山西省忻州市代县第三中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析

山西省忻州市代县第三中学2021年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生。为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人

D．30人，50人，10人参考答案：B2.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B因为，且是定义域为R的偶函数，令x=-1所以，即f（1）=0则有，所以是周期为2的偶函数，当时，，图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线，因为函数在上至少有三个零点，因为f（x）≤0，所以g（x）≤0，可得a＜1，要使函数在上至少有三个零点，令，如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有，所以可得，所以。

3.函数（其中）的图象不可能是参考答案：C4.已知复数，则的虚部是（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：B略5.若复数z满足z(i＋1)＝，则复数z的虚部为()A．－1

B．0

C．i

D．1参考答案：B6.在区间(0,3)上任取一个实数x，则的概率是(

)A. B. C. D.参考答案：C在区间(0,3)上任取一个实数x，若，则.∵(0,3)的区间长度为3，(0,1)的区间长度为1∴在区间(0,3)上任取一个实数x，则的概率是故选C.

7.已知α、β均为锐角，且的值为（）A．﹣1 B．1 C． D．不存在参考答案：B【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】由条件化简可得tanβ=tan（﹣α），再由α、β均为锐角，可得β=﹣α，即α+β=，故可求tan（α+β）的值．【解答】解：∵tanβ===tan（﹣α），又∵α、β均为锐角，∴β=﹣α，即α+β=，∴tan（α+β）=tan=1，故选B．8.设则“且”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件参考答案：A略9.定义运算=ad－bc，则满足=0的复数z的共轭复数所对应的点在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：A10.下列命题正确的个数是(

)①命题“”的否定是“”；②函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.(A)1

(B)2

(C)3

(D)4参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为__________．参考答案：y=2x–2由，得则曲线在点(1,0)处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.

12.已知sinα=，且α为钝角，则cos=．参考答案：．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos=，又由α是钝角，可得的范围，由此可得cos的符号为正，即可得答案．【解答】解：∵由α是钝角，即90°＜α＜180°，则45°＜＜90°，∴cosα＜0，cos＞0，∴cosα=﹣=﹣，∴cos===．故答案为：．13.(几何证明选讲）如图，内接于圆，，直线切圆于点，交于点.若，则的长为

.参考答案：略14.若向量，满足||=||=|+|=1，则?的值为

．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的数量积运算即可得出．【解答】解：∵向量，满足||=||=|+|=1，∴，化为，即1，解得．故答案为．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．15.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值是

.参考答案：8试题分析：的右焦点为，所以考点：本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.16.在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离是．参考答案：考点： 简单曲线的极坐标方程．专题： 坐标系和参数方程．分析： 把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答： 解：点P（2，）化为，即．直线ρcos（x﹣）=0化为，化为+y=0．∴点（2，）到直线ρcos（x﹣）=0的距离d==．故答案为：．点评： 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．17.一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为．参考答案：25π【考点】球的体积和表面积．【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，∴直六棱柱的外接球的直径为5，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积为=25π．故答案为：25π．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为(1,0)，若直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程是，（m为参数）．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求．参考答案：（1），；（2）1．（1）由，得，由，得，因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为．（2）点的直角坐标为，点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），代入，得，设点对应的参数分别为，则，，所以．19.椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点M（0，-1），直线l经过点N（2，1）且与椭圆C相交于A,B两点（异于点M），记直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，证明为定值，并求出该定值.参考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【分析】(Ⅰ)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；(Ⅱ)先考虑直线l的斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得到韦达定理，再求出，化简即得其为定值.【详解】（Ⅰ）将代入中，由可得，所以弦长为，故有，解得，所以椭圆的方程为：．（Ⅱ）若直线l的斜率不存在，即直线的方程为x=2，与椭圆只有一个交点，不符合题意。设直线l的斜率为k，若k=0，直线l与椭圆只有一个交点，不符合题意，故k≠0.所以直线l的方程为，即，直线l的方程与椭圆的标准方程联立得：消去y得:,设，则，,把代入上式，得，命题得证.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知.（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.参考答案：略21.已知函数的部分图象如图所示.（I）求函数的解析式，并写出的单调减区间；（II）已知的内角分别是A，B，C，若的值.

参考答案：解：（Ⅰ）由图象最高点得，

由周期得所以当时，，可得因为所以故

由图像可得的单调递减区间为

………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

,又，

.

……12分略22.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品（1）若厂家库房中的每件产品的合格率为0.8。从中任意取出4件进行检验，求至少有一件是合格品的概率；（2）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取两件，都进行检查，只有两件都合格时才接收这批产品，否则拒收，求该商家拒收这批产品的概