山西省忻州市南庄联校2022年高一数学理联考试题含解析

山西省忻州市南庄联校2022年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于

(

)A．80

B．40

C．24

D．-48参考答案：C2.若点在第一象限,则在内的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B3.圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2=2 B．（x+1）2+（y+2）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 D．（x+1）2+（y+2）2=5参考答案：C【考点】圆的标准方程．【分析】由题意求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：由题意可知，圆的半径为r=．∴圆心为（1，2）且过原点的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故选：C．4.下列不等式一定成立的是（）A．x2+＞x（x＞0） B．x2+1≥2|x|（x∈R）C．sinx+≥2（x≠kπ，k∈Z） D．＞1（x∈R）参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】根据基本不等式的性质判断A、B，根据特殊值法判断C、D即可．【解答】解：对于A：x2+≥2=x，当且仅当x=时“=”成立，故A错误；对于B：x2+1≥2|x|，B正确；对于C：比如sinx=﹣1时，不成立，C错误；对于D：比如x=1时，不成立，D错误；故选：B．5.已知x∈（﹣，0），sinx=﹣，则tan2x=（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】二倍角的正切．【分析】由题意根据同角三角函数的基本关系求出cosx、tanx，再利用二倍角的正切公式求出tan2x的值．【解答】解：∵x∈（﹣，0），sinx=﹣，∴cosx=，∴tanx==﹣，∴tan2x===﹣，故选C．6.已知，则（

）A．20

B．14

C．16

D．18参考答案：A7.在△ABC中，如果，，，则此三角形有（

）A.无解 B.一解 C.两解 D.无穷多解参考答案：C【分析】首先利用正弦定求得的范围，然后根据条件和三角形的内角，即可作出判定，得到答案.【详解】根据正弦定理，可得，所以，因为，所以，又由，则，有两个满足条件，所以此三角形由两解，故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，以及三角形解得个数的判定问题，其中解答中熟练应用正弦定理求得的范围，再根据角进行判定是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.与函数的图像关于直线对称的曲线C对应的函数为，则的值为

A．

B．1

C．

D．参考答案：D9.若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）+f（x）＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．af（a）＞bf（b） B．af（b）＞bf（a） C．af（a）＜bf（b） D．af（b）＜bf（a）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】构造g（x）=xf（x），利用其单调性即可得出．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g′（x）=xf′（x）+f（x）＞0，∴函数g（x）在R上单调递增．∵a＞b，∴g（a）＞g（b），∴af（a）＞bf（b）．故选A．【点评】正确构造g（x）=xf（x）和熟练掌握利用导数研究和的单调性是解题的关键．10.△ABC中，已知tanA=，tanB=，则∠C等于（

）A.30°

B.45°

C.60°

D.135°参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是

。参考答案：12≤Mp1512.设e为自然对数的底数，若函数f（x）=ex（2﹣ex）+（a+2）?|ex﹣1|﹣a2存在三个零点，则实数a的取值范围是．参考答案：（1，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法，可得f（m）=﹣m2+（a+2）m+1﹣a2，f（x）有3个零点，根据m=|t|=|ex﹣1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），由此，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：令t=ex﹣1，ex=t+1，f（t）=1﹣t2+（a+2）|t|﹣a2，令m=|t|=|ex﹣1|，则f（m）=﹣m2+（a+2）m+1﹣a2，∵f（x）有3个零点，∴根据m=|t|=|ex﹣1|，可得f（m）的一根在（0，1），另一根在[1，+∞），∴∴a∈（1，2]．故答案为（1，2]．【点评】本题考查实数a的取值范围，考查函数的零点，考查方程根的研究，正确转化是关键．13.=____________.参考答案：

14.已知点在直线上，则的最小值为

参考答案：415.已知，则

▲

．参考答案：-2616.满足条件的集合M有

个．参考答案：8由题意可得M中必含有元素1和2,也就是至少两个元素，所以两个元素集{1,2},三个元素集{1，2，3}、{1，2，4}、{1，2，5}，四个元素集{1,2,3,4}、{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，五个元素集{1，2，3，4，5，}，共8个。

17.函数的定义域是________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（1）求c的值；（2）求△ABC面积S的最大值．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）要求边，从已知出发，如能求得角即可，又已知条件是边角关系，因此我们应用正弦定理把边转化为角，从而可很快求得，再正弦定理可得；（2）由（1），而由余弦定理有，可求得的最大值．试题解析：（1）∵，∴，由正弦定理化简得：，即，整理得：，∵，∴，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴，则面积的最大值为．考点：正弦定理，余弦定理，基本不等式．19.参考答案：略20.（Ⅰ）已知在求；（Ⅱ）已知向量且向量与向量平行，求的值．参考答案：（I）；（II）．试题分析：（I）根据题设条件，先求出的值，在利用向量的化简，即可代入求解得到结果；（II）根据向量共线，得到，即可求解的值．试题解析：（Ⅰ）因为，的夹角为，所以=.2分则.5分（Ⅱ）因为，所以，8分则10分考点：向量的运算与向量共线的应用．21.已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（﹣3，0），有|QF|?|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由|PO|=|PA|代入坐标整理得（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，对λ分类讨论可得；（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，则由面积相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2，由点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系可得．【解答】解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），则由|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x﹣3）2+y2，整理得：（λ﹣1）x2+（λ﹣1）y2+6x﹣9=0，∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x﹣3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为，+y2=，即方程表示的曲线是以（﹣，0）为圆心，为半径的圆．（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x﹣3=0，故曲线D表示圆，圆心是D（﹣1，0），半径是2．设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，则由面积相等得到|QF|?|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．即d===1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．【点评】本题考查参数方程和极坐标方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．22.已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣4，或x＞1}，B={x|﹣3≤x﹣1≤2}，（1）求A∩B、（?UA）∪（?UB）；（2）若集合M={x|2k﹣1≤x≤2k+1}是集合A的子集，求实数k的取值范围．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）求出集合B，然后直接求A∩B，通过（CUA）∪（CUB）CU（A∩B）求解即可；（2）通过M=?与M≠?，利用集合M={x|2k