山西省忻州市南河沟乡中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

山西省忻州市南河沟乡中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.要使函数在[1,

2]上存在反函数，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D.[1，2]参考答案：C2.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,若△ABC的面积为,且,则等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】正弦定理余弦定理C8C由余弦定理，联立，得，，即，结合，得或（舍），从而，，故选C.【思路点拨】联立和，得，从而可求.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为AA1的中点，M在侧面AA1B1B上，有下列四个命题：①若，则面积的最小值为；②平面内存在与平行的直线；③过A作平面，使得棱AD，，在平面的正投影的长度相等，则这样的平面有4个；④过A作面与面平行，则正方体ABCD-A1B1C1D1在面的正投影面积为．则上述四个命题中，真命题的个数为（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】①建立空间坐标系，得到点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；对于②，平面，所以也与平面相交．故②错；对于③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，因为，且，所以在平面的正投影长度与在平面的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平面的个数；对于④面与面平行，则正方体在面的正投影为正六边形，且正六边形的边长为正三角形外接圆的半径，故其面积为．【详解】解：对于①，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过作平面，是垂足，过作，交于，连结，则，，，，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴，，，∴，当时，，①正确；对于，平面，所以也与平面相交．故②错；③过作平面，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，因为，且，故在平面的正投影的长度等于在平面的正投影的长度，使得棱，，在平面的正投影的长度相等，即使得使得棱，，面的正投影的长度相等，若棱，，面的同侧，则为过且与平面平行的平面，若棱，，中有一条棱和另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个，故满足使得棱，，在平面的正投影的长度相等的平面有4个；③正确．④过作面与面平行，则正方体在面的正投影为一个正六边形，其中平面，而分别垂直于正三角形和，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，在平面内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形的外接圆半径（投影线与正三角形、垂直），所以正六边形的边长为，所以投影的面积为．④对．故选：C．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力．5.若复数，则下列结论正确的是（

）A. B.的虚部为C. D.参考答案：D【分析】本题首先可以通过复数的运算将转化为，然后通过复数的相关性质依次求出、的虚部、、，即可得出结果。【详解】，，故A错；的虚部为，故B错；，故C错；，故D正确，综上所述，故选D。【点睛】本题考查了复数的相关性质，主要考查了复数的运算、共轭复数以及复数的模，考查计算能力，体现了基础性，是简单题。6.设z=i(2+i)，则=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i参考答案：D因为，所以.

7.已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30° B．60° C．120° D．30°或120°参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，利用△ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出∠ABP的度数．【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则，∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则，∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，故选D．8.在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项的和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是（

）A．24

B．48

C．60

D．84参考答案：【知识点】数列求和D4【答案解析】C

∵a1＞0，a10?a11＜0，∴d＜0，a10＞0，a11＜0，

∴T18=a1+…+a10-a11-…-a18=S10-（S18-S10）=60．故选C．【思路点拨】根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列{|an|}的前18项和．9.已知集合，集合，则（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C10.下列语句中：①

②

③

④

⑤

⑥

其中是赋值语句的个数为（

）A．6

B．5

C．4

D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象在点处的切线方程为，则

.参考答案：012.如图，已知是⊙的一条弦，点为上一点，，交⊙于，若，，则的长是

参考答案：如图，因为，所以是弦中点，由相交弦定理知，

即，故13.若等差数列的前项和公式为，则=_______，首项=_______；公差=_______.参考答案：略14.在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2sinA=5sinC，（a+c）2=16+b2，则△ABC的面积是

．参考答案：2【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=，利用同角三角函数基本关系式解得sinB，进而根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵c2sinA=5sinC，∴ac2=5c，可得：ac=5，∵（a+c）2=16+b2，可得：b2=a2+c2+2ac﹣16，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：2ac﹣16=﹣2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16，∴cosB=，解得sinB==，∴S△ABC=acsinB==2．故答案为：2．15.已知是以2为周期的偶函数，当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是

．参考答案：16.设则=

。

参考答案：-217.已知直线2x﹣y=0为双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为

．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，又由双曲线离心率公式e2===1+，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y=±x，又由其一条渐近线的方程为：2x﹣y=0，即y=，则有=，则其离心率e2===1+=，则有e=；故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，为实数．（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若点在曲线上，从点向作切线，切线长的最小值为，求实数的值．参考答案：（1），;（2）（2）切线长的最小值为即圆心到直线的距离为3解得19.袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球．（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）从8个球中摸出2个小球的种数为．其中一次摸出2个小球，恰为异色球包括一黑一白，一黑一红，一白一红三种类型，为，根据古典概型的概率计算公式即可得出．（II）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有种方法；一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种方法；一种是所摸得的3小球均为红球，共有种摸法；故符合条件的不同摸法共有40种．利用古典概型的概率计算公式、分布列和数学期望的计算公式即可得出．解答： 解：（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为=19．从8个球中摸出2个小球的种数为．故所求概率为．（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，共有=12种．一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有=24种，一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种．P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．由题意知，随机变量ξ的取值为1，2，3．其分布列为：ξ123PEξ==．点评：正确分类和掌握古典概型的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望是解题的关键．20.一缉私艇A发现在北偏东方向,距离12nmile的海面上有一走私船C正以10nmile/h的速度沿东偏南方向逃窜.缉私艇的速度为14nmile/h,若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东的方向去追,.求追及所需的时间和角的正弦值.

参考答案：解：设A,C分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过

小时后在B处追上,

则有

所以所需时间2小时,21.（本题满分13分）已知偶函数满足：当(Ⅰ).求表达式；(Ⅱ).若直线与函数的图像恰有两个公共点，求实数的取值范围；(Ⅲ).试讨论当实数满足什么条件时，直线的图像恰有个公共点，且这个公共点均匀分布在直线上。（不要求过程）参考答案：22.中国政府实施“互联网+”战略以来，手机作为客户端越来越为人们所青睐，通过手机实现衣食住行消费已经成为一种主要的消费方式，“一机在手，走遍天下”的时代已经到来。在某著名的夜市，随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况，得到如下的2×2列联表，已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为.(1)根据已知条件完成2×2列联表，并根据此资料判断是否有99.5%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”？(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本，设事件A为“从这个样本中任选2人，这2人中至少有1人是不使用手机支付的”，求事件A发生的概率？

2×2列联表

青年中老年合计使用手机支付

60不使用手机支付

24

合计

100附：参考答案：解：(1)从使用手机支付的人群中随机抽取1人，抽到青年的概率为使用手机支付的人群中的青年的人数为人，

则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人，所以列联表为:

青年中老年合计使用手机支付421860不使用手机支付162440合计5842100的观测值

，

故有的把握认为“市场购物用手机支付与