山西省忻州市娑婆中学2021年高三数学理联考试卷含解析

山西省忻州市娑婆中学2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A.16π B.12π C. D.参考答案：C【分析】先还原几何体，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可.【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆柱挖去两个圆锥，圆柱的底面半径为2，高是4，圆锥的底面半径为2，高分别为1和3．则该几何体的体积.故选：C．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体的体积的求解，属于基础题.2.将正偶数按表的方式进行排列，记表示第行第列的数，若，则的值为

第1列第2列第3列第4列第5列第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

………………

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步 B．20步、60步 C．30步、70步 D．40步、80步参考答案：B【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．4.若函数的定义域为，则实数c的值等于()A．－1

B．1C．－2

D．－参考答案：A5.函数的部分图象大致为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先根据函数的奇偶性的定义得到f（x）为偶函数，再根据极限可得当x，即得解．【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵，根据极限可得当x，故答案为：B【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）参考答案：C考点：函数导数与图象.【思路点晴】求导运算、函数的单调性、极值和最值是重点知识，其基础是求导运算，而熟练记忆基本导数公式和函数的求导法则又是正确进行导数运算的基础，在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于.在上为增函数．在上为减函数．导函数图象主要看在轴的上下方的部分.7.过点P(1，1)作曲线y＝x3的两条切线l1、l2，设l1和l2的夹角为θ，则tanθ＝(

)A．

B．

C．

D．参考答案：答案:A8.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 球内接多面体；点、线、面间的距离计算．

专题： 空间位置关系与距离．分析： 通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．解答： 解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：．故选C．点评： 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．9.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交；③若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，n∥β．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．0参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据面面平行的判定定理，得出①错误；②根据直线与平面的位置概型得出n与α相交或平行，②错误；③根据线面平行的判定定理，得出n∥α，n∥β，③正确．【解答】解：对于①，m?α，n?α，m∥β，n∥β，由面面平行的判定定理知，若m∩n=P，则α∥β，∴①错误；对于②，m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交或平行，∴②错误；对于③，若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，根据线面平行的判定定理，得出n∥α，n∥β，③正确．综上，真命题的个数是1．故选：A．10.已知函数f（x）=3cos（﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（）A．[0，] B．[，π] C．[，] D．[，]参考答案：C【考点】余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：由函数f（x）=3cos（﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为，可得?=，∴ω=2，函数f（x）=3cos（﹣2x）=3cos（2x﹣）．令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若实数满足，，则的最小值为_____．参考答案：【分析】利用得到后可得的最小值.【详解】因为，故，化简得到，所以或，整理得到或（舍），的最小值为.填.【点睛】一般地，若，则或，；若，则或，.12.的展开式中的常数项的值是__________．（用数学作答）参考答案：60【分析】根据二项式定理确定常数项的取法，计算得结果.【详解】因为，所以令得，即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.13.已知函数满足=1且，则=_______________。参考答案：102314.已知函数f（x）=sin（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象关于点对称（填上一个你认为正确的即可，不必写上所有可能的形式）．参考答案：（﹣，0）【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．【分析】先根据函数f（x）的最小正周期求出w的值，进而可求出函数f（x）的解析式，然后令2x+=kπ，求出x的值得到对称点的横坐标，即可确定答案．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为π，∴∴w=2∴f（x）=sin（2x+）令2x+=kπ∴x=﹣+，k∈Z故答案为：（﹣，0）15.已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是

.（用区间表示）参考答案：16.已知抛物线恒经过、两定点，且以圆的任一条切线除外）为准线，则该抛物线的焦点F的轨迹方程为

.参考答案：17.设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为．参考答案：[0，2]考点： 分段函数的应用．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由分段函数可得当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a2≤2+a，即可得到a的取值范围．解答： 解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a2≤x+a，x＞0恒成立，由x≥2=2，当且仅当x=1取最小值2，则a2≤2+a，解得﹣1≤a≤2．综上，a的取值范围为[0，2]．故答案为：[0，2]．点评： 本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数大于2的人去参加甲游戏，搓出点数为1或2的人去参加乙游戏.（1）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（2）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.参考答案：（1）；（2）见解析

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列K5K6依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）=（1）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，∴P（B）=P（A3）+P（A4）=（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=∴ξ的分布列是ξ024P数学期望Eξ=【思路点拨】（1）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；（2）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．19.已知函数.(Ⅰ)证明函数在区间上是增函数；(Ⅱ)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．参考答案：略20.（12分）已知A，B，C是△ABC的三个内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c，设平面向量=（cosB，sinB），=（cosC，﹣sinC），与所成的夹角为120°．（1）求A的值．（2）若△ABC的面积S=，sinC=2sinB，求a的值．参考答案：【考点】三角形中的几何计算；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量的夹角公式及两角和的余弦公式的逆运用，即可求得cosA=，求得A；（2）利用正弦定理求得c=2b，根据三角形的面积公式求得bc=，即可求得b和c的值，利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：（1）由与所成的夹角为θ，cosθ===cos（B+C）=﹣cosA，由cosθ=﹣，则cosA=，由0＜A＜π，A=，∴A的值；（2）由正弦定理可知：=2R．则sinA=，sinB=，sinC=，由sinC=2sinB，则c=2b，△ABC的面积S=×bcsinA=，即bc=，解得：b=，c=，由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bcosA=16，则a=4，∴a的值4．【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的余弦公式，考查计算能力，属于中档题．21.已知曲线，直线（为参数）（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求的最大值与最小值.参考答案：.(Ⅰ)曲线C的参数方程为：

（为参数），