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文档简介
山西省忻州市奇村高级中学2023年高一数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.(5分)已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是() A. x+y﹣2=0 B. x﹣y+2=0 C. x+y﹣3=0 D. x﹣y+3=0参考答案:D考点: 直线与圆的位置关系.专题: 直线与圆.分析: 由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.解答: 由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,故l的方程是y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,故选:D.点评: 本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题.2.下列可作为函数y=f(x)的图象的是()A. B. C. D.参考答案:D【考点】函数的图象.【分析】利用函数的定义分别对A、B、C、D四个选项进行一一判断,即可的答案.【解答】解:∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应,也就是说函数的图象与任意直线x=c都只有一个交点;选项A、B、C中均存在直线x=c,与图象有两个交点,故不能构成函数;故选D.3.已知函数,则(
)
A.0
B.1
C.
D.+1参考答案:A试题分析:,选A.考点:分段函数求值【名师点睛】(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4.函数y=sin2(x﹣)的图象沿x轴向右平移m个单位(m>0),所得图象关于y轴对称,则m的最小值为()A.π B. C. D.参考答案:D【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的图象的对称性,求得m的最小值.【解答】解:函数y=sin2(x﹣)==的图象沿x轴向右平移m个单位(m>0),可得y=的图象,再根据所得图象关于y轴对称,可得2m=(2k+1)?,k∈Z,即m═(2k+1)?,则m的最小值为,故选:D.5.直线在x轴上的截距为(
)A. B. C.-1 D.1参考答案:A【分析】取计算得到答案.【详解】直线在轴上的截距:取故答案选A【点睛】本题考查了直线的截距,属于简单题.6.集合{x∈N*|x﹣3<2}的另一种表示法是()A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}参考答案:B【考点】集合的表示法.【分析】集合{x∈N+|x﹣3<2}是用描述法来表示的,用另一种方法来表示就是用列举法,看出描述法所表示的数字,在集合中列举出元素.【解答】解:∵集合{x∈N+|x﹣3<2}是用描述法来表示的,用另一种方法来表示就是用列举法,∵{x∈N+|x﹣3<2}={x∈N+|x<5}={1,2,3,4}故选:B.7.已知映射f:AB,A=B=R,对应法则f:xy=–x2+2x,对于实数kB在A中没有原象,则k的取值范围是(▲
)A.k>1
B.k≥1
C.k<1
D.k≤2参考答案:A略8.函数f(x)=sinx+的最小值是(
)(A)–
(B)2–
(C)
(D)
参考答案:B9.等比数列的公比为,其前项积为,且满足,,.得出下列结论:(1);(2);(3)的值是中最大的;(4)使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论的个数为(
▲
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个参考答案:C略10.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次从中任取一个,有放回地取3次,则下
列事件:⑴颜色全同;⑵颜色不全同;⑶颜色全不同;⑷无红球.
其中发生的概率等于的事件共有(
)
A.1个
B.1个
C.2个
D.3个
参考答案:略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列{an}满足,则a2017=.参考答案:2【考点】8H:数列递推式.【分析】数列{an}满足a1=2,an=1﹣,可得an+3=an,利用周期性即可得出.【解答】解:数列{an}满足a1=2,an=1﹣,可得a2=1﹣=,a3=1﹣2=﹣1,a4=1﹣(﹣1)=2a5=1﹣=,…,∴an+3=an,数列的周期为3.∴a2017=a672×3+1=a1=2.故答案为:212.有下列说法:①函数y=-cos2x的最小正周期是π;②终边在y轴上的角的集合是;③把函数的图像向右平移个单位长度得到函数y=3sin2x的图像;④函数在[0,π]上是减函数.其中,正确的说法是________.参考答案:①③
13.在等比数列中,已知,,,则项数
.参考答案:
4
略14.设为实数,若,则的最大值是________.参考答案:
略15.在如图所示的程序框图中,若U=lg?log3,V=2,则输出的S=,参考答案:
【考点】程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=的值,从而计算得解.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=的值.∵U=lg?log3=1,V=2=,∴U>V,∴S=.故答案为:.16.已知是上的奇函数,且时,,则不等式的解集为__________.参考答案:略17.定义:区间的长度为,已知函数定义域为,值域为[0,2],则区间的长度的最大值为___________参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.(Ⅰ)求sin(α﹣β)的值;(Ⅱ)求α+2β的值.参考答案:【考点】三角函数的化简求值;任意角的三角函数的定义.【分析】(Ⅰ)由已知求出cosα,cosβ的值,再由平方关系求出sinα,sinβ的值,结合两角差的正弦求得sin(α﹣β)的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)求出sin(α+β)、cos(α+β)的值,利用拆角配角思想求得sin(α+2β),结合角的范围求得α+2β的值.【解答】解:(Ⅰ)由已知可得,,∵α,β为锐角,∴sinα=,sinβ=.∴sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=;(Ⅱ)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=+=,cos(α+β)==.∴sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ==.又0<α+2β<,∴α+2β=.19.某公司是一家专做某产品国内外销售的企业,第一批产品在上市40天内全部售完,该公司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查,其调查结果如下:图①中的折线是国内市场的销售情况;图②中的抛物线是国外市场的销售情况;图③中的折线是销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).(1)求该公司第一批产品日销售利润Q(t)(单位:万元)与上市时间t(单位:天)的关系式,(2)求该公司第一批新产品上市后,从哪一天开始国内市场日销售利润不小于国外市场?参考答案:见解析【考点】分段函数的应用.【专题】应用题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】(1)运用一次函数的解析式可得f(t),再设g(t)=at(t﹣40),代入(20,60),即可得到g(t);设每件产品A的销售利润为q(t),求得q(t),可得Q(t)=q(t)?[f(t)+g(t)];(2)由题意可得国内外销售利润q(t)与上市时间t相同,要使国内市场日销售利润不小于国外市场,只需国内市场销售量f(t)不小于国外市场日销售量g(t).讨论t的范围:①当0≤t≤30时,②当30<t≤40时,解不等式即可得到结论.【解答】解:(1)由图①得函数的解析式为:f(t)=,设国外市场的日销售量g(t)=at(t﹣40),g(20)=20a?(﹣20)=60,解得a=﹣,则g(t)=﹣t2+6t(0≤t≤40).设每件产品A的销售利润为q(t),则q(t)=,从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式为:Q(t)=q(t)?[f(t)+g(t)]=;(2)由题意可得国内外销售利润q(t)与上市时间t相同,要使国内市场日销售利润不小于国外市场,只需国内市场销售量f(t)不小于国外市场日销售量g(t).①当0≤t≤30时,令f(t)≥g(t),则2t≥﹣t2+6t,解得≤t≤30;②当30<t≤40时,令h(t)=f(t)﹣g(t)=t2﹣12t+240,由h(t)≥h(40)=0,可得30<t≤40.由①②可得该公司第一批新产品上市后,从27开始国内市场日销售利润不小于国外市场.【点评】本题考查分段函数的应用题的解法,考查不等式的解法,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题.20.如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)中,,,是的中点.(I)求证:平面;
(II)求直线与平面所成角的正切值.参考答案:解:(I)证明:连接,交于,则为的中点,连接,∵是的中点,∴.……分又∵平面,平面,∴平面.
………………分(II),则是直线与平面所成的角.
………………分因为,在Rt△中,,从而.……………………分
略21.已知=4,=8,与夹角是120°.(1)求的值及的值;(2)当k为何值时,?参考答案:(1);(2)【分析】(1)利用数量积定义及其向量的运算性质,即可求解;(2)由于,可得,利用向量的数量积的运算公式,即可求解.【详解】(1)由向量的数量积的运算公式,可得,.(2)因为,所以,整理得,解得.即当值时,.【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,以及向量垂直的坐标运算是解答的关键,着重考查了推理能力与计算能力,属于中档题.22.(12分)已知点P(2,0)及圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1,求直线l的方程;(2)设过点P的直线ll与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以线段MN为直径的圆Q的方程;(3)设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.参考答案:考点: 直线与圆的位置关系.专题: 计算题;直线与圆.分析: (1)分两种情况:当直线l的斜率存在时,设出直线l的斜率为k,由P的坐标和设出的k写出直线l的方程,利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d,让d等于1列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,利用求出的k和P写出直线l的方程即可;当直线l的斜率不存在时,得到在线l的方程,经过验证符合题意;(2)由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离,再根据弦长|MN|的一半及半径,利用勾股定理求出弦心距d,发现|CP|与d相等,所以得到P为MN的中点,所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标,半径为|MN|的一半,根据圆心和半径写出圆的方程即可;(3)把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程,因为直线与圆有两个交点,所以得到△>0,列出关于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范围,利用反证法证明:假设符合条件的a存在,由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上,根据P与C的坐标即可求出l2的斜率,然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1,即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率,进而求出a的值,经过判断求出a的值不在求出的范围中,所以假设错误,故这样的a不存在.解答: (1)设直线l的斜率为k(k存在)则方程为y﹣0=k(x﹣2).又圆C的圆心为(3,﹣2),半径r=3,由=1,解得k=﹣.所以直线方程为y=﹣(x﹣2),即3x+4y﹣6=0;当l的斜率不存在时,l的方程为x=2,经验证x=2也满足条件;(2)由于|CP|=,而弦心距d=,所以d=|CP|=,所以P为MN的中点,所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,故以MN为直径的圆Q的方程为(x﹣2)2+y2=4;(3)把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,
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