统计学课件 第四章 综合指标Z

第四章综合指标本章内容第一节总量指标第二节相对指标第三节平均指标第四节标志变异指标第五节是非标志本章重点前四节内容都重要本章难点

几种指标的综合运用具体要求1.理解－各种指标的含义2.掌握－相对指标、平均指标和标志变异指标的计算引子什么是综合指标所谓综合指标，就是统计指标（回顾统计指标的概念），是将调查得到的资料经过整理计算后，获得的用于说明和反映社会经济现象总体数量特征的统计指标。综合指标主要有总量指标、相对指标、平均指标和标志变异指标几种。第一节总量指标一、总量指标的含义及表现形式

1.含义：所谓总量指标又称统计绝对数或绝对指标，它是反映社会经济现象在一定时间、地点、条件下的总规模、总水平的综合指标。同时，总量指标还可以表现为总量之间的绝对差数。2.表现形式：从以上内容可以看出，总量指标的表现形式是有计量单位的绝对数，即是个有名数。

例：2003年，我国国内生产总值为116694亿元；全年对外贸易顺差255亿美元，比上年减少49亿美元；全年粮食种植面积9941万公顷，比上年减少448万公顷；年末全国总人口为129227万人；年末全部金融机构本外币各项存款余额220364亿元。2006年年末我国人口数为131448万人，国内生产总值为209407亿元，社会商品零售总额为76410亿元，进出口总额17607亿美元，年某国家外汇储备10663亿美元。年末全国就业人员76400万人。3、总量指标由总体各单位资料汇总得到。4、只能对有限总体计算总量指标。总量指标的数值随统计范围的大小而发生增减变动。二、总量指标的作用总量的作用：它是认识事物的起点；它是决策和管理的依据；它是其他指标的计算基础；

总量是最明显的数量特征，在任何情况下都是首先为人们所感受和认识的数量。中国：960万平方公里国土13亿人口山地占国土面积的33%男性占人口比重的51%总量的作用：它是认识事物的起点；它是决策和管理的依据；它是其他指标的计算基础；

总量是最基本的国情国力指标总量的作用：它是认识事物的起点；它是决策和管理的依据；它是其他指标的计算基础；

总量指标是基本数据。

总量相比得到相对指标；

总量相除得到平均指标。三、总量指标的种类根据不同的标准，可以对总量指标进行以下几种划分：

(一)按其反映总体内容的不同：分为总体单位总量和总体标志总量。前者表示的是所调查的总体内所包含的总体单位总数,即有几个总体单位；后者指的是总体各单位某种数量标志值的总和在一个特定的总体内，只存在一个单位总量，但可能同时并存多个标志总量，构成一个总量指标体系。总体单位总量和总体标志总量的地位和性质并不是固定不变的,二者随研究目的不同而变化。

例：

某地区工业企业情况调查表厂别工人数（人）年产值（万元）甲厂1200400乙厂18001000丙厂1000400丁厂1000200合计50002000

当研究企业平均规模时，那么企业就为总体单位，企业总数为单位总量，各企业工人总数为标志总量。

当研究该地区职工劳动效益时，那么工人就为总体单位，各企业工人总数为单位总量，各企业的总产值成为标志总量。工人总数这个指标的地位已经改变了。总体单位总量总体标志总量总体单位总量总体标志总量(二)按其反映时间状况的不同：分为时期指标和时点指标。

1.时期指标（流量指标）：是反映某种社会经济现象在一段时间发展变化结果的总量指标。(参看前例)

其具体特点如下：（1）指标前一般都带有“某年”“某月”“某天”等词。（2）指标的数值具有连续计数的特点。（3）指标的各期数值可以直接加总。（4）指标的数值的大小与时期长短成正比。（5）在应用时期指标时，应明确所属的时期范围。

2.时点指标（存量指标）：是反映社会经济现象在某一时刻(瞬间)状况上的总量指标。其具体特点如下：（1）指标前一般都带有“某年末”“某月末”等词。（2）指标的数值只能间断计数。（3）指标的数值一般不能直接加总。（4）指标的数值的大小与时期长短无直接关系。（5）在应用时点指标时，应注意它的时刻特性。时期指标时点指标时期指标可以相加，以反映更长时期的总量，时点指标各指标值不能相加，或相加没有实际意义；时期指标数值大小和时期长短有直接关系，如年GDP肯定要大于月GDP，时点指标指标数值与时间间隔长短没有直接关系，如年末职工人数不一定大于某一个月的职工人数；时期指标是通过连续计数的方式取得的，以反映社会现象在一定时期内的发展总量，时点指标是通过间断取值的方法取得的，以反映社会现象在某一瞬间的状态。(三)按其所采用计量单位的不同：分为实物指标、价值指标和劳动量指标。1.实物指标：是以实物单位计量的统计指标。按实物单位计算的指标最大的特点是它直接反映产品的使用价值或现象的具体内容，能具体表明事物的规模和水平，是计算价值指标的基础。但指标的综合性能较差，无法进行汇总。

计量单位实物单位价值单位劳动单位标准实物单位度量衡单位自然单位复合单位和多重单位

计量单位：计量中所用到的标准已知量。

实物单位：根据事物的自然属性和特点而采用的计量单位。

自然单位：按照被研究对象的自然属性来度量其数量的计量单位。

度量衡单位：按照统一的度量衡制度的规定来度量客观事物的一种计量单位。

标准实物单位：是按照统一折算的标准来计量被研究现象数量的一种计量单位。

复合单位和多重单位：两种或两种以上的单位结合使用的单位。

价值单位：用货币来度量社会财富和劳动成果的计量单位。

劳动单位：是以劳动时间表示的计量单位。公顷人辆单一单位复合单位：人千米吨公里等自然单位：个、台等度量衡单位：吨等＝拖拉机混合产量＝4台拖拉机标准实物产量＝5台STAT表4-1原煤产量及标准实物量原煤品种产量/万吨每吨原煤折合为标准燃料的折算系数标准实物量/万吨(1)(2)(3)=(1)*(2)A800.43344B4201.28537.6C4301.43614.9D580.8549.3E670.7147.57F760.6650.16合计11311333.93

2.价值指标：是以货币单位计量的统计指标。价值单位计量的最大优点是它具有最广泛的综合性和概括能力，能使不能加总的使用价值相加，可以表示现象的总规模和总水平，但它脱离了物质内容，有时不能准确的反映实际情况。在实际工作中常常把实物指标和价值指标结合起来使用。3.劳动量指标：劳动量指标是以劳动单位即工日、工时等劳动时间计量的统计指标。绝对数还有这么多区分啊！四、计算总量指标时需注意的问题

1.必须注意现象的同类性，不同种类的实物指标不能加总。

2.必须明确每项指标的统计含义。

3.必须做到计量单位的一致。计量单位不一致不能加总，必须换算成统一的单位时才能加总。第二节相对指标一、相对指标的概念、表现形式及作用

1.概念：相对指标就是应用对比的方法，来反映社会经济现象中某些相关事物间数量联系程度的综合指标，又称统计相对数。基本公式：数值A/数值B特点：把两个对比的具体数值概括化或抽象化，使人们对事物有一个清晰的概念。例：2.表现形式：相对指标的表现形式有两种，一种是有名数，另一种是无名数。有名数：是将对比的分子指标和分母指标的计量单位结合使用，以表明事物的密度、普遍程度和强度等。主要用于下面将讲到的强度相对指标。

无名数：是一种抽象化的数值，不带计量单位，一般分为系数或倍数、成数（十分数的习惯叫法）、百分数、千分数等。它们分别是将对比的基数抽象化为1、10、100、1000时而得到的相对指标。实际应用时应根据所比较的数值的具体情况和使用习惯来定。

3.作用：

（1）可以使人们对现象之间存在的内在联系有较为深刻的认识，能够综合地表明有关现象之间的联系程度，反映现象的比率、构成、速度、程度、密度等。

（2）能使一些不能直接对比的事物找到比较的基础。（3）相对指标是国家进行宏观调控和考核企业经济活动效果的重要工具。总人数30人男生人数20人女生人数10人男生比重为2/3女生比重为1/3男女比例为2:1总量指标非总量指标相对指标甲企业乙企业利润总额资金占用资金利润率500万元5000万元3000万元40000万元16.7%12.5%当比较两厂经济效益时不可比不可比可比身高的差异水平：cm体重的差异水平：kg用变异系数可以相互比较二、相对指标的种类及计算

根据研究的目的和任务不同，对比的基础不同，相对指标一般可分为结构相对指标、比例相对指标、比较相对指标、强度相对指标和计划完成程度相对指标等。下面将分别对它们的基本含义、计算方法、作用和相互之间的比较进行详述。掌握它们的计算和作用。（一）结构相对指标

1.含义：结构相对指标就是利用统计分组法，将总体区分为不同性质的各部分，以部分数值与总体全部数值对比而得出比重或比率，以反映总体内部构成情况的综合指标。2.计算公式：3.注意要点：（1）结构相对指标一般用百分数表示。（2）结构相对指标的分子分母可以是总体单位数，也可以是总体标志数值。（3）各部分所占比重之和等于100％或1。（4）分子分母属同一总体且不可逆。4.结构相对指标的作用：

（1）可以反映总体内部的结构情况，从而认清事物和现象的性质和特征。（2）通过不同时期相对数的变动，可以看出事物的变化过程及其发展趋势。（3）能反映对人力、物力、财力的利用程度及生产经营效果的好坏。哦，恩格尔系数就是结构相对数。（二）比例相对指标

1.含义：比例相对指标是同一总体内不同组成部分指标数值对比的相对指标。它反映的总体内部的比例关系。

2.计算公式：2006年末，全国总人口131448万人，男性67728万人，女性63720万人，男性和女性比例106.29%。3.注意要点：（1）比例相对指标可以用百分数表示，也可以用一比几或几比几的形式表示。（2）分子分母可以是总体单位数，也可以是总体标志数值。（3）分子分母属同一总体且可逆。

4.作用：

比例相对指标与结构相对数指标作用基本相同，从形式上看，二者只是对比方式不同，侧重点各异。利用比例相对指标能帮助我们认识客观事物按比例发展的状况，判断比例关系正常与否以及分析它对社会经济发展的影响。哦，男女性别比是比例相对数。（三）比较相对指标1.含义：

比较相对指标是同类现象、在同一时间不同空间条件下所进行的静态对比。表明同类现象同一时间各单位发展的不平衡程度。2.计算公式：比较相对指标=

3.注意要点：（1）比较相对指标一般用百分数或倍数表示。（2）分子和分母的位置一般可以互换。（3）用来对比的两个指标必须是同性质的，是可以对比的。（4）分子和分母可以是绝对数对比，也可以是相对数或平均数对比，一般用相对数和平均数对比。4.作用主要是对事物发展在不同地区、不同部门、不同单位或不同个人之间进行比较分析，以反映现象之间的差别程度。（四）强度相对指标1.含义：强度相对指标是两个性质不同但有一定联系的总量指标之间的对比，用来表明某一现象在另一现象中发展的强度、密度和普遍程度。2.计算公式：例：3.注意要点：（1）强度相对指标不是同类现象指标的对比。只是它和其他相对指标的根本不同点。但比较的两个指标必须有一定的联系，没有联系的两个指标之间对比是毫无意义的。（2）一般用复名数表示，少数用百分数或千分数表示。（3）某些指标分子和分母的位置可以互换。（4）正、逆指标的区分。（5）强度相对指标具有“平均”的含义，但它不是“平均数”。（具体区别在第三节讲述）

4.作用

（1）说明一个国家、地区、部门的经济实力或为社会服务的能力。（2）反映和考核社会经济效益。（3）为编制计划和长远规划提供参考依据。例：下列数值和全国总人口数的比率。2007年末全国各类收养性社会福利单位床位205万张，收养各类人员163万人。城镇建立各种社区服务设施12.8万个，综合性社区服务中心10299个。全年销售社会福利彩票632亿元，筹集社会福利资金217亿元，直接接收社会捐赠款42亿元。（五）动态相对指标1.含义：动态相对指标是将不同时期的同类现象进行对比，表明同类事物在不同时间状态下的对比关系，说明现象在时间上的运动、发展和变化。2.计算公式：3.注意要点：（1）动态相对指标一般用百分数表示。（2）基期和报告期的含义和基期的确定。（3）有发展速度可以得出增长速度。

4.作用：

动态相对指标应用十分广泛，具体内容将在后面“动态数列”中讲述。（六）计划完成程度相对指标1.含义：计划完成程度相对指标是用来检查、监督计划执行情况的相对指标。它以现象在某一段时间内的实际完成数与计划数对比，来观察计划完成程度。

2.基本计算公式：

例：某地区2006年计划造林800亩，实际造林840亩，则计划完成相对指标=计算结果表明，造林计划超额5%完成。例：某企业年初计划规定产品单位成本为1500元，本年内实际单位成本达到1550元，则：产品成本计划完成相对指标=

计算结果表明,该企业本年度产品单位成本计划没有完成,实际比计划多消耗3.3%。3.注意要点：（1）计划完成程度指标一般以百分数表示。分子分母的位置不可互换。（2）在评价计划任务是否完成时，不能一概以大于100%才是超额完成计划，要根据指标的性质来确定，指标有正指标和逆指标之分，正指标即数值越大越好，对于正指标来说，计划完成相对指标以大于100%为超额完成计划；逆指标即数值越小越好，对于逆指标来说，以小于100%为超额完成计划。（3）计划指标可以是总量指标、相对指标或平均指标，不论计划指标是哪一种形式，实际完成指标在时间、空间、口径等方面必须与计划指标相一致，这样才有可比性。分子分母的指标性质及计算等方面应一致。（4）如果计划任务指标是以提高或降低的幅度来制定，那么，在计算计划完成相对指标时，应该用实际完成的百分数与计划规定应达到的百分数进行对比，不能直接用提高率或降低率对比。

根据计划数表现形式的不同，具体计算时较复杂。例：某企业劳动生产率计划本月比上月提高10%，而实际提高8%，则劳动生产率计划完成相对指标

计算结果表明，该企业劳动生产率计划没有完成，实际比计划少完成1.8%。例：某企业单位产品原材料消耗计划本月比上月降低6%，而实际降低9%，则：单位产品原材料消耗计划完成相对指标

表明该企业单位产品原材料消耗计划超额3.2%完成。分子分母位置不可互换；正指标、逆指标；分子分母应有可比性；用提高或降低率来制定计划任务指标时，要注意计算方式。4、关于中长期计划执行情况的检查所谓中长期计划，是指五年或更长时间的计划。由于中长期计划的制定方法有两种，即水平法和累计法，所以检查其执行情况的方法也有所不同。1）水平法水平法即只规定计划期末年应达到的水平。在检查其执行情况时，要用计划期末年实际达到的水平与计划规定的水平对比。计划完成相对指标=例：某市在第九个五年计划中规定，粮食总产量到2000年要达到150万吨，而2000年实际产量达到154万吨，则粮食总产量计划完成程度（%）=

计算结果表明，粮食总产量“九五”计划超额2.7%完成。对于中长期计划有可能提前完成，可以根据实际完成情况计算提前完成的时间。例：在上例中，若该市在1999年粮食总产量就达到151万吨，这说明1999年就完成了五年计划，完成程度为：计算结果表明，该市在1999年就超额0.7%完成五年计划，提前一年时间完成。注：以上考核方法是对农业而言的，农业生产周期长，因此一般以一个生产周期即以自然年度计算。但对于工业、商业，由于生产周期短，不需要按自然年度来计算，在整个计划期中，只要有连续12个月实际完成水平达到了计划任务数，即为完成了长期计划。例：某工业企业在第十个五年计划中规定：末年产值应达到8000万元，各年实际完成产值如下：某工厂“十五”期间各年实际完成产值

单位：万元月份年份123456789101112合计2001400020025600200362002004460470500540550580600620610650680700696020057007207207407407307407507607607808008940

（2）累计法：即规定整个计划期内累计完成量应达到的水平。计算公式：计划完成相对指标=

提前完成计划时间：时点前移。假定：该地区至2000年6月30日止实际完成投资额正好为1296亿元

提前半年完成五年计划。

[例]某地区五年计划规定，1996—2000年的五年固定资产投资总额合计为1296亿元，实际完成1450亿元，则计划完成程度=1450/1296=111.88%

例：某镇在第十个五年计划期间计划基本建设投资额共计为10000万元，各年实际投资额如下：某镇“十五”期间各年基本建设投资额

单位：万元年份20012002200320042005一季度二季度三季度四季度投资额1900215022502300400600500400从表中资料可以计算出从2001年至2005年第三季度累计投资10100万元，完成计划101%，超额1%完成，提前一个季度完成五年计划。

5.计划执行进度的测量：如果实际完成数所包含的时期只是计划期的一部分，这种情况被称为计划执行进度．它不是在计划期末，而是在计划执行的过程中来进行计算的。一般适用于检查计划的执行进度和计划执行的均衡性。

公式：三、相对指标之间的比较（一）结构相对指标和比例相对指标的比较（二）比例相对指标和比较相对指标的比较（三）强度相对指标与“平均数指标”比较四、计算和正确运用相对指标的原则1.注意两个对比指标的可比性。2.相对指标和总量指标相结合的原则。3.各种相对指标结合运用的原则。指标之间的区别1、结构相对指标和比例相对指标结构相对指标是以总体总量为比较标准，计算各组总量占总体总量的比重，来反映总体内部组成情况的综合指标。比例相对指标是总体不同部分数量对比的相对数，用以分析总体范围内各个局部之间比例关系和协调平衡状况。2、比例相对指标和比较相对指标区别：⑴子项与母项的内容不同，比例相对指标是同一总体内，不同组成部分的指标数值的对比；比较相对指标是同一时间同类指标在空间上的对比。⑵说明问题不同，比例相对指标说明总体内部的比例关系；比较相对指标说明现象发展的不均衡程度。比较相对指标是不同单位的同类指标对比而确定的相对数，用以说明同类现象在同一时期内各单位发展的不平衡程度。3、强度相对指标与其它各种相对指标主要区别是：⑴其它各种相对指标都属于同一现象的数量进行对比，而强度相对指标是两种性质不同的但又有联系的指标之间的对比。⑵计算结果表现形式不同。其它相对指标用无名数表示，而强度相对指标主要是用有名数表示。⑶当计算强度相对指标的分子、分母的位置互换后，会产生正指标和逆指标，而其它相对指标不存在正、逆指标之分。

[课堂练习题1]

某厂计划今年的消耗比上年降5%，产值增8%。实际完成情况是：消耗降6%，产值升7%，试分别计算其计划完成程度。

分析：消耗计划完成程度=1－6％1－5％计算：产值计划完成程度=计算：1+7％1+8％计算公式：、[课堂练习二]某油田按五年计划规定最后一年的石油产量应达到50万吨的水平，实际执行情况如下：

提前完成计划时间的计算：只要有连续一年的实际完成数达到了计划期末年规定的水平，就视作计划完成。余下的时间即为提前完成长期计划的时间。第五年第1季至第四年第2季：50。

提前三个季度完成五年计划。计划完成程度=第三节平均指标一、平均指标概念、特点和作用

1.概念：平均指标又称统计平均数，用以反映社会经济现象总体各单位某一数量标志在一定时间、地点条件下所达到的一般水平的综合指标。

2.特点：（1）数量差异抽象化；（2）反映总体变量值的集中趋势；（3）掩盖了现象的内部差异。（4）只能就同类现象计算。

3.作用：评价、比较、推算、分析4、算术平均数和强度相对指标的区别：（１）指标的含义不同。强度相对指标说明的是某一现象在另一现象中发展的强度、密度或普遍程度；而平均指标说明的是现象发展的一般水平。（２）计算方法不同。强度相对指标与平均指标，虽然都是两个有联系的总量指标之比，但是，强度相对指标分子与分母的联系，只表现为一种经济关系，而平均指标是在一个同质总体内标志总量和单位总量的比例关系。分子与分母的联系是一种内在的联系，即分子是分母（总体单位）所具有的标志，对比结果是对总体各单位某一标志值的平均。怎么计算？二、平均指标的种类及计算

※平均指标的分类怎么计算？※平均指标的计算（一）算术平均数

1.算术平均数的概念：算术平均数是总体标志总量除以总体单位数的结果，它是计算社会经济现象平均指标最常用方法和基本形式。

其基本计算公式为：

例：某小组6位同学的数学考试成绩分别为：70分、78分、82分、85分、90分、98分，则该组6位同学的平均成绩为：（分）

注意要点：

（1）计算公式中，标志总量和总体单位数必须同属于一个总体。（2）在具备总体标志总量及总体单位总数时，可直接利用上述公式计算平均数。（3）在实际当中，上述公式中的两个数值往往不能直接掌握，而必须要根据所掌握的资料来计算，根据掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可将算术平均数分为简单算术平均数和加权算术平均数。

2.简单算术平均数如果掌握的资料是总体各单位的标志值，而且没有经过分组，则可先将各单位的标志值相加得出标志总量，然后再除以总体单位数，通过此种方法计算得到的平均数称为简单算术平均数。

『例』某生产小组有5名工人，生产某种零件，日产量（件）分别为12、13、14、15、14，则平均每个工人日产零件件数为：将上式用符号表示即可得到简单算术平均数的计算公式如下：

式中：简单算术平均数的计算公式:3.加权算术平均数

如果掌握的资料是经过分组整理编成了单项数列或组距数列，并且每组次数不同时，就应采用加权算术平均数的方法计算算术平均数。

（1）单项式数列的加权算术平均数基本的具体方法是：将各组标志值分别乘以相应的各组单位数（绝对权数）求出各组标志总量，并加总得到总体标志总量，同时把各组单位数相加求出总体单位总数，然后用总体标志总量除以总体单位总数，即得算术平均数。

日平均产量＝

＝/=2654/40=66.35件/人

上例中若以x代表各组标志值，f代表各组单位数（绝对权数），则可得加权算术平均数的公式的如下一种表现形式：按日产量分组（件）xi工人数（人）fi日产量×工人数xifi50（x1）60（x2）65（x3）72（x4）85（x5）4（f1）3（f2）22（f3）7（f4）4（f5）200（x1f1）180（x2f2）1430（x3f3）504（x4f4）340（x5f5）合计＝40＝265450×4＋60×3＋65×22＋72×7＋85×44＋3＋22＋7＋4

按日产量分组（件）xi工人数（人）fi各组工人的比重50606572854322740.10.0750.550.1750.154.535.7512.68.5合计40166.35下面将上例简单变换，看看相对权数的情况：

日平均产量=66.35件/人由此例可得到加权算术平均数的另一种表现形式：＝4×0.1＋3×0.075＋22×0.55＋7×0.175＋4×0.1显然：※由以上公式理解权数：（1）权数：对算术平均数值高低具有权衡轻重作用的数次数（f）或频率(f/f)。（2）权数的种类A、绝对权数f；B、相对权数f/f。（3）同一总体资料，用这两种权数计算的加权算术平均数相同（可能会有微小误差，但是是计算误差）。

另外，当变量数列中各组的次数相等，即各组的权数相等时，采用简单算术平均数和加权算术平均数计算的结果一样。从公式推导看：结论：权数相等用简单式；权数不等用加权式。（2）组距式数列的加权算术平均数组距式数列加权算术平均数的计算方法与上述单项式数列的计算方法基本相同，所不同的只是以各组的组中值(组中值的计算)作为各组的代表值，然后加权计算。如此计算有一定的假定性，只能是近似值。参看课本69页例4-6。

例：某镇所属18个村的小麦平均亩产量资料统计如下：某镇18个村小麦平均亩产量分组资料平均亩产（公斤）村数种植面积（亩）200以下200—250250—300300—350350—400400以上1345324000100001500022000140009000合计1874000根据表中统计资料计算该镇18个村小麦总体平均亩产量。分析：要计算18个村的总体平均亩产量应该用18个村的小麦总产量除以18个村总种植面积，因此，权数应该是种植面积，而不是村数。

某镇18个村小麦平均亩产量计算表

平均亩产（公斤）村数面积（亩）f组中值（公斤）各组总产量（公斤）200以下200—250250—300300—350350—400400以上134532400010000150002200014000900017522527532537542570000022500004125000715000052500003825000合计1874000——23300000所以，18个村小麦平均亩产量（公斤）4.算术平均数的数学性质各变量值与算术平均数的离差综合为零。各变量值与算术平均数的离差平方和最小。两个独立的同性质变量代数和的平均数等于各变量平均数的代数和。两个独立的同性质变量乘积的平均数等于各变量平均数的乘积。4.算术平均数的几点说明（1）应用广泛。（2）容易受极端值影响，特别是极大值。（3）由组距数列计算算术平均数有一定的假定性，是个近似值，特别是开口组的组距假定，近似性更大。复习：

[引例]某种蔬菜价格：早上0.4元/斤（x1），中午0.25元/斤（x2），晚上0.20元/斤（x3），某人早、中、晚各买1斤（f），求平均价格。[公式]

平均价格=总金额/总数量

分母资料已知

[思考]在上例中，早中晚价格不变，某人早、中、晚各买1元，怎样计算平均价格？[公式]平均价格=总金额/总数量

分子资料已知简单算术平均数简单调和平均数（二）调和平均数1.调和平均数

调和平均数又称“倒数平均数”，从形式上看它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数，实际上它是算术平均数的变形。根据掌握资料的不同和计算的复杂程度不同，调和平均数也分为简单调和平均数和加权调和平均数。

1）简单调和平均数计算公式：式中：H:调和平均数xi:各标志值n:标志值项数å=+×××++=+×××++==niinnxnxxxnnxxxH1212111111111？这种计算方式还是不是总体标志总量除以总体单位总量？2）加权调和平均数[思考]上例中蔬菜价格不变，若某人早、中、晚分别购买的金额是1元（m1）、2元（m2）、3元（m3），求平均价格。[原型公式]

平均价格=总金额/总数量

分子资料已知

以上为加权调和平均数的算法式中：HH:加权调和平均数xi:各标志值n:标志值项数mi:为特定的权数，它不是各组标志值出现的次数，而是各组标志总量。※得加权调和平均数计算公式：练习1：下表为我国某年独立核算工业企业按规模分组的分布数列，试计算我国全部工业企业的平均资金利税率。按企业规模分组企业数（个）平均资金利税率（%）利税总额（亿元）大型企业425713.721119.34中型企业1068711.25423.47小型企业40392510.03690.48合计4188692233.292、调和平均数和算术平均数联系区别每斤价格（x）元购买数量（f）斤购买金额（m=xf）元早：0.40中：0.25晚：0.202.5（f1）8.0（f2）15（f3）1（m1）2（m2）3（m3）合计＝25.5＝6

如果已知购买数量则应用加权算术平均数计算；如果已知购买金额则应用加权调和平均数计算。二者计算出来的平均价格是一致的。从而可以看出调和平均数是算数平均数的变形，只是所掌握的资料不同而采取不同的计算形式来计算平均指标。已知令m=xf，则f=m/x,将其代入1式，得：

另外：

当m1=m2==mn时，简单调和平均数与加权调和平均数计算的结果是相等的。令m1=m2==mn＝A3.调和平均数应用上的特点1.应用范围小。2.若标志值中有零值，则不能计算。3.也易受极端值影响，特别是极小数值。4.若是组距数列，同样存在假定性和近似性。练习2：某集团15家企业的利润计划完成程度和实际利润额如下表所示：利润计划完成程度（%）企业数（个）实际利润额（万元）80-90242590-10051520100-1108840合计152785引例：某机械厂有毛坯车间、粗加工车间、精加工车间、装配车间四个流水连续作业的车间，某月份第一车间制品合格率为95%，第二车间合格率为92%，第三车间合格率为90%，第四车间合格率为85%，计算四个车间平均产品合格率。因为产品总合格率为95%×92%×90%×85%，所以计算平均合格率应该开方求其平均数。平均合格率（三）几何平均数1.几何平均数的概念：几何平均数又称“对数平均数”，它是若干项变量值连乘积开其项数次方得算术根。

主要适用于当各项变量值的连乘积等于总比率或总速度时计算平均比率或平均速度。几何平均数可分为简单几何平均数和加权几何平均数。一般常用的是简单几何平均数，在此主要了解简单几何平均数的公式即可。2.简单几何平均数的计算公式：例：某工厂生产羊毛衫的产量，及其逐年发展速度资料如下所表示，则可以用几何平均数平计算年平均发展速度。年份产量（万件）逐年的发展速度X199419951996199719981999381480449505538585—1.0761.0951.1241.0651.087由下面的计算说明该厂5年间羊毛衫产量平均发展速度为109%,即每年平均递增9%.4、加权几何平均数:注意:(1)只有当标志值表现为各个标志值的连乘积时,才适合采用几何平均数方法来计算平均标志值.(2)如果数列中有一个标志值等于零或负值,无法计算几何平均数.例：假如银行存款是按复利计算，若定期存款25年的年利率分别是：分析：要计算平均年利率，首先要计算平均年本利率，用平均年本利率减1（或100%）即可得到平均年利率。年份第1年第2—5年第6—13年第14—23年第24—25年年利率（%）2.12.53.84.66.9(五）、众数：指总体单位中，标志值出现次数最多的那个数值。如下图：

1单项式数列的众数确定：统计分组以后找出出现次数最多的标志值即可。某村农民按家庭儿童人数分组家庭按儿童数分组（个/户）家庭数（户）0123420601459045合计360在这个例子中，众数就是两个儿童。身高人数（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人数（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741总计83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174STAT单项式数列和组距式数列的众数计算方法不同。83名女生的身高资料

2组距式数列众数的确定：先确定众数所在的组（标志值出现最多的组），然后计算以求得近似的众数值。

式中符号含义：（A）L为Mo组的下限，U为上限；（B）i=U–L即众数组的组距；（C）1=fm–fm-1即众数组次数与前一组次数之差；2=fm–

fm+1即众数组次数与后一组次数之差。例：分别用两个公式计算得：

3.众数的应用特点：

（1）同中位数一样是位置平均数，不受极端值和开口组数列得影响。（2）众数不易确定，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言。（四）中位数1.中位数的概念：将总体中某一数量标志的各个数值按大小顺序排列，处于中间位置的标志值就是中位数（用Me表示）。

[例]某科室9人年龄：24,25,25,26,26,27,28,29,552.中位数的计算方法：

（1）由未分组资料确定中位数（较简单）※首先对标志值从小到大排序；※然后用下列公式确定中位数的位置；中位数的计算当n为奇数当n为偶数(4.3)设一组数据为，按从小到大排序后为,则中位数为

※注意：如：某班组９个工人生产的某种零件，按日产量顺序排列如下：16，17，18，20，20，22，23，23，25则中位数是第5项对应的数据，为20件。若假定第10个工人的日产量为26件，则总项数成为偶数，中位数为（20+22）/2=21（件）

（2）由单项数列确定中位数（较简单）

①按计算中位数所在的位置，该位置对应的标志值即为中位数。②计算各组的累计次数（向上累计或向下累计）③根据中位数位置找出中位数

单项式分组：首先确定中位数所在的组，即累计频数达到f+1/2，然后确定中位数的具体值。f/2=360/2=180和f/2+1=360/2+1=181中位数的位置是在第180和181家庭之间。从第一组家庭户数开始向后累加至180~181户，即中位数是两个儿童。（3）由组距数列确定中位数（比较复杂）

①用公式求出中位数所在组的位置。②用比例插值法确定中位数的值

以下两个公式是重点：※下限公式（向上累计时用）※上限公式（向下累计时用）两个公式中：

L、U－分别表示中位数所在组的下限和上限fm－表示中位数所在组的次数Sm-1－表示中位数所在组以下的累计次数Sm＋1－表示中位数所在组以上的累计次数∑f－表示总次数i－表示中位数所在组的组距

3.中位数的应用特点（1）是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。

（2）不能进行代数运算。

3）中位数主要用于测度顺序数据的集中趋势.中位数当然也适用于数值型数据，但不适用于分类数据.

（五）位置平均数与算术平均数的关系XfXfXf(对称分布)正偏态分布（右）负偏态分布(左）在偏斜不大时1212例：根据某城市住户家庭月收入的抽样调查资料计算得到众数为1040元，中位数为1128.57元，用皮尔逊公司计算算数平均数？并分析其分布属于什么形态？练习：100页23题。(五)众数、中位数和均值的关系和应用1.众数是一组数据出现次数最多的数值，不受极端值的影响，但可能没有众数，也可能有两个或两个以上众数。众数主要适用于分类数据的集中趋势测度值.2.中位值是一组数据处于中间位置上的数值，不受极端值的影响，主要适用于顺序数据的集中趋势测度值.3.均值具有优良的统计性质，是实际应用最广泛的集中趋势测度值.主要适用于数值型数据的集中趋势测度值．表4-4数据的类型和所适用的集中趋势测度值数据类型分类数据顺序数据数值型数据*众数*中位数*均值－四分位数调和平均数－众数几何平均数－－中位数－－四分位数－－众数适用的测度值*为该数据类型最适用的测度值第四节标志变异指标一、标志变异指标的含义和作用

（一）标志变异指标的含义：

标志变异指标又称标志变动度，它是一系列用来综合反映总体各个单位标志值的差异程度或离散程度的综合指标。常常与平均指标结合使用，综合反映事物发展在数量方面的共性和特殊性。

（二）标志变异指标的作用：1.标志变异指标是衡量平均数代表性的尺度。2.标志变异指标是反映社会经济活动过程均衡性和稳定性的一个重要指标。

二、标志变异指标的种类及计算

标志变异指标包括以下几种：全距、异众比率、平均差、标准差和标志变异系数。

（一）全距全距又称极差，是总体各单位标志中的最大值和最小值之差。

计算公式:全距=标志值的最大值－标志值的最小值（R）(Xmax)(Xmin)

其优点是：计算方便，意义明确，是测定标志变动程度的简便方法。

其缺点是：全距指标只表示总体变动的范围，且数值的大小受极端值的影响。因此，是最一般的研究标志的变动情况的指标。（二）异众比率(variationratio)异众比率是非众数组的频数所占的比例，即异众比率用于衡量众数的代表程度：(1)异众比率大，说明众数的代表性差(2)异众比率小，说明众数的代表性好(4.16)例根据下表数据，计算异众比率.表不同品牌饮料的频数分布饮料品牌频数频率(%)可口可乐1530旭日升冰茶1122百事可乐918汇源果汁612露露918合计50100解：根据公式，得异众比率在所调查的50人当中，购买其他品牌饮料的人数占70%.由于异众比率比较大，因此用“可口可乐”代表消费者购买饮料品牌的状况，其代表性不是很好.（二）平均差

平均差是各单位标志值对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，反映的是各标志值对其平均数的平均差异程度。其计算方法有简单和加权两种形式。

1.简单平均差的计算：它是在资料未分组的情况下采用的计算方法。计算公式如下：Md==2.加权平均差的计算：它是在资料已分组的情况下采用的计算方法。计算公式如下：Md==

3.平均差的特点：

（1）平均差是根据全部变量计算出来的，受极端值影响较小，对整个变量值的离散趋势有较充分的代表性。（2）平均差计算采用取离差绝对值的方法来消除正负离差，因而不适合于代数方法的推算，使其应用受到限制。

例：例：计算下表电脑销售量的平