二项式定理综合应用-基础巩固篇（解析版）

第=page1010页，共=sectionpages1111页二项式定理综合应用--基础巩固篇考点分析二项式定理直接应用求特定项及特定项系数二项式系数的性质应用多项式的系数整除问题巩固应用一、单选题1．（24-25高二上·安徽亳州·期末）的展开式中的常数项为（

）A． B． C．20 D．60【答案】D【知识点】求二项展开式的第k项【分析】利用二项式定理直接列式求出常数项.【详解】的展开式中的常数项为.故选：D2．（23-24高二下·福建南平·期中）展开式中的第3项为（

）A． B． C．216 D．【答案】D【知识点】求二项展开式的第k项【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可.【详解】由题意可知：展开式中的第3项为.故选：D.3．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】求二项展开式、求指定项的系数【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】对于，由二项展开式的通项得，令解得，则所求系数为，故选：D4．（24-25高三下·云南昭通·开学考试）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（

）A．60 B． C．448 D．【答案】A【知识点】组合数的性质及应用、二项展开式的应用、求指定项的系数【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式应用赋值法计算求值.【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，故选：A.5．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（

）A． B．252 C． D．28【答案】B【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，展开式中的系数为，故选：B6．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）在的展开式中，含的项的系数是（

）A．120 B．240 C．274 D．282【答案】C【知识点】多项式的展开式、求指定项的系数【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，即可写出含的项.【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个常数，1个，所以含的项为，所以含的项的系数是.故选：.7．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）二项式的展开式中有理项的项数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【知识点】求有理项或其系数【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式的通项为：，其中，当时，展开式为有理项，所以二项式的展开式中有理项的项数为6项.故选：C.8．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）的值是（

）A． B．1 C．0 D．22024【答案】B【知识点】二项展开式的应用【分析】逆用二项式展开式计算求解.【详解】.故选：B.9．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）被8整除的余数为（）A．4 B．6 C．7 D．5【答案】C【知识点】整除和余数问题【分析】由，利用二项式定理展开即可求得余数.【详解】由，所以被8除所得的余数是7.故选：C.二、填空题10．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式.【答案】【知识点】求二项展开式【分析】直接根据二项式定理展开求解即可.【详解】因为的展开式的通项为，所以.故答案为：11．（24-25高二·全国·课堂例题）在的展开式中，第4项是．【答案】【知识点】求二项展开式的第k项【分析】根据二项展开式的通项可得结果.【详解】∵展开式中的通项为，∴第4项是.故答案为：.12．（23-24高二下·广东茂名·期中）已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，则.【答案】11【知识点】由项的系数确定参数【分析】根据题意，结合二项展开式的二项式系数列出方程，求得的值，即可求解【详解】根据题意知，所以.故答案为：1113．（24-25高二上·甘肃定西·期末）二项式的展开式中常数项为，则含项的系数为.【答案】15【知识点】根据二项式的第k项求值、由项的系数确定参数、求指定项的系数【分析】利用二项式的展开式中的指数为得，再令的指数为，求得并代入展开式的通项即可得答案.【详解】二项式的展开式的通项公式为，令，求得，由展开式中常数项为，得，解得.令，求得，所以含项的系数为.故答案为：15.14．（24-25高二下·全国·课后作业）（）的展开式中的常数项为．【答案】【知识点】求二项展开式的第k项【分析】根据条件得二项展开式的通项公式为，利用通项公式，即可求解.【详解】因为（），可化为，其二项展开式的通项公式为，令，得，故展开式中的常数项为，故答案为：.15．（2023·浙江绍兴·模拟预测）的展开式中的系数为（用数字作答）.【答案】【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题【分析】根据二项展开式，结合二项相乘列式求解即可.【详解】因为的展开式的通项为，所以在的展开式中，含的项为，所以的系数为.故答案为：.三、解答题16．（23-24高二下·广东东莞·期中）已知在的展开式中，第6项为常数项．(1)求n的值，并求该展开式中二项式系数最大的项；（注意：组合数不需计算）(2)求含的项的系数．【答案】(1)；，(2)【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、根据二项式的第k项求值【分析】（1）写出二项式展开式的通项，根据第6项为常数项求出，即可得出二项式系数最大的项；（2）由二项式展开式的通项，代值求解即可．【详解】（1）由已知得，第6项为，因为第6项为常数项，所以，解得，所以该展开式中二项式系数最大的项为第8项和第9项，．（2）由（1）可得，通项，令得，，所以含的项的系数为．17．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中.(1)若，求展开式中含项的系数；(2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值.【答案】(1)(2)【知识点】由项的系数确定参数、求指定项的系数【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数；（2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）当时，展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中含项的系数为.（2）展开式的通项公式为，令，解得，因为，所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项，所以最小的正整数的值为.18．（24-25高二·全国·课堂例题）若，求：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)129；(2)8256；(3)；(4)16384.【知识点】二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和【分析】（1）应用赋值法求得、，即可求值；（2）应用赋值法得，结合（1）所得即得；（3）根据（1）（2）所得可求；（4）法一：根据奇偶数项系数的符号，及（2）（3）结果求值；法二：化为求中各项系数之和.【详解】（1）令，则，令，则①，．（2）令，则②，由，得.（3）由，得．（4）法一：展开式中均小于零，均大于零，.法二：，即为展开式中各项的系数和，．19．（23-24高二下·天津和平·期中）已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等．(1)求n；(2)求展开式中x的一次项的系数；(3)设展开式的所有项的系数和为M，展开式的所有偶数项的二项式系数和为N，求．【答案】(1)11；(2)－1320；(3)1023【知识点】二项展开式各项的系数和、由项的系数确定参数、求指定项的系数、二项式的系数和【分析】（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可求得n；（2）写出二项展开式通项公式，确定一次项的项数后可得系数；（3）在二项式中令可得系数和,再结合二项式系数和性质计算即可．【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，∴，则．（2）展开式通项公式是，令，，∴x的系数为；（3）在中令得，即为所有系数和．展开式的所有偶数项的二项式系数和为,.20．（23-24高二上·天津南开·期中）已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．(1)求n和a的值；(2)求展开式中项的系数(3)求的展开式中的常数项．【答案】(1)(2)