山西省太原市阳曲县杨兴中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

山西省太原市阳曲县杨兴中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为原点，点，的坐标分别为，，其中常数，点在线段上，且，则的最大值是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A.试题分析：∵，∴，∴，∴当时，的最大值是，故选A.考点：1.平面向量数量积；2.函数最值.2.

设分别是中所对边的边长，则直线与的位置关系是（

）A.平行

B.垂直

C.重合

D.相交但不垂直参考答案：答案：B3.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的y值等于（

）A.1 B.C. D.参考答案：C【分析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值。【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<，程序运行结束，得，故选C。【点睛】本题考查程序框图，是基础题。4.右图中的小网格由等大的小正方形拼成，则向量A．

B．

C．

D．

参考答案：D略5.复数

(i为虚数单位)的虚部是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.某学校对高二年级一次考试进行抽样分析.右图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图,其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[%，兇），[98,100)，[100，102)，[102,104),[104,106].已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是A.90

B.75

C.60

D.45参考答案：A略7.已知侧棱长为的正四棱锥P—ABCD的五个顶点都在同一个球面上，且球心O在底面正方形ABCD上，则球O的表面积为（

）A.4π

B.3π

C.2π

D.π参考答案：A设球的半径为R,则由题意可得，解得R=1,故球的表面积.8.已知2sinθ+3cosθ=0，则tan2θ=（）A．B．C．D．参考答案：B考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可求得tanθ=﹣，利用二倍角的正切即可求得答案．解答：解：∵2sinθ+3cosθ=0，∴tanθ=﹣，∴tan2θ===，故选：B．点评：本题考查二倍角的正切，求得tanθ=﹣是基础，属于基础题．9.设Sn是各项都是正数的等比数列{an}的前n项和，若≤Sn＋1，则公比q的取值范围是()A．q>0

B．0<q≤1C．0<q<1

D．0<q<1或q>1参考答案：B10.若函数f(x)＝mlnx+x2-mx在区间(0，+∞)上单调递增，则实数m的取值范围为

A．[0，8]

B．(0，8]

C．(-∞，0]∪[8，+∞)

D．(-∞，0)∪(8，+∞)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：12.在数列中，，（），试归纳出这个数列的通项公式

．参考答案：略13.（5分）（2011?石景山区一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，则角A的大小为．参考答案：60°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：直接运用余弦定理，将条件代入公式求出角A的余弦值，再在三角形中求出角A即可．解答：解：∵b2+c2=a2+bc∴b2+c2﹣a2=bc∴cosA=即A=60°，故答案为60°点评：本题主要考查了余弦定理的直接应用，余弦定理是解决有关斜三角形的重要定理，本题属于基础题．14.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则=

．参考答案：15.函数在点P（2,1）处的切线方程为__________________________.参考答案：答案：16.已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，则的值为__________．参考答案：1【分析】根据正弦定理求得C的值，再根据函数图像的平移求出的表达式，从而求出。【详解】解：根据正弦定理可得：由，则由平移个单位以后得到的函数

17.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为________参考答案：【知识点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【答案解析】解析：解：把曲线的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为（x≥0，y≥0）．

曲线的极坐标方程是，化为直角坐标方程为．

解方程组

，求得，∴与交点的直角坐标为，

故答案为：．【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得与交点的直角坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以O为极点x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点Q是曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（2cosθ，2sinθ），点Q到直线l的距离为d=．利用三角函数的单调性值域即可得出．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），可直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由ρ=2，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4．（2）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（2cosθ，2sinθ），点Q到直线l的距离为d=．当sin（θ+45°）=﹣1时，点Q到直线l的距离的最大值为3．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程及其应用、三角函数的和差公式及其单调性、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分14分）椭圆的两个焦点为、，M是椭圆上一点，且满足（Ⅰ）求离心率e的取值范围；（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为．

①求此时椭圆G的方程；

②设斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，

问：A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值

范围；若不能，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设点M的坐标为(x,y)，则，由得，即

①又由点M在椭圆上，得，代入①得，即，即，，解得又，

（Ⅱ）①当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为设点H(x,y)是椭圆上的一点，则

若0<b<3，则当时，有最大值由题意知：，或，这与0<b<3矛盾.若，则当时，有最大值由题意知：，，符合题意∴所求椭圆方程为②设直线l的方程为y=kx+m代入中，得由直线l与椭圆G相交于不同的两点知

②要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须设、，则，，

③由②、③得，又，或故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．20.（本小题满分12分）已知(1)求函数上的最小值；(2)若对一切恒成立,求实数的取值范围；(3)证明:对一切,都有成立.参考答案：解（1），

—————1分当单调递减，当单调递增

—————2分①，即时，

；

②，即时，上单调递增，；所以

—————5分（2），则，[/]

设，则，当单调递减，当单调递增，所以

—————8分所以；

—————9分（3）问题等价于证明，

—————10分[/]由（1）可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立

—————12分略21.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求数列{cn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过记等差数列{an}的公差为d，利用等差数列的求和公式及a1=2可知公差d=2，进而可知an=2n；通过Tn=2n﹣1与Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）作差，进而可知bn=2n﹣1；（Ⅱ）通过（I）可知anbn=n?2n，Sn=n（n+1），进而可知cn=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用错位相减法计算可知数列{（﹣1）nanbn}的前n项和An=﹣﹣?（﹣2）n+1；通过分类讨论，结合并项相加法可知数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和Bn=（﹣1）nln（n+1），进而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）记等差数列{an}的公差为d，依题意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴数列{an}的通项公式an=2n；∵Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），两式相减得：bn=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1满足上式，∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n?2n，Sn=2?=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，记数列{（﹣1）nanbn}的前n项和为An，数列{（﹣1）nlnSn}的前n项和为Bn，则An=1?（﹣2）1+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，﹣2An=1?（﹣2）2+2?（﹣2）3+…+（n﹣1）?（﹣2）n+n?（﹣2）n+1，错位相减得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n?（﹣2）n+1=﹣n?（﹣2）n+1=﹣﹣?（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣?（﹣2）n+1；当n为偶数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…+[lnn+ln（n+1）]=ln（n+1）﹣ln1=ln（n+1），当n为奇数时，Bn=﹣（ln1+ln2）+（ln2+ln3）﹣（ln3+ln4）+…﹣[lnn+ln（n+1）]=﹣ln（n+1）﹣ln1=﹣ln（n+1）；综上可知：Bn=（﹣1）nln（n+1），∴数列{cn}的前n项和An+Bn=（﹣1）nln（n+1）﹣﹣?（﹣2）n+1．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．22.对于函数的定义域为，如果存在区间，同时满足下列条件：①在上是单调函数；②当的定义域为时，值域也是，则称区间是函数的“区间”．对于函数．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在“区间”，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）试题分析：（1）

若，则，求出切线斜率，代入点斜式方程，可得答案；

（2）

结合函数存在“区间”的定义，分类讨论满足条件的的取值范围，综合讨论结果，可得答案．试题解析