点的横坐标为( )B.21D.2B.21D.2C.1解析：选B.设切点坐标为(x0,y0),且x0>0,1 3因为y'=2x-x，所以k=；x。一；■=2 xo所以xo=2..已知y=2x3+版+cosx，则y'等于( )26x2+x3—sinx26x2+x3+sinxC.6x2+；x3+sinx

3C.6x2+；x3+sinx

3D.6x2+；x3-sinx31解析：选D.y'=(2x3)'+(x3)'+(cosx)=6x2=6x2+-x3—sinx.7.给出定义：若函数7.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称函数f(x)在f(x)在D上存在二阶导函数，记 f〃(x)=(f'(x))'.若f〃(x)V0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上兀为凸函数，以下四个函数在 0,—上不是凸函数的是( )f(x)=sinx+cosxf(x)=Inx—2xf(x)=—x3+2x—1f(x)=xex兀解析：选D.对A,f'(x)=cosx—sinx,f"(x)=—sinx—cosx<00<x<—,TOC\o"1-5"\h\z, 兀故f(x)在0,5上是凸函数；对B,f'(x)=--2,f〃(x)=-^2<00<x<^-,故f(x)在0,y上是凸函数；

x x 2 2对C,f'(x)=-3x2+2,f〃(x)=-6x<00<x<-2,故f(x)在0,~2■上是凸函数；x x xxxx 兀对D,f'(x)=e+xe,f"(x)=e+e+xe=e(2+x)>00<x<—,, 兀故f(x)在0,"2"上不是凸函数，选D..已知曲线C:y=2x；点A(0,—2)及点B(3,a),从点A观察点B,要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )A.(4,+oo) B.(—8,4)C.(10,+8) D.(—8,10)解析：选D.在曲线C:y=2x2上取一点D(x。，2x2)(x。>0),因为y=2x：所以V,=4x,所以y=2x2在D点处切线的斜率为4xc,令竺±2=4xo解得x°=i此时d(1,2),所以kAD=2-二2)x0 1—0所以直线AD的方程为y=4x-2,要实现不被曲线 C挡住，则实数av4X3—2=10,即实数a的取值范围是(一00,10)..设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x°,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为0，"4，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A.0B.02aC.02aD.0A.0B.02aC.02aD.0b-12a兀解析：选B.因为过P(x0,f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是 0，7，且a>0,P在对称轴的右侧,b 一/=Xo+2a.所以P到曲线y=忖对称轴x=-2a一/=Xo+2a.又因为f'(x0)=2ax0+bC[0,1],—b1—b所以X°C看右.定义方程f(x)=f'(x)的实数根xo叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)=2x,h(x)=lnx,(()(x)=x3(xwo)的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为( )A.a>b>c B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c解析：选B.g'(x)=2,hz(x)=-,())'(x)=3x2(xw0).解方程g(x)=g'(x),即2x=2,得x=1,x即a=1;解方程h(x)=h'(x),即Inx=-,在同一坐标系中画出函数 y=lnx,y=」的图像(图略)，可x x得Ivxve,即1vbve；解方程())(x)=4'(x),即x3=3x2(xw0),得x=3,得Ivxve,即1vbve；解方程二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上 ).已知a为实数，f(x)=(x2—4)(x—a),且f'(―1)=0,则a=.解析：f(x)=x3—ax2—4x+4a,f'(x)=3x2—2ax—4,1f'(—1)=3+2a—4=0,所以a=2.答案：2.设f(x)=ex+x,若f'(xo)=2,则在点(x0,y0)处的切线方程为.解析：f'(x)=ex+1,f'(x0)=2,所以ex0+1=2,所以x°=0,y0=e°+0=1,所以切线方程为 y—1=2(x-0),即2x-y+1=0.答案：2x—y+1=0.已知函数f(x)=sinx—xcosx,若存在xC(0,兀)，使得f'(x)>入x成立，则实数入的取值范围是.解析：f'(x)=(sinx—xcosx)'=(sinx)'—(xcosx)'=cosx—(cosx—xsinx)=xsinx>入x,因为x€(0,)),所以sinx>入，因为sinx€(0,1],所以入v1.答案：(—8,1).抛物线y=x2上到直线x+2y+4=0距离最短的点的坐标为.解析：v'=2x,设P(x。，x0)处的切线平行直线x+2y+4=0,则点P到直线x+2y+4=0的距离最1.一1 1 .......短，由抛物线y=x在点P(x。，x。)处的切线斜率为2x0,则2x0=--,解得xo=—4,y0=—,故所求点的

一1 1坐标为(—4,16).- 1 1答案：(一4,福n.对正整数n,设曲线y=x(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列^^的前n项和为.解析：由y=xn(1—x)得v'=nxn1(1-x)+xn(-1),所以f'(2)=—n•2n-1—2n.又因为切点为(2,-2n).所以切线方程为：y+2n=-(n2n1+2n)(x-2).令x=0,得an=(n+1)•2n.则数列岛的通项公式为an=2n,由等比数列前n项和公式求得其和为2n+1—2.答案：2n+1—2三、解答题(本大题共5小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ).(本小题满分10分)将石块投入平静的水面， 使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R以4m/s的波速增加，求在3s末被扰动的水面面积的增长率.解：设被扰动水面面积为 S,时间为t(t>0),所以S=兀R=兀(4t)2=16Ttt2,所以S'=(16兀t2)'=32兀t,所以当t=3时，水面面积的增长率为 96兀..(本小题满分10分)求下列函数的导数.⑴f(x)=ln(8x);3xx(2)y=xsin2cos2;x5+x/x+sinx(3)y=-J .x解：(1)f(x) =3ln2+Inx,「(x)=(3ln2>+(Inx>=1x(2)y=x3sinx2cosX-21x(2)y=x3sinx2cosX-21x3sinx,y'=2(x3sinx)=2(3x2sinx+x3cosx)=3x2sinx+2x=3x2sinx+2x3cosx.(3)yx5+JX+sinx

1 2 x3x3+x2+x2sinx3所以v=(x3)'+(x2)'+(x2sinx)'35=3x2—2x2—2x3sinx+x2cosx..(本小题满分10分)已知曲线C:y=3x4—2x3—9x2+4.(1)求曲线C在点(1,—4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由.解：(1)y'=12x3-6x2-18x,所以当x=1时，y'=-12,所以在点(1,—4)处的切线的斜率为一12.所以所求的切线方程为 y+4=—12(x—1),即y=-12x+8.(2)由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,y=3x(2)由得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,y=-12x+8,即(x+2)(3x-2)(x-1)2=0,所以x1=-2,x2=|,x3=1.3所以除切点外，曲线和切线还有交点 (一2,32)和2.,0.3.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2—(a+2)x+Inx.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)当a>l时，求证：当xC[1,e]时，f'(x)>0,其中e为自然对数的底数., , 2 . 1一..解：(1)当a=1时，f(x)=x-3x+lnx,f(x)=2x-3+-,因为f(1)=0,f(1)=-2.x所以切线方程是y=-2.(2)证明：函数f(x)=ax2—(a+2)x+Inx的定义域是(0,+00),f'(x)=2ax—(a+2)+〕,x2ax2—(a+2)x+1 (2x—1)(ax—1)ax—1^0,当a>l时，在xC[1,e]ax—1^0,20.(本小题满分1320.(本小题满分13分)设函数f(x)=1x33-|x2+bx+c,其中a>0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.⑴确定b,c的值；(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),证明：当 xRx2时，f

(xi)wf'(x2).TOC\o"1-5"\h\z解：(1)由f(x)=；x3—ax2+bx+c,得f(0)=c,f'(x)=x2—ax+b,f'(0)=b.3 2又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f'(0)=0.故b=0,c=1.(2)证明：f(x)=1x3—ax2+1,f'(x)=x2-ax,3 2由于点(t,f(t))处的切线方程为 y-f(t)=f'(t)(x—t),而点(0,2)在切线上，所以2—f(t)=「(仇—t),化简得2t3—「>+1=0,即t满足的方程为2t3—*2+1=0.3 2 3 2下面用反证法证明：假设f'(x1)=f'(x 2),由于曲线 y=f(x)在点(x1,f(x 1))及(x2,f