山西省忻州市余庄乡东庄中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

山西省忻州市余庄乡东庄中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()

A.

B.

C.

D.参考答案：B2.阅读下列程序：输入x；if

x＜0，

then

y＝；else

if

x＞0，

then

y＝；else

y＝0；输出y．

如果输入x＝－2，则输出结果y为(

)A．－5

B．－－5

C．

3＋

D．3－参考答案：D无3.对于函数，下列说法错误的是（

）A.函数的极值不能在区间端点处取得B.若为的导函数，则是在某一区间存在极值的充分条件C.极小值不一定小于极大值D.设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.参考答案：B【分析】利用导数知识对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.函数的极值不能在区间端点处取得，故该选项是正确的；B.若为的导函数，则是在某一区间存在极值的非充分条件，如函数，但是函数是R上的增函数，所以x=0并不是函数的极值点.故该选项是错误的；C.极小值不一定小于极大值，故该选项是正确的；D.设函数在区间内有极值，那么在区间内不单调.故该选项是正确的.故选：B【点睛】本题主要考查极值的概念和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为

(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=ABsin60°=，BE=ABcos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1﹣V2=，故选：A．【点评】本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．6.设直线l与平面平行，直线m在平面上，那么（

）A.直线l不平行于直线m B.直线l与直线m异面C.直线l与直线m没有公共点 D.直线l与直线m不垂直参考答案：C【分析】由已知中直线l与平面α平行，直线m在平面α上，可得直线l与直线m异面或平行，进而得到答案．【详解】∵直线l与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l与平面α无公共点，又直线m在平面α上，∴直线l与直线m没有公共点，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题．7.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A，B两点，且|AB|=4，则此双曲线的离心率为（）A.2

B.

C.

D.参考答案：D双曲线的一条渐近线,圆心到渐近线的距离为,即,解得,,此双曲线的离心率为,故选D.

8.在复平面内,复数对应的点位于(

)A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限参考答案：C9.已知等差数列{an}的公差不为0，等比数列{bn}的公比是正有理数．若，且是正整数，则=(

)A.

B.

2

C.2或8

D.

2,或参考答案：D10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次,那么不能作为随机变量的是

(

)A.出现7点的次数 B.出现偶数点的次数C.出现2点的次数 D.出现的点数大于2小于6的次数参考答案：A【分析】根据随机变量的定义可得到结果.【详解】抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。参考答案：{-1，1}12.已知等比数列的前三项依次为a-1,a+1,a+4，则通项

▲

参考答案：13.在平面直角坐标系中，双曲线C的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线C上的点，若（、），则、满足的一个等式是

。参考答案：4ab=114.已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为

．参考答案：15.甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是

．参考答案：乙16.经过统计，一位同学每天上学路上（单程）所花时间的样本平均值为22分钟，其样本标准差为2分钟，如果服从正态分布，学校8点钟开始上课，为使该同学至少能够以0.99概率准时到校，至少要提前__________分钟出发？参考答案：28略17.已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为

．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为，∴正方体的边长为，即PA=PB=PC=，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=，△ABC为边长为的正三角形，S△ABC=×（）2=，∴h=，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故答案为．【点评】本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系中，O为坐标原点，直线经过点双曲线的右焦点.(1)求直线的方程；(2)如果一个椭圆经过点,且以点为它的一个焦点,求椭圆的标准方程；(3)若在(1)、（2）情形下，设直线与椭圆的另一个交点为，且，当

最小时，求的值.参考答案：解：(1)由题意双曲线的右焦点为

……2分

根据两点式得，所求直线的方程为

即

.

直线的方程是

……4分（2）设所求椭圆的标准方程为

一个焦点为

即

①

点在椭圆上，

②由①②解得

所以所求椭圆的标准方程为

……8分（3）由题意得方程组

解得

或

……12分当时，最小。

……14分略19.如图，在多面体ABCDE中，为等边三角形，，,，点F为边EB的中点.（1）求证:AF∥平面DEC；（2）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，得到线线平行，从而可证线面平行；（2）作出平面的垂线，找到直线与平面所成的角，结合直角三角形可求.【详解】（1）取中点，连结∵，，∴是平行四边形，∴∵平面，平面，∴平面.（2）平面;平面，又等边三角形，，平面;由（1）知，平面,即有平面平面;取中点，连结，∴所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，过作，垂足为，连接.

∵平面平面，平面，，∴平面.为斜线在面内的射影，∴为直线与平面所成角，在中，

∴.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间中的线面平行和线面角，直线和平面平行一般的求解策略有两个：一是在平面内寻求和直线平行的直线，利用直线和直线平行得出直线和平面平行，此类方法的难点是辅助线的作法；二是利用平面和平面平行来证明直线和平面平行.线面角的求解主要有定义法和向量法两种.20.

参考答案：由变形为，

-------------6分当且仅当时成立又有，即，

-----------------------------------------12分21.已知函数的最小正周期为π.（1）当时，求函数的值域；（2）已知△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，且，，求△ABC的面积.参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用周期公式求出ω，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数f（x）的值域；（2）求出A，利用余弦定理求出bc，然后求解三角形的面积．【详解】解：（1）的最小正周期是，得，当时，所以，此时的值域为（2）因为，所以，∴，的面积【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．

22.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：，参考答案：（1）；（2）见解析；（3）.试题分析：（1）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A的概率估计值；（2）写出列联表计算的观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为．试题解析：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”由题意知

旧养殖法的箱产量低于的频率为故的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于的频率为故的估计值为0.66因此，事件A的概率估计值为（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表

箱产量箱产量旧养殖法6238新养殖法3466

由于故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为，箱产量低于的直方图面积为故新