山西省忻州市第十三中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省忻州市第十三中学2023年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线与圆x=1至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．[2，+∞） C．（1，] D．[）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】由已知得圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：圆x2+（y﹣）2=1的圆心（0，），半径r=1．∵双曲线x=1（b＞0）的一条渐近线y=bx与圆x2+（y﹣2）2=1至多有一个交点，∴圆心（0，）到渐近线y=bx的距离：d=≥1，化为b2≤2．∴e2=1+b2≤3，∵e＞1，∴1＜e≤，∴该双曲线的离心率的取值范围是（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意圆、双曲线的性质的简单运用．2.从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有(

)A.300种

B.240种

C.144种

D.96种参考答案：B3.函数y=ex+cosx在点（0，2）处的切线方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．2x﹣y+2=0 D．x﹣2y+4=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求出函数的导函数，把x=0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．【解答】解：由题意得：y′=ex﹣sinx把x=0代入得：y′|x=0=1，即切线方程的斜率k=1，而切点坐标为（0，2），则所求切线方程为：y﹣2=x﹣0，即x﹣y+2=0．故选A．【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道基础题．4.“”是“函数在区间上为增函数”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5.函数的定义域是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D考点：定义域.6.函数在定义域内可导，若，且当时，，设，则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B7.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为

A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知集合，，则为（

）

参考答案：C9.（5分）（2015?青岛一模）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β参考答案：C【考点】：平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵lα，∴α⊥β．故C正确．故选C．【点评】：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．10.为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是 A.60%，60

B.60%，80

C.80%，80

D.80%，60参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数满足，，当

时，，则的值是_____________。参考答案：答案：012.已知函数F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，若F（﹣1）=2，则f（0）=

．参考答案：﹣3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，F（﹣1）=2，得F（﹣1）=﹣F（1）=﹣[f（0）+1]=2，即可得出结论．【解答】解：∵F（x）=f（x﹣1）+x2是定义在R上的奇函数，F（﹣1）=2，∴F（﹣1）=﹣F（1）=﹣[f（0）+1]=2，∴f（0）=﹣3．故答案为﹣3．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题．13.已知的必要条件，则实数a的取值范围是

。参考答案：14.在中，角所对的边分别为且，，若,则的取值范围是

_____________.参考答案：由得，因为，所以由得.所以最大.因为，所以，即，所以，即，因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，即，所以.，因为，所以，即，即，所以.即的取值范围是.【答案】【解析】15.设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2﹣a1a5=．参考答案：

【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】由f（x）=2x﹣cosx，又{an}是公差为的等差数列，可求得f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=10a3，由题意可求得a3，从而进行求解．【解答】解：∵f（x）=2x﹣cosx，∴可令g（x）=2x+sinx，∵{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π∴g（a1﹣）+g（a2﹣）+…+g（a5﹣）=0，则a3=，a1=，a5=∴[f（a3）]2﹣a1a5=π2﹣=，故答案为：16.图1是某学生的数学考试成绩茎叶图,第1次到14次的考试成绩依次记为．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是

参考答案：10略17.已知向量中任意两个都不共线,且与共线,与共线,则向量=

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。（1）

求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；（2）

求这3点与原点O共面的概率。

参考答案：

19.设m为实数，函数f（x）=x3﹣x2﹣x+m．（1）求f（x）的极值点；（2）如果曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点即可；（2）问题转化为或f（1）＞0，求出m的范围即可．【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为R，令f'（x）=3x2﹣2x﹣1=0，解得x=1或，易知y=f（x）的极大值点为﹣，极小值点为1．（2）由（1）知：欲使曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点，则或f（1）＞0，可得或m＞1．20.设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过圆N与直线x=﹣1相切，推出点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求出轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==．当且仅当，即x0=a﹣2时取等号，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．21.已知，且.（1）求；（2）求参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中先是根据平方关系由余弦求正弦，然后求正切，根据两角和正切公式求解；（2）利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角的范围确定，二是利用诱导公式进行化简时，（3）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围.试题解析：解：（1）由得于是由，得又由得又，考点：1、同角三角函数的基本关系；2、三角函数的给值求值22.已知椭圆，动圆P：（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长最小值时,.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）判断△MON的面积是否为定值，若是，则求出该值；不是，请说明理由。参考答案：（Ⅰ）由题可得切线长最小时，…1分,又在椭圆上，得椭圆C的方程为：（Ⅱ）解：1°当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得

，代入椭圆方程得：，说明圆P同时也与x轴相切（图2），此时M、N分别为长、短轴一个端点，则的面积为

---------------5分2°当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：由得：整理得：

（*），--