山西省忻州市鸿伟中学2023年高三数学文期末试卷含解析

山西省忻州市鸿伟中学2023年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义一种运算，若函数，是方程的解，且，则的值

A．恒为正值

B．等于

C．恒为负值

D．不大于参考答案：A2.在中,团,,,,为的三等分点,则·=（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B3.设是两个非零向量，则“”是“夹角为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知在各棱长都为2的三棱锥A﹣BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，则三棱锥Q﹣APR的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取CD中点O，连结BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，A到平面PQR的距离h=，三棱锥Q﹣APR的体积为VQ﹣APR=VA﹣BCD，由此能求出结果．【解答】解：取CD中点O，连结BE，AE，作AO⊥底面BCD，交BE于O，∵在各棱长都为2的三棱锥A﹣BCD中，棱DA，DB，DC的中点分别为P，Q，R，∴QR=QP=PR=1，∴S△PQR==，BE=AE=，OE=，AO==，A到平面PQR的距离h=，∴三棱锥Q﹣APR的体积为：VQ﹣APR=VA﹣BCD===．故选：C．5.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（

）参考答案：A6.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为双曲线右支上一点，且满足，则△PF1F2的周长为（

）A. B.C. D.参考答案：C双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，，可得，，①

，②

由①②得，的周长为，故选C.7.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，。根据这些信息，可得sin234°＝A.

B.

C.

D.参考答案：C8.等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，则a18﹣2a14的值为（）A．﹣20 B．﹣10 C．10 D．20参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】由已知中等差数列{an}中，a4+a10+a16=30，等差数列的性质，我们可以求出a10的值，根据等差数列的通项公式，我们即可求出a18﹣2a14的值．【解答】解：∵a4+a10+a16=30，∴3a10=30，∴a10=10，又∵a18﹣2a14=4d﹣a14=﹣a10=﹣10故选B9.已知抛物线的焦点为F,P为C上一点，若点P到y轴的距离等于等于3，则点F的坐标为A.(-1，0)

B.(1，0)

C.(2，0)

D.(-2，0)参考答案：B由，点到轴的距离等于3，根据定义得，，则点的坐标为.选B.10.（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，2）B．（，2）C．参考答案：B【考点】：函数的周期性；函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解：设x∈，则﹣x∈，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），∴当x∈时，（x﹣4）∈，∴f（x）=f（x﹣4）=xx﹣4﹣1；当x∈时，（x﹣4）∈，∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，∴函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．故选：B【点评】：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）参考答案：乙【考点】函数模型的选择与应用．【分析】甲2次购买的数量相同，平均单价为两次单价和的一半；乙购买产品的平均单价=2次总价÷2次的总数量．【解答】解：甲购买产品的平均单价为：=，乙购买产品的平均单价为：=，∵﹣=≥0，又∵两次购买的单价不同，∴a≠b，∴﹣＞0，∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．12.已知函数

。参考答案：013.执行如图所示的程序框图,输出的S值为_______。参考答案：略14.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且|+|=|﹣|，则|+2|=．参考答案：5【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，，由|+|=|﹣|，求出m=1，由此能求出|+2|的值．【解答】解：∵平面向量=（1，2），=（﹣2，m），∴=（﹣1，2+m），=（3，2﹣m），∵|+|=|﹣|，∴1+（2+m）2=9+（2﹣m）2，解得m=1，∴=（﹣2，1），=（﹣3，4），|+2|==5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．15.对于命题使得则为____________参考答案：，均有≥016.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则

．参考答案：17.过双曲线x2－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=

．参考答案：4解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对称性有两条．故λ=4时设AB的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ==≥4，当θ=90°时，λ=4．与左支相交时，θ=±arccos时，λ===4．故λ=4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．参考答案：考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．.分析：（1）由已知中AD⊥平面ABE，AD∥BC，得到BC⊥平面ABE，即AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，即BF⊥AE，再由线面垂直的判定定理即可得到AE⊥平面BCE；（2）连接GF，由已知BF⊥平面ACE，我们易得GF∥AE，由线面平行的判定定理，可以得到AE∥平面BFD；（3）由已知可得三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积，求出三棱锥E﹣ABC的体积，即可得到棱锥E﹣ADC的体积．解答：解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE（4分）（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE∵BE=BC，∴F为EC的中点；∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，∴GF∥AE，（7分）∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，∴AE∥平面BFD．（8分）（3）∵三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积∵VE﹣ABC==故棱锥E﹣ADC的体积为点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，及直线与平面平行的判定，其中熟练掌握空间中直线与平面的平行及垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．19.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）点，直线l与曲线C交于A，B两点，若，求a的值．参考答案：（1），；（2）或1．（1），，，而直线的参数方程为(为参数），则的普通方程是．（2）由（1）得：①，的参数方程为(为参数）②，将②代入①得，故，由，即，解得或1．20.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；（4分）（2）设曲线与直线相交于两点，以为一条边作曲线的内接矩形，求该矩形的面积．（8分）

参考答案：(1)(2)解析：解：（1）对于：由，得，进而．

2分对于：由（为参数），得，即．

4分（2）由（1）可知为圆，圆心为，半径为2，弦心距，6分．弦长，

8分．因此以为边的圆的内接矩形面积-------------------------12分

略21.设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x)(1)若定义域内存在x0，使得不等式f(x0)-m≤0成立，求实数m的最小值；(2)g(x)=f(x)-x2-x-a在区间[0,3]上恰有两个不同的零点，求a范围.参考答案：（1）存在x0使m≥f(x0)min

令

∴y=f(x)在（-1，0）上单减，在(0,+)单增

f(0)min=1

∴m≥1

∴mmin=1（2）g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点

x+1-2ln(1+x)=a有两个交点

令h(x)=x+1-2ln(1+x)

∴y=f(x)在[0,1]上单减，(1,3]上单增

h(0)=1-2ln1=1

h(1)=2-2ln2

h(3)=4-2ln4

∴2-ln2<a≤1

由解得故．（II）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移1个单位,即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．19.f(x)=lnx-ax2

(1)∵y=f(x)在(0，1]上增在(0，1]上恒成立即在(0，1]上恒成立得(2)

1)若a≤0时,∴y=f(x)在(0，1]上单调递增

f(1)max=-a2)若a>0，

∴y=f(x)在（0，）上单调递增，（，+）单调递减①当≥1，即0<a≤时

f(1)max=-a②当<1，即a>时

22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+acosB=．（1）求A的大小（2）若c=3b，求tanC的值．参考答案：考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式以及两角和的正弦公式，结合同角的基本关系式，化简整理，即可得到A；（2）运用三角形的内角和定理和正弦定理，结合