山西省朔州市中牌中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

山西省朔州市中牌中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，则A.

B.

C.

D.参考答案：C2.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则△ABC面积的最大值为（）A. B.2 C. D.参考答案：A【分析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理及均值不等式求出的最大值，从而求得三角形面积的最大值．【详解】∵，由正弦定理得，即；由余弦定理得，结合，得；又，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，∴，即面积的最大值为．故选：A．【点睛】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，属于中档题.在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.又二元等式条件下的二元函数的最值问题可考虑用基本不等式来求.3.已知数列为等差数列，且，则的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略4.已知函数是上的偶函数，当时，则的解集是（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：C由函数为偶函数可得，∵时，设，则，，，当时，有，故选．点睛：本题主要考查了偶函数的定义及利用偶函数的性质求解函数的解析式，不等式的解法，属于知识的综合应用；根据函数的奇偶性可求出函数在整个定义域上的解析式，解分段函数的不等式可得最后结果．

5.若实数x，y满足条件，则目标函数z＝2x－y的最小值（

）A. B.－1 C.0 D.2参考答案：A【分析】线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。【详解】可行域如图所示，当目标函数平移到A点时z取最小值，故选A【点睛】线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z的最值。6.已知A(2,－3)，B(－3,－2)，直线l过定点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是().

A.

B.

C.或

D.或参考答案：D7.已知数列满足，则=（

）

A、

B、0

C、

D、参考答案：A略8.若函数，的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，那么这个封闭图形的面积是（

）

A．4

B．8

C．

D．

参考答案：D略9.棱长为3的正四面体的外接球的半径为（）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.（5分）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（） A． 75° B． 60° C． 45° D． 30°参考答案：C考点： 棱锥的结构特征；与二面角有关的立体几何综合题．专题： 数形结合．分析： 先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．解答： 解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选C．点评： 本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数学思想．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.求“方程的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，方程的解集为

．参考答案：（*）构造函数，易得函数在定义域R上单调递增，则（*）式方程可写为12.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则=

▲

．参考答案：13.若关于x的不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，则实数a的取值范围是

．参考答案：{a|a≤﹣6，或a≥2}【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3的解集不是空集，即b2﹣4ac≥0即可，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣a≤﹣3，∴x2﹣ax﹣a+3≤0；∴a2﹣4（﹣a+3）≥0，即a2+4a﹣12≥0；解得a≤﹣6，或a≥2，此时原不等式的解集不是空集，∴a的取值范围是{a|a≤﹣6，或a≥2}；故答案为：{a|a≤﹣6，或a≥2}．14.函数的定义域为

．参考答案：15.已知过点（2，1）直线与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△ABC的最小面积为_________．参考答案：416.已知偶函数f(x)在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是

．参考答案：（﹣1，3）17.在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，使邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为_________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(I)阅读理解：①

对于任意正实数，只有当时，等号成立．②

结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值．(II)结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）①

若，只有当__________时，有最小值__________．②

若，只有当__________时，有最小值__________．(III)探索应用：学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值。参考答案：解(II)（1）

1

，2

（2）3，10 (III)设游泳池的长为xm，则游泳池的宽为m,又设占地面积为ym2，依题意，得

整理y=424＋4(x＋)≥424＋224=648

当且仅当x=即x=28时取“=”.此时=14所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648m2。略19.（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（2）设过点P的直线ll与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（3）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：考点： 直线与圆的位置关系．专题： 计算题；直线与圆．分析： （1）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（2）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（3）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答： （1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由=1，解得k=﹣．所以直线方程为y=﹣（x﹣2），即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（2）由于|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（3）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率kPC=﹣2，而，所以a=．由于?（﹣∞，0），故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评： 此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．20.已知函数(1)当m=0时，求在区间上的取值范围；(2)当时，，求的值。参考答案：（1）当m=0时，

，由已知，得从而得：的值域为（2）化简得：当，得：，，代入上式，m=-2.略21.(本小题满分10分)已知直线l的倾斜角为135?，且经过点P(1,1)．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求点A(3,4)关于直线l的对称点A?的坐标．参考答案：（Ⅰ）∵k＝tan135?＝－1，……………2分∴l：y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0；………