山西省忻州市宁武县东寨镇东寨镇中学高三数学文测试题含解析

山西省忻州市宁武县东寨镇东寨镇中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是(

)A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b参考答案：D【考点】不等关系与不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数的单调性，逐个选项验证可得．【解答】解：选项A错误，比如取a=π，b=，显然满足a＞b＞0，但不满足sina＞sinb；选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a＞log2b；选项C错误，由函数y==在[0，+∞）上单调递增可得＞；选项D正确，由函数y=在R上单调递减可得（）a＜（）b；故选：D．【点评】本题考查不等关系与不等式，涉及常用函数的单调性，属基础题．2.等比数列的前n项和为，则实数a的值是（

）

A．－3

B．3

C．－1

D．1参考答案：B3.已知数列﹛﹜为等比数列，且，则的值为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R均有x2+x+1＜0”参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用否命题的定义即可判断出；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，即可判断出；C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此不正确；B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，不正确；C．命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．5.计算机科学的创始人麦卡锡先生发明的“91”函数具有一种独特的情趣，给人的心智活动提供了一种愉悦的体验.执行如图所示的程序框图，输入，则输出（

）A．3

B．4

C．5

D．6参考答案：B6.函数与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（

）A

B

C

D参考答案：A7.设集合，则下列关系中正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m},AB＝A,则m=（

）A.0或

B.0或3

C.1或

D.1或3参考答案：B9.如果数列…是首项为1，公比为的等比数列，则a5等于

A．32

B．64

C．—32

D．—64参考答案：10.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．168种 B．156种 C．172种 D．180种参考答案：B分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知全集集合则

▲

.参考答案：略12.给出下列四个结论：①若A、B、C、D是平面内四点，则必有；②对于命题；③若函数的值为0；④，BC边上任取一点D，使为钝角三角形的概率为.其中正确结论的序号是________.（填上所有正确结论的序号）参考答案：①③④13.若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．参考答案：考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|．解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故|z|=，故答案为．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．14.直线是曲线的一条切线，则实数b＝___________。参考答案：ln2－1

略15.若复数满足：，则在复平面内，复数z对应的点坐标是________.参考答案：(4，－2)略16.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是

．参考答案：【答案解析】解析：因为，所以，得，所以=得，所以实数的取值范围是.【思路点拨】一般遇到不等式恒成立问题，通常转化为函数的最值问题进行解答，本题通过替换后可看成关于xy的一次式恒成立问题.17.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确命题的序号是____________．参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．参考答案：（1）；（2）.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.

19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其长轴长和短轴长之比为：1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的右焦点，T为直线x=t（t∈R，t≠2）上纵坐标不为0的任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．若OT平分线段PQ（其中O为坐标原点），求t的值．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由已知可得，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设直线PQ的方程为x=my+2．将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出t=3．解答：解：（1）由已知可得，解得a2=6，b2=2．∴椭圆C的标准方程是．（2）由（1）可得，F点的坐标是（2，0）．设直线PQ的方程为x=my+2，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得，消去x，得（m2+3）y2+4my﹣2=0，其判别式△=16m2+8（m2+3）＞0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=．于是x1+x2=m（y1+y2）+4=．设M为PQ的中点，则M点的坐标为（）．∵TF⊥PQ，所以直线FT的斜率为﹣m，其方程为y=﹣m（x﹣2）．当x=t时，y=﹣m（t﹣2），所以点T的坐标为（t，﹣m（t﹣2）），此时直线OT的斜率为，其方程为y=x，将M点的坐标为（）代入上式，得．解得t=3．点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理及中点坐标公式的合理运用．20.如图，在正方体中，，为的中点，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设为正方体棱上一点，给出满足条件的点的个数，并说明理由.参考答案：（Ⅰ）证明：在正方体中，

因为平面，平面，所以平面平面.

………………4分（Ⅱ）证明：连接，，设，连接.因为为正方体，所以，且，且是的中点，又因为是的中点，所以，且，所以，且，即四边形是平行四边形，所以，

………………6分又因为平面，平面，所以平面.

………………9分（Ⅲ）解：满足条件的点P有12个.

………………12分理由如下：因为为正方体，，所以.所以.

………………13分在正方体中，因为平面，平面，所以，又因为，所以，

则点到棱的距离为，所以在棱上有且只有一个点（即中点）到点的距离等于，同理，正方体每条棱的中点到点的距离都等于，所以在正方体棱上使得的点有12个.

………14分

略21.如图4（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图5（2）.（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由.

参考答案：解：（1）证明：因为AC⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥AC，所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为A1C⊥CD，

所以A1C⊥平面BCDE.（2）如右图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0).设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.又＝(3,0，－2)，＝(－1,2,0)，所以令y＝1，则x＝2，z＝，所以n＝(2,1，).设CM与平面A1BE所成的角为θ，因为＝(0,1，)，所以sinθ＝|cos(n，)|＝＝＝.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.（3）线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3].设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0.又＝(0,2，－2)，＝(p，－2,0)，所以令x＝2，则y＝p，z＝.所以m＝.平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，即4＋p＋p＝0.解得p＝－2，与p∈[0,