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山西省忻州市南庄联校2022年高一数学理联考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知数列{}为等差数列,且S5=28,S10=36,则S15等于
(
)A.80
B.40
C.24
D.-48参考答案:C2.若点在第一象限,则在内的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B3.圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是()A.(x﹣1)2+(y﹣2)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2 C.(x﹣1)2+(y﹣2)2=5 D.(x+1)2+(y+2)2=5参考答案:C【考点】圆的标准方程.【分析】由题意求出圆的半径,代入圆的标准方程得答案.【解答】解:由题意可知,圆的半径为r=.∴圆心为(1,2)且过原点的圆的方程是(x﹣1)2+(y﹣2)2=5.故选:C.4.下列不等式一定成立的是()A.x2+>x(x>0) B.x2+1≥2|x|(x∈R)C.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z) D.>1(x∈R)参考答案:B【考点】基本不等式.【分析】根据基本不等式的性质判断A、B,根据特殊值法判断C、D即可.【解答】解:对于A:x2+≥2=x,当且仅当x=时“=”成立,故A错误;对于B:x2+1≥2|x|,B正确;对于C:比如sinx=﹣1时,不成立,C错误;对于D:比如x=1时,不成立,D错误;故选:B.5.已知x∈(﹣,0),sinx=﹣,则tan2x=()A.﹣ B. C.﹣ D.参考答案:C【考点】二倍角的正切.【分析】由题意根据同角三角函数的基本关系求出cosx、tanx,再利用二倍角的正切公式求出tan2x的值.【解答】解:∵x∈(﹣,0),sinx=﹣,∴cosx=,∴tanx==﹣,∴tan2x===﹣,故选C.6.已知,则(
)A.20
B.14
C.16
D.18参考答案:A7.在△ABC中,如果,,,则此三角形有(
)A.无解 B.一解 C.两解 D.无穷多解参考答案:C【分析】首先利用正弦定求得的范围,然后根据条件和三角形的内角,即可作出判定,得到答案.【详解】根据正弦定理,可得,所以,因为,所以,又由,则,有两个满足条件,所以此三角形由两解,故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,以及三角形解得个数的判定问题,其中解答中熟练应用正弦定理求得的范围,再根据角进行判定是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.与函数的图像关于直线对称的曲线C对应的函数为,则的值为
A.
B.1
C.
D.参考答案:D9.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)+f(x)>0恒成立,且常数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是()A.af(a)>bf(b) B.af(b)>bf(a) C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)参考答案:A【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】导数的综合应用.【分析】构造g(x)=xf(x),利用其单调性即可得出.【解答】解:令g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,∴函数g(x)在R上单调递增.∵a>b,∴g(a)>g(b),∴af(a)>bf(b).故选A.【点评】正确构造g(x)=xf(x)和熟练掌握利用导数研究和的单调性是解题的关键.10.△ABC中,已知tanA=,tanB=,则∠C等于(
)A.30°
B.45°
C.60°
D.135°参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式3x-3m≤-2m的正整数解为1,2,3,4,则m的取值范围是
。参考答案:12≤Mp1512.设e为自然对数的底数,若函数f(x)=ex(2﹣ex)+(a+2)?|ex﹣1|﹣a2存在三个零点,则实数a的取值范围是.参考答案:(1,2]【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用换元法,可得f(m)=﹣m2+(a+2)m+1﹣a2,f(x)有3个零点,根据m=|t|=|ex﹣1|,可得f(m)的一根在(0,1),另一根在[1,+∞),由此,即可求出实数a的取值范围.【解答】解:令t=ex﹣1,ex=t+1,f(t)=1﹣t2+(a+2)|t|﹣a2,令m=|t|=|ex﹣1|,则f(m)=﹣m2+(a+2)m+1﹣a2,∵f(x)有3个零点,∴根据m=|t|=|ex﹣1|,可得f(m)的一根在(0,1),另一根在[1,+∞),∴∴a∈(1,2].故答案为(1,2].【点评】本题考查实数a的取值范围,考查函数的零点,考查方程根的研究,正确转化是关键.13.=____________.参考答案:
14.已知点在直线上,则的最小值为
参考答案:415.已知,则
▲
.参考答案:-2616.满足条件的集合M有
个.参考答案:8由题意可得M中必含有元素1和2,也就是至少两个元素,所以两个元素集{1,2},三个元素集{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5},四个元素集{1,2,3,4}、{1,2,3,5},{1,2,4,5},五个元素集{1,2,3,4,5,},共8个。
17.函数的定义域是________.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,.(1)求c的值;(2)求△ABC面积S的最大值.参考答案:(1);(2).试题分析:(1)要求边,从已知出发,如能求得角即可,又已知条件是边角关系,因此我们应用正弦定理把边转化为角,从而可很快求得,再正弦定理可得;(2)由(1),而由余弦定理有,可求得的最大值.试题解析:(1)∵,∴,由正弦定理化简得:,即,整理得:,∵,∴,∴,∴.(2)∵,∴,∴,∵,∴,∴,则面积的最大值为.考点:正弦定理,余弦定理,基本不等式.19.参考答案:略20.(Ⅰ)已知在求;(Ⅱ)已知向量且向量与向量平行,求的值.参考答案:(I);(II).试题分析:(I)根据题设条件,先求出的值,在利用向量的化简,即可代入求解得到结果;(II)根据向量共线,得到,即可求解的值.试题解析:(Ⅰ)因为,的夹角为,所以=.2分则.5分(Ⅱ)因为,所以,8分则10分考点:向量的运算与向量共线的应用.21.已知定点O(0,0),A(3,0),动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线;(Ⅱ)当λ=4时,记动点P的轨迹为曲线D.F,G是曲线D上不同的两点,对于定点Q(﹣3,0),有|QF|?|QG|=4.试问无论F,G两点的位置怎样,直线FG能恒和一个定圆相切吗?若能,求出这个定圆的方程;若不能,请说明理由.参考答案:【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),由|PO|=|PA|代入坐标整理得(λ﹣1)x2+(λ﹣1)y2+6x﹣9=0,对λ分类讨论可得;(Ⅱ)当λ=4时,曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0,则由面积相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|,且圆的半径r=2,由点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系可得.【解答】解:(Ⅰ)设动点P的坐标为(x,y),则由|PO|=|PA|得λ(x2+y2)=(x﹣3)2+y2,整理得:(λ﹣1)x2+(λ﹣1)y2+6x﹣9=0,∵λ>0,∴当λ=1时,方程可化为:2x﹣3=0,方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线;当λ≠1时,则方程可化为,+y2=,即方程表示的曲线是以(﹣,0)为圆心,为半径的圆.(Ⅱ)当λ=4时,曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0,故曲线D表示圆,圆心是D(﹣1,0),半径是2.设点Q到直线FG的距离为d,∠FQG=θ,则由面积相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|,且圆的半径r=2.即d===1.于是顶点Q到动直线FG的距离为定值,即动直线FG与定圆(x+3)2+y2=1相切.【点评】本题考查参数方程和极坐标方程,涉及分类讨论的思想,属中档题.22.已知全集U=R,集合A={x|x<﹣4,或x>1},B={x|﹣3≤x﹣1≤2},(1)求A∩B、(?UA)∪(?UB);(2)若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集,求实数k的取值范围.参考答案:【考点】交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题.【分析】(1)求出集合B,然后直接求A∩B,通过(CUA)∪(CUB)CU(A∩B)求解即可;(2)通过M=?与M≠?,利用集合M={x|2k
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