内容讲义分析

B3.1.2微分形式的连续性方程(2- B3.1.2B3.1.2微分形式的连续性方程(2- B3.1.2微分形式的连续性方边长为dx,dy,dz的长方体控制体元δt内x方向净流 dxdydzδt单位时间单位体积x，y，z方向净流出质量因密度变化引起的质量减,,由质量守恒定ρuρvρwdxdydzδt0，即在一点上仍成立B3.1.2微分形式的连续性方程(2- ρρuρvρwρ(ρv) 用场量公式并运用质点导数概念，微分形式连续性方程Dρρv或改v1ρ不可压缩流体连续性方B3.1.1流体运动的连续性原理(2- B3.1微分形式的质量守恒方..流体运动的连续性原质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性古代，漏壶、水流计17世纪哈维：血液循环理解剖发现：从心脏到动脉末端血液单定量测量：每小时流出心脏血液河水流速与河横截面积成反16世纪，达河水流速与河横截面积成反16世纪，达·芬17世纪，哈维发血液循环理45年后发血液循环理18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方血液18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方[例B3.1.2]不可压缩流动连续性方程求：

u

x2y

（C为常数解：由不可压缩流连vuv

vu

B3.2.1体积力和表面力(2- B3.2作用在流体元上的..体积B3.2.1体积力和表面力(2- B3.2作用在流体元上的..体积力和表面1.体积单位质量流体上的体积f(,,,)limδδτ0ρδ单位体积流体上的体积ρflimδδτδB3.2.1体积力和表面力(2- 2.表面表面力定义：作用在单位平面面积元上的短程p(x,y,z,t)limδnδA0δδn——面积元外法线单位－n——pnp-B3.2.2重力 B3.2.2重力在直角坐标系的重力场x y zfgkπ称为重力势，代表单位质量流体具有的重力势fπxfπyfzv2cxydyf(x) f(x)(x2y2 x2=当f(x)=U，表示点涡流叠加y方向速度为UB3.2.3应力场(4-B3.2.3应力场(4- 作用在外法矢沿x轴向的面积元dAx上三个应力分量如作用在任n(nxnynz)面元上的p τPnnP=n,n,τ zττp表面pnpnτn xx yy zzpnτnpn xx yy zzpnτnτn xx yy zz1.运动粘性流体中的应力与作用力的大小、方向、应力矩用过量唯一确pPxττzτpzzpxy,pyy,zx,τxyττxzτzxτyzτzyB3.2.3应力场(4- 3.应力的常用表达运动粘性流体中的(平均)压p1 在法向应力中把压强分离pxxppyypσ pσ,σ z为附加法向应力分量（与流体线应变率有关 0应力矩阵表示P zyτxzτ0σz压强矩偏应力B3.2.3应力B3.2.3应力场(4- 2.静止流体中的应力状无切应无切应静止流体的应力状只有pxxpyypzzpnnP 0 0结论：静止流体中一点的应力状态 0u求：

v

（k为常数解： σx2μu2μ

σy2μvpxxpσx σ

τxyτyxμ(uv)μ 已知：二维不可压缩平面流场uv（k为常数求：试分析该流场中的应力状解：附加法向应σx2μxσy2μv流体中任一点的法向应力pxxpσxppyypσy切向应力τxyτyxμ(uv)μ(kk) 讨论（1）线应变率处处为零，附加法向应力为零，全流的法向应力均等于平衡压B3.3微分形式的动量方程(2- 按牛顿第二定律，长方体流体元的运动方程dFdFsdmdbd各面元上x方向表面力的分量如图示，表力合力dFsx由应力梯造dFsx(pxxdx)dydz(τyxdy)dxdz(τzxdz)dxd讨论：附加法向应力与该方向的线应变率有关，平面线性剪切流中任点处在x、y均为零，x,yB3.3微分形式的动量方程(2-xx方向的体积力分量 dFx将dFsx和dFbx代入运动方程，并利用dmρdxdydz和质点导数

ρfx

同理可

τyxpyy

ρfyx

τzy

ρfzzx

zzρ(wuwvwwB3.4纳维－斯托克斯方程(4- B3.4纳维－斯托克斯方 斯托B3.4纳维－斯托克斯方程(4- B3.4纳维－斯托克斯方 斯托克斯假设：1.将牛顿粘性定律从一维推广静止时法向应力等于静压对牛顿流体（μ＝常数pp2μu2μxττ u xypp2μv2μyττ wpp2μw2μv ττ z不可压缩条件（ρ＝常数vuvx 均代入粘性流体运动一般微分方B3.4纳维－斯托克斯方程(4- 可得均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程(N－S方程 ρf uup zx uuu22 v v v ρf pz vvvy 222x 2 w www222 ρf zz 2N－S常数常上式称为粘性流体运动一般微分方程，适用于任何流B3.4纳维－斯托克斯方程(4-N－SDvfpN－S加上连续性方程v0四个方程求解四个未知u、v、w、p，方程组是在边界条件较简单时可求解析解;在边界杂时可求对不同的流动专题可作不同程度的简化（见专题篇）(v((v(v)v[例B3.5.1A]沿斜坡的重力粘性层流(3-求：(1)速度分 (2)压强分(3)切应力分布(4)解在图示坐标系中连续性方程uv (uuuvu) fxp(2u2u (tuxvy) fyy x2y2＝体积力力粘性＝—＋欧拉方(v(v)v＝ —0相对a＝ 0＝—B3.5边界条件与初始条件(2- 粘性流体：不滑移条件(图vv无粘性流体：法向速度连续(图vn=vn(2)v=v∞，p=N－S方惯性N－S方惯性平衡方平衡方B3.5边界条件与初始条件(2- (3)条v=v(3)条v=vin(4)p=pinpτs定常流时无初始条不定常流时给出某时刻的v(t0),p(t0),ρ(t0) B3.6压强 B3.6压强由N－S方粘性流由边界条件(2):y=0,u=0可得C2由边界条件(3):y=b,h(ddygsinhCCghsi11ugsin(2hyy2Qudyh(hyy) 1h3h30uufy=ρgcosθpgcos由边界条件(1y=h,p=0,C(x)=ρghcosθp g(hy)且p0，由(b0gsind2u gugsi 1Cy (v(vB3.6.1静止重力流体中的压强分布(3- B3.6.1静止重力流体中的压强分1.压强分布一般表达均质静止流 ρ=常数在重力场fxfy f由N-Spp上式说明：z方向压强梯度由单位体积流体的重力p积分可 无粘性流

＝

(v(v相对平相对平

＋绝对平pppp00在垂直方向压强与淹深成线性在水平方向压强保持常p为自由面上的压强，h为淹B3.6.2压强计算方法与单位(2- B3.6.2压强1.压强计示方式pp0p0提供压强完全真绝对压强基表压强习惯pB3.6.13-3.等压在连3.等压在连通的同种流体中的等压强面称为等压面在静止重力流体中的等压面为水hh＝2－2不同液1－1非压[例B3.6.1][例B3.6.1]大气压强真空度U 1[例B3.6.2]单管测U 1[例B3.6.2]单管测压计 求：pA与测压管高度h的关系解pA(表压强)ghh为被测点的淹深，称为测压管高度pAg压强势重力势讨论：pAh[例B3.6.2]U形管测压计已知：U形管水银测压计中h120cm,Δh=10cm求：pAPa解：沿pAρgh1ρmghpρghA115303.61.013105[例B3.6.2A]U形管差zAzBU形管水银测压计中液面差Δh ΔppApB(Pa,表压强绝对压强解沿pAρg(zAh)pBρgzBpp- ρg(zz)(ρ- 国际单位制（SI）：帕斯卡1Pa=1N1Pa=1N测压管高 h=pA米水柱mH2O（水头高）毫米柱mmHg（血压计标准大气压atm(标准国际大气模型1a