山西省忻州市五台县刘家庄中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

山西省忻州市五台县刘家庄中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】通过对数的运算性质化简再利用对数函数的单调性即可得出大小关系．详解】解：∵，，，又∵且对数函数单调递增，，故选：B．【点睛】本题考查对数的运算性质及单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.等差数列{}的前n项和为Sn，S3=6，公差d=3，则a4=A．8

B．9 C．’11 D．12参考答案：A3.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（

）A．1:(-1)

B．1:2

C．1:

D．1:4参考答案：A略4.已知集合，，则中所含元素的个数为(

)

A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B略5.已知O是坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径的圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系求得A的坐标，设B（m，n），运用向量的坐标关系，结合B在渐近线上，可得a，c的关系，再由a=1，即可得到c，b，进而得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F（c，0），圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入圆的方程，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，则x=0或x=，当x=，y═?=，即A（，），设B（m，n），则n=﹣?m，则=（﹣m，﹣n），=（c﹣，﹣），∵，∴（﹣m，﹣n）=（c﹣，﹣），则﹣m=2（c﹣），﹣n=2?（﹣），即m=﹣2c，n=，即=﹣?（﹣2c）=﹣+，即=，则c2=3a2，由双曲线可得a=1，c=，b=n==．则双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．6.已知函数，则关于x的不等式的解集为（

）A．(－∞,1)

B．(1,+∞)

C.(1,2)

D．(1,4)参考答案：A由题意易知：为奇函数且在上单调递增,∴，即∴∴∴不等式的解集为故选：A

7.已知定义在上的函数满足：对任意，都有成立，且，设，则三者的大小关系是------------------------------------------------（★）A． B． C． D．参考答案：C8.如果执行下边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是()A．9

B．3C．

D．参考答案：C9.已知复数z是一元二次方程的一个根，则的值为（

）A.1 B. C.0 D.2参考答案：B由题意可得：或，则：的值为.本题选择B选项.10.若，则该数列的前2011项的乘积

(

)A．3．

B．-6．

C．．

D．．

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是

▲

.参考答案：12.平面直角坐标系中，点满足，当均为整数时称点为整点，则所有整点中满足为奇数的点的概率为

．参考答案：列举得基本事件数有个，符合条件的基本事件数有个，故所求概率为。

13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若BC⊥AC，∠A=，AC=4，AA1=4，M为AA1的中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q=3QC．则异面直线PQ与AC所成角的正弦值

．参考答案：考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PQ与AC所成角的正弦值．解答：解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），B（4，0，0），M（0，4，2），A1（0，4，4），P（2，2，1），==（0，4，4）=（0，1，1），∴Q（0，1，1），=（0，﹣4，0），=（﹣2，﹣1，0），设异面直线PQ与AC所成角为θ，cosθ=｜cos＜＞｜=｜｜=，∴sinθ==．故答案为：．点评：本题考查异面直线PQ与AC所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．14.(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，过作圆的切线，过A作的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=

．参考答案：略15.不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，则实数k的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1]【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】将不等式恒成立转化为函数关系，构造函数，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：不等式+kx+1≥0对于x∈[﹣1，1]恒成立，等价为+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，设y=+1（y≥1），则等价为x2+（y﹣1）2=1对应的轨迹为以（0，1）为圆心，半径为1的上半圆，则A（1，1），B（﹣1，1），若+1≥﹣kx对于x∈[﹣1，1]恒成立，则等价为A，B在直线y=﹣kx的上方或在直线上即可，即A（1，1），B（﹣1，1），在不等式y≥﹣kx对应的区域内，则满足，即，解得﹣1≤k≤1，故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，构造函数，利用数形结合是解决本题的关键．16.圆心在直线上且与直线且与点的圆的方程为

.参考答案：17.已知，，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为________________．参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．PA=PD，∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．解：（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），M（﹣，，），=（0，，0），=（﹣，，），设平面BQM的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），平面BQC的法向量=（0，0，1），设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，则cosθ==，θ=60°，∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.（本小题满分12分）已知数列（I）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项和.参考答案：20.已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上存在一点A，使且的面积为1。 （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与双曲线C相交于E、F两点（E、F不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。参考答案：略21.（12分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣，其中a∈R（1）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求函数h（x）的定义域，求出函数h（x）的导数，从而讨论判断函数的单调性；（2）分类讨论函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题，从而解得．【解答】解：（1）函数h（x）=x﹣alnx+的定义域为（0，+∞），h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）上是增函数；②当1+a＞0，即a＞﹣1时，x∈（0，1+a）时，h′（x）＜0；x∈（1+a，+∞）时，h′（x）＞0；故h（x）在（0，1+a）上是减函数，在（1+a，+∞）上是增函数；（2）由（1）令h（x0）=f（x0）﹣g（x0），x0∈[1，e]，①当a≤﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；②当﹣1＜a≤0时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1）=1+1+a＜0，解得，a＜﹣2；③当0＜a≤e﹣1时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，无解；④当e﹣1＜a时，存在x0∈[1，e]（e=2.718…），使得h（x0）＜0成立可化为h（e）=e﹣a+＜0，解得，a＞；综上所述，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及存在性问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．22.