山西省忻州市五寨县杏岭子乡联校2021年高二数学理测试题含解析

山西省忻州市五寨县杏岭子乡联校2021年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆ρ=（cosθ+sinθ）的圆心的极坐标是（）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）参考答案：C【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】先在极坐标方程ρ=（cosθ+sinθ）的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换化成直角坐标方程求解即得．【解答】解：将方程ρ=（cosθ+sinθ）两边都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．圆心的坐标为（，）．化成极坐标为（1，）．故选C．2.在ΔABC中，a=2，b=3，c=4，则ΔABC的面积是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A3.某人从2008年起，每年1月1日到银行新存入元(一年定期)，若年利率为保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2012年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为（

）(单位为元)A.

B.

C.

D.参考答案：B4.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：

90

89

90

95

93

94

93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（

）

A.92,2

B.92,2.8C.93,2

D.93,2.8参考答案：B5.已知随机变量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，则Eη，Dη分别是()

A．6和2.4

B．2和5.6

C．6和5.6

D．2和2.4参考答案：D6.命题“x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（

）A．x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．x∈Z，使x2＋2x＋m≤0

D．x∈Z，使x2＋2x＋m>0参考答案：D7.为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是（）A．30

B．60

C．70

D．80参考答案：C8.在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的内心，若，其中,动点的轨迹所覆盖的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.设,集合是奇数集,集合是偶数集．若命题,则

（） A． B． C． D．参考答案：A10.抛物线y2=4px（p＞0）上一点M到焦点的距离为，则M到y轴距离为(

)A.a-p

B.a+p

C.a－

D.a+2p

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆（x﹣1）2+（y+1）2=16的一条直径恰好经过直线x﹣2y+3=0被圆所截弦的中点，则该直径所在直线的方程为

．参考答案：2x+y﹣1=0【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意求出圆心坐标（1，﹣1），再由弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直求出斜率，进而求出该直径所在的直线方程【解答】解：由题意知，已知圆的圆心坐标（1，﹣1）∵弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直得，且方程x﹣2y+3=0∴该直径所在的直线的斜率为：﹣2，∴该直线方程y+1=﹣2（x﹣1）；即2x+y﹣1=0，故答案为：2x+y﹣1=0．【点评】本题考查了过弦中点的直径和弦所在的直线的位置关系，直线垂直和直线的斜率关系，进而求直线方程，属于中档题．12.已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是

____

．参考答案：略13.已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为．参考答案：【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+7≥55，得x≥6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．故答案为：．【点评】解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律．14.命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为

．参考答案：若x＞2，则x＞1

【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若x＞1，则x＞2”的逆命题为命题“若x＞2，则x＞1”，故答案为：若x＞2，则x＞1【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．15.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别在线段AB1、BC1上运动（不包括线段端点），且.以下结论：①；②若点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD-A1B1C1D1上的截面为等边三角形；③四面体MBCN的体积的最大值为；④直线D1M与直线A1N的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）参考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，可得四边形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得结论成立；②截面为△AB1C，为等边三角形，故正确．③设，则＝dM﹣BCN=，故③成立；④设，当接近于0时，直线与直线的夹角接近于，当接近于1时，夹角接近于，故④不正确；【详解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分别为E，F，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四边形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正确；②点M、N分别为线段AB1、BC1的中点，则由线MN与AB1确定的平面在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上的截面为△AB1C，为等边三角形，故②正确．③设，则＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，当且仅当时取得最大值，故③成立；④设，当接近于0时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，当接近于1时，直线与直线的夹角近似于直线和直线的夹角，接近于，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.椭圆的长轴长为；参考答案：617.已知点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，则的最小值为

．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】变形利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5=0上的任意一点，∴2m+n+5=0．则==≥，当且仅当m=2时取等号．∴的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】创新题型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，把函数f（x）求导得到g（x）再对g（x）求导，得到其导函数的零点，然后根据导函数在各区间段内的符号得到函数g（x）的单调期间；（Ⅱ）由f（x）的导函数等于0把a用含有x的代数式表示，然后构造函数φ（x）=x2，由函数零点存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用导数求得a0∈（0，1），然后进一步利用导数说明当a=a0时，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），g（x）=，∴．当0＜a＜时，g（x）在上单调递增，在区间上单调递减；当a时，g（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函数u（x）在（1，+∞）上单调递增．∴．即a0∈（0，1），当a=a0时，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，故当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）=0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）=0．∴当x∈（1，+∞）时，f（x）≥0．综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法，是压轴题．19.（本题6分）已知，且。求的值。参考答案：由，得，所以，

2分此时

3分由题意可知，,

4分所以。

6分20.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值．参考答案：【考点】GT：二倍角的余弦；GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函数的定义域和值域；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得f（x）=，结合，可求sin（2x+）的范围，进而可求函数的最大值及取得最大值的x（Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，结合b=1，c=4，利用余弦定理可求a【解答】解：（Ⅰ）==．

…（4分）∵，∴，∴，即．∴f（x）max=1，此时，∴．

…（8分）（Ⅱ）∵，在△ABC中，∵0＜A＜π，，∴，．

…（10分）又b=1，c=4，由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故．

…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数中二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的性质的应用，及余弦定理解三角形的应用．21.如图，平面平面，四边形为矩形，．点为的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若二面角的余弦值为时，求的值．

参考答案：

略22.已知：等差数列{an}中，a4=14，前10项和S10=185．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）将{an}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成