中学数学思想教学

2023/2/51

中学数学思想教学

郭民东北师范大学数学与统计学院

guom702@2023/2/52一、数学思想方法的认识1．数学思想方法是中学数学的一项基础知识2．数学思想方法的内涵

2023/2/53二、中学数学中的基本数学思想方法1．用字母表示数的思想方法2．集合与对应的思想方法3．函数与方程的思想方法4．数形结合的思想方法5．数学模型的思想方法6．转换化归的思想方法2023/2/54三、中学数学基本思想方法教学原则1.目标性原则2．渗透性原则3．层次性原则4．概括性原则5．实践性原则2023/2/55四、中学数学思想方法教学的基本途径1．在知识发生过程中渗透数学思想方法(1)不简单下定义(2)定理公式教学中不过早给结论2023/2/562．在思维教学活动过程中，揭示数学思想方法教学目标：教学过程：3．在问题解决方法的探索过程中激活数学思想方法2023/2/57

图3-3-13

图3-3-142023/2/584．在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法五、新课程背景下中小学数学证明思想2023/2/59主要内容1数学证明的概念2义务教育课程标准中有关数学证明的阐述3数学证明的历史回顾4数学家们对数学证明的看法5数学证明教学观念的发展变化6数学证明教学价值的理解数学证明的概念

证明是一个思维过程，是概念、判断、推理这三种思维形式的综合运用，是引用真实的判断来证实另一判断为真实的过程。数学证明是由已被承认的数学命题（包括定义、公理、定理）来证实另一数学命题的思维过程。义务教育数学课程标准

义务教育<数学课程标准>中内容标准空间与图形部分关于推理与证明是这样叙述的：在探索图形性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；在积累了一定的活动经验与图形性质的基础上，从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法的格式，初步感受公理化的思想。《数学课程标准》(7----9)年级有关数学证明的教学建议：

应关注证明的必要性、基本过程和基本方法。"证明"的教学所关注的是，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。

在命题教学中，应通过生活和数学中的实例来说明什么是命题；能够区分一个简单命题的真伪，能够用反例来判定一个命题是假命题；对几何中的一些基本命题，应该要求学生能够画出相应的图形，并逐步学会用符号来表示命题。

在证明的教学中，首先，应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性；其次，应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。

反证法也是一种重要的证明方法，教学中可以通过生活实例和简单的数学例子，使学生体会反证法的思想。但在义务教育阶段不必给出反证法的证明格式。

在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这十分有利于学生对证明的全面理解；使用较规范的数学语言表述论证的过程，有利于学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想；组织学生探索证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，这有利于开阔学生的视野；提供一些具有实际背景的命题，增加论证的趣味性，有助于激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合证法的信心。

数学教育界都在关注《国家数学课程标准(初稿)——目标体系》的研讨,其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此,我们有必要探讨一下数学证明的有关问题。有关数学证明的历史回顾数学证明最早是在几何学这个领域里开始的，后来，也是由于几何学领域里的问题所推动，经历了深刻的变化。几何学早在数千年之前由于人类生活的需要而产生，在中国和埃及都取得了很大的发展，在古埃及，由于尼罗河经常泛滥，冲毁田地的界线，洪水过后，要重新测量，确定田地界线。几何学就起源于这种测地数。“几何学“

这一名词，在拉丁文或希腊文中都含有“测地术”的意思。古埃及还有金字塔那样的宏伟建筑。埃及人积累了十分丰富的几何知识，并把这些几何知识记载在“阿赫美斯手册”。

古代希腊在同埃及通商和希腊学者到埃及留学的过程中，学到了埃及的几何学并传到了希腊，几何学在希腊得到了新的发展，由于古希腊的哲学思想活跃，形式逻辑已确定为一门科学，使得丰富的几何知识向数学理论转化。公元前五世纪，几何学的系统叙述已在希腊出现，到公元前三世纪，欧几里得集前人之大成，写成名为《几何原本》的十三卷巨著。

这一人类历史上的科学杰作是如此严密而系统，以至于在非欧几何出现前，两千多年的时间里，人们原则上已不能也不需要对它再增加什么新的东西，几何学教科书也不过是《几何原本》的通俗改写而已。欧几里得在他的《几何原本》中，先列出了一些定义、公理和公设，而后应用逻辑推理导出全部定理，构造出了一个循序渐进的、前后一贯的、无矛盾的、有根据的、确定的体系，使几何学实现了由感性认识到理性认识的飞跃，数学证明也正是在《几何原本》中被确立和大量使用。《几何原本》中的第五公设是平行线公理，这一公理不象其他公理那样显然，因而，自《几何原本》问世以来，许多数学家都企图证明第五公设。然而，这一企图都失败了，直到1826年，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基才解决了这一问题。罗巴切夫斯基的做法是：保留其他公理，以第五公设的负判断来代替第五公设，而后进行逻辑推理，从而得出一系列深刻的结果，也构造出了一个循序渐进的、前后一贯的、无矛盾的、有根据的、确定的体系。这就是一种新的几何学---罗巴切夫斯基几何学。只是找不到欧几里得几何那样的现实意义，所以罗巴切夫斯基把它称为“虚拟的几何学”。罗巴切夫斯基几何学的产生，使人们看到欧几里得几何的逻辑结构并不是十全十美的。这在数学界引起了极大的震动。本来微积分缺少逻辑基础这一事实就使数学家不安，欧几里得几何基础的动摇更加剧了这种不安，于是，在1850年左右，数学家们对于“数学证明”这件事，几乎陷入了绝望的境地。数学证明应该在怎样的基础上进行？各门数学学科应该建立怎样的基础？等等问题引起数学家们的深入思考。在19世纪后半期，数学家们为了使他们的学说建立合适的逻辑基础，开展了一场名为批判的运动，从波尔察诺和柯西开始，又维尔斯特拉斯、戴狄金、康托、皮亚诺等人继续对算术、代数和数学分析给予了一个公理基础。希尔伯特等人的工作，则是给予欧几里得几何一个更好的公理基础，并确立了数学研究的现代公理法。

希尔伯特把公理系统的结构的基本特性概括为五个方面：（1）基本概念的列举；（2）定义的叙述；（3）公理的叙述；（4）定理的叙述；（5）定理的证明。希尔伯特还提出一个良好的公理系统的三项基本要求：（1）相容性；（2）独立性：（3）完备性。

从以上叙述我们可以看出数学证明有两个最基本的特性：顺序性和严格性。数学证明的顺序性在于：在证明中，决不能使用尚未证明的命题，决不能使用尚未引入的概念。数学证明的严格性在于：按着逻辑推理，一步一步地进行，在任何一个步骤中，都不能凭借直觉。一个好的数学证明就是一个坚实的逻辑链，任何一个环节都打不开缺口。总之，数学证明首先在几何学领域里开始，公元前3世纪产生的欧几里得《几何原本》在两千多年的时间里一直是数学证明的范例。罗巴切夫斯基几何学的产生，使人们对数学证明的认识大大加深，并随之产生了现代公理体系。问题的提出

我们知道，从一组原始概念和命题(即公理)出发,经过逻辑推理得到一系列的定理和证明,这一直数学学科所遵循的研究模式。但随着现代数学的发展,特别是电子计算机的出现,人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。“四色问题”所引起的争论1852年,英国数学家F.Guthrie(格思里)在给他弟弟的一封信中说:“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国,只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直到1976年美国两位计算机专家K.Appel(阿佩尔)和W.Haken(哈肯)找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时(约52天)的运算,“证明”了格思里提出的结论是正确的。因此,“四色问题”得到了“证明”。“四色问题”的“证明”引起的争论（1）、“四色问题”的“证明”,其计算机程序就达400多页,要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此,似乎无人愿意再去重复阿—哈的“证明”。（2）、能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误?（3）、人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病,还是“证明”过程本身逻辑有问题。什么是“数学证明”的争论有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎(计算也是一种演绎)过程,否则只能称为计算机证明,二者不能混为一谈。因此,按这种观点,“四色问题”只能称已得到了计算机证明,而不能称已得到了数学证明。但是,另一些数学家反驳说,用人工来检验也可能产生错误。例如,数学史上曾有不少数学家(如意大利的Saccheri,法国的Legendre)声称他们已“证明”了欧几里得第五公设(即欧氏平行公理)。但后来发现他们的“证明”均有问题,其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题,因此从逻辑上说他们都犯了循环论证的错误。

数学证明的功能到底是什么?

那么数学证明的内涵是什么？如何处理中学几何课程有关推理证明的教学改革？如何看待几何中数学证明的教育价值？一直都是一个热门话题。

数学家们对数学证明的看法：

观点1：国际数学教育委员会在《计算机对数学和数学教学的影响》报告中指出：“借助于计算机的证明不应该比人工证明加以更多的怀疑……，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力……计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更具说服力的证明，会激励数学家去更准确地把握形式化的想法。”

观点2：英国数学家Atiyah(阿蒂亚)在评论“四色问题”的证明时说：“这证明是一大成功，但在美学观点上看极令人失望。完全不靠人的心智创造，全靠机械的蛮力。科学活动的目的是理解客观世界并驾驭客观世界，然而我们能说‘理解’了四色问题的证明了吗？”“数学是一种艺术，一种使人摆脱蛮力计算，而且成熟概念和技巧，使人更轻松地漫游。”

观点3：布尔巴基在《数学的建筑》一书中说：“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，都没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了证明。”“计算机证明不满意者并非它没有核实命题，难道用人工花几个月检验几百页证明便更可靠吗？而是它没有使我们通过证明获得理解。”

观点4：J.Horgen在《科学的美国》杂志上发表一篇《证明的死亡》文章中指出：“用计算机作实验，来证明建立定理，如四色问题，任何人不能执行如此长的计算，也不能指望用其他办法验证它。……因此这就突破了传统证明的观念，所以，不能再以逻辑推理作为证明数学命题的唯一手段。”

观点5：R.Wilder认为：“数学证明在不同的文化有不同的含义，在不同的时代也有不同的含义，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的数学证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个学派。”

观点6：哈代（G.H.Hardy）认为：“严格说起来根本没有所谓数学证明……，归根到底我们只是指出了一些要点，证明只不过是一些废话，它是为了打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时来演示的图片，是激发小学生想象力的工具。”

从以上一些数学家对“数学证明”的看法，我们可以得出这样的结论：数学证明的真正含义并不在于检验核实数学命题，而在于理解数学命题，启发数学思维，交流数学思想，导致数学发现.很明显,如果你能给出某一命题的一个证明,那么你可以说你理解了(或说你懂了)这个命题。如果你能用这个命题的证法去解决另一个问题,例如,学生用一个定理的证法去做一道习题,那么,你在解决这个问题的思维过程中必然是受到原来命题证法的启发。为了你和其他人交流对某一命题的理解,最好的办法就是你们共同商讨对此命题的证明。

数学证明的传统观念受到冲击

观点1数学证明消亡论

1993年，JohnHorgen在《科学的美国》杂志上发表了题为“证明的死亡”的具有挑战性的文章，他声称，数学家们已经能用计算机作实验（而非传统证明）来建立有效的命题，利用计算机能产生长篇证明，如四色定理的证明就是一例。除了用计算机之外，任何人也不可能执行如此长的计算，而且也不能指望用其他的办法去验证它。问题：用计算机证明的成功来否定数学证明的作用是否合适？观点2数学证明变异论数学证明变异论认为，数学证明的意义已经发生变化，不再是传统的证明观念，也不是以逻辑推理作为证明数学问题的唯一手段。1993年，美国明尼苏达大学几何中心的数学家们提出“实验证明”的观念，该中心出版了《实验数学》杂志，他们认为，实验是数学判断的一种形式，他们利用计算机作数学实验，并比较实验结果，从而确定数学命题的正确性。实验证明标志着数学证明的意义已经发生变化，逻辑证明不在是证明数学命题的唯一手段。数学开始从分析科学向试验科学转变。一些数学家预言，实验证明将会在数学中获得重要地位，并使书面证明成为古老概念而相形见绌。数学证明的教学地位发生了动摇

实验数学的兴起引起数学教育家们的极大兴趣，在美国已形成一股潮流，即让中学生也向实验数学方向发展，并把数学教室建设成为数学实验室。在西欧和北美的一些国家中，传统的数学证明在教学中的地位正在弱化。在我国，一些数学家和一些数学教育家也对过分强调形式化和严谨化的数学证明教学观念提出了不同的观点

史老师观点：初中几何应该教学生建立在实验基础上有物理背景的逻辑推理的欧几里得公理，不教给学生完全形式化的希尔伯特公理，高中和大学再教给学生完全形式化、符号化的公理体系。

张奠宙、郑正亚观点：“不要过份渲染逻辑思维能力”，“不严谨的数学也是数学”，“现今中学数学根本做不到完全严谨”。

陈重穆、宋乃庆观点：“淡化形式，注重实际”作为培养逻辑思维能力的手段的数学证明教学的观念发生了变化，数学证明在数学教学中的传统地位发生了动摇。如何看待数学证明在数学教学中的地位？也是当今数学课程改革不能回避的课题建构主义学习论观点：

建构主义学习论认为，知识不能传递，但能由学生自己建构。如果教师在数学教学中只限于对数学证明逐向讲解，这无助于学生形成良好的认知结构。因而，西方不少数学教育家认为要舍得花时间让学生分组讨论，进行探索，从中感知一种用自己的语言组织的、非正式的数学证明方法。在学生讨论的过程中，教师从知识传播者的地位转变为学习指导者的地位。他们认为这样做可以使学生有机会自己建构有关数学推理的直觉。那么教师在数学证明教学中的作用是什么？我们认为，教师应该帮助学生理解什么是数学证明，为什么要证明，什么样的数学证明才有效。教师既要鼓励学生自己建构数学知识，又要对学生通过建构所获得的数学知识作出正确的评价，及时纠正学生的错误，这就是教师在数学证明教学中的主导作用所在。然而，由于种种原因，教师在数学证明课堂教学中包办的过多，往往是学生还没来得及深入思考，教师已经把有关的数学证明讲完了。非正式的数学证明得到重视

1987年，Lakatos出版了《证明与反驳》一书，书中提出了反例、反驳以及非正式证明在数学发现的作用，1992年前美国数学教师协会主席Dossey进一步提倡，在数学教学中要重视非正式的数学证明，而应降低正式数学证明在课堂教学中的地位。数学证明的本质

对于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，一些数学家提出平面几何的内容还是必要的，并且指出，其不必要性并不在于知识本