山西省忻州市梁家坪中学2021年高三数学文期末试卷含解析

山西省忻州市梁家坪中学2021年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得凹函数f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得A=2，∵，∴T=π，ω=2，f（x）=2cos（2x+φ），将代入得，∵﹣π＜φ＜0，∴．故可将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到l的图象，即可得到g（x）=Asinωx的图象，故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．2.设全集U=R，集合,，则集合AB=A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知f（x）是定义域为（0，+∞）的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤5 B．a＜5 C．0＜a＜5 D．a≥5参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由题设知必存在唯一的正实数a，满足f（x）+logx=a，f（a）=4，f（a）+loga=a，故4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，由题意可得|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，讨论g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a的单调性和最值，分别画出作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，通过平移即可得到a的范围．【解答】解：∵定义域为（0，+∞）的单调函数f（x）满足f[f（x）+logx]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f（x）+logx=a，f（a）=4，①∴f（a）+loga=a，②由①②得：4+loga=a，loga=a﹣4，a=（）a﹣4，左增，右减，有唯一解a=3，故f（x）+logx=a=3，f（x）=3﹣logx，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解，即有|logx|=x3﹣6x2+9x﹣4+a，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），当1＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递增．g（x）在x=1处取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分别作出y=|logx|，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象，可得两图象只有一个交点，将y=x3﹣6x2+9x﹣4的图象向上平移，至经过点（3，1），有两个交点，由g（3）=1即a﹣4=1，解得a=5，当0＜a≤5时，两图象有两个交点，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在区间（0，3]上有两解．故选：A．【点评】本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．4.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．参考答案：B略5.已知满足：,则＝；当时＝，则＝

参考答案：A略6.若点在函数的图像上，点在函数的图像上，则的最小值为（

）A．

B.2

C.

D.8参考答案：D略7.如图，设抛物线的顶点为A，与x轴正半轴的交点为B，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M，随机往M内投一点P，

则点P落在AOB内的概率是(A)

(B)(C)

(D)参考答案：C8.实数的大小关系正确的是

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略9.设F1,F2分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.参考答案：B试题分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|=4b，根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得，故可知双曲线的离心率为，选B.考点：双曲线的性质点评：解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系，以及双曲线的几何性质来求解，属于中档题．10.下列坐标所表示的点不是函数y=tan（）的图象的对称中心的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】正切函数的奇偶性与对称性．

【专题】计算题．【分析】分别令x=，求出函数值为0，不满足题意的选项即可．【解答】解：分别把x=，代入y=tan（），可得y=tan（）=0，所以函数关于对称．A不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．B不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．C不正确．y=tan（）≠0所以函数不关于对称．D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查正切函数的对称性，正确验证三角函数值是解题关键，考查基本知识的应用与计算能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x，y满足，则的取值范围是．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：由2＜y＜8，可得，又1＜x＜6．∴．∴的取值范围是．故答案为：．12.设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线方程，由题意可得丨AB丨==2×2a，求得b2=2a2，根据双曲线的离心率公式e==，即可求得C的离心率．【解答】解：设双曲线方程：（a＞0，b＞0），由题意可知，将x=c代入，解得：y=±，则丨AB丨=，由丨AB丨=2×2a，则b2=2a2，∴双曲线离心率e===，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线通径的求法，考查计算能力，属于基础题．13.设等差数列{an}前n项和为Sn，若Sm－1＝－1，Sm＝0，Sm＋1＝2，则m＝________.参考答案：314.某几何体的三视图如图，都是直角边长为1的等腰直角三角形，此几何体外接球的表面积为

．参考答案：22略15.边长为1的菱形中，，，，则

.参考答案：16.执行如图所示的程序框图,若输入m=5则输出k的值为参考答案：4本题考查程序框图.

mk初始50第一次91第二次172第三次333第四次654第四次时,65＞50,所以k=4.17.在平行四边形中，若，，则=

．参考答案：4三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：.

参考答案：解：（1）如图，设，

由，得

∴的斜率为

的方程为

同理得

设代入上式得，即，满足方程故的方程为

………………4分上式可化为，过交点∵过交点，

∴，∴的方程为

………………6分（2）要证，即证

设，

则

……（1）

∵，

∴直线方程为，与联立化简

∴

……①

……②

…………10分

把①②代入（Ⅰ）式中，则分子

…………（2）

又点在直线上，∴代入Ⅱ中得：

∴

故得证

………………14分

19.对于定义在R上的函数f(x)，若实数满足f()=，则称是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=没有不动点，则实数a的取值范围是 。参考答案：20.（本小题满分12分）某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）组号第一组第二组第三组第四组第五组第六组第七组第八组

合计分组[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数224615143c频率0.040.040.08b0.30.080.280.061(Ⅰ)求的值，并估计该校本次考试的数学平均分；（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从第四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率.参考答案：21.（本小题满分12分）已知数列，，，记，，（）,若对于任意，，，成等差数列.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列的前项和.参考答案：解：（Ⅰ）根据题意，，成等差数列∴

--------------2分整理得∴数列是首项为，公差为的等差数列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分记数列的前项和为.当时，

当时，综上，

--------------12分

略22.设函数f（x）=lnx+﹣1（1）求f（x）的最小值．（2）若数列{an}满足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），证明：2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出x＞0，=，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．（2）推导出，首先证明an+1≥an成立，再由a3=ln2+2＞2，得到当n≥3时，an≥a3＞2，再由≤1，设h（x）=x﹣lnx﹣，则=＞0在（0，+∞）上恒成立，从而h（x）在（0，+∞）上单调递增，从而a3＜3，由此能证明2＜an＜3（n≥3，n∈N*）．【解答】解：（1）∵函数f（x）=lnx+﹣1，∴x＞0，=，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1．∴f（x）的减区间是（0，1），增区间是（1，+∞）．∴f（x）的最小值f（x）min=f（1）=ln1+1﹣1=0．证明：（2）∵数列{an}满足，a1=1，an+1=f（an）+2（n∈N*），∴，首先证明an+1≥an成立