山西省太原市英才学校高一数学文期末试题含解析

山西省太原市英才学校高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1..在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即给出四个结论：①,②,③,④整数属于同一“类”，当且仅当是，其中正确结论的个数是

（

）.1

.2

.3

.4参考答案：C略2.函数的定义域为（

）A．[1，2)∪(2，+∞）B．(1，+∞）

C．[1，2)

D．[1，+∞)参考答案：A3.设全集U={1,2,3,4}，集合S={1,2}，T={2,3}，则等于（

）A.{2} B.{3} C.{4} D.{2,3,4}参考答案：B【分析】根据补集和并集的定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.4.在△ABC中，=，=，且?＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形参考答案：D【考点】三角形的形状判断．【分析】根据已知推断出?＜0，进而根据向量的数量积的运算推断出B＞90°．【解答】解：∵?＞0∴?＜0∴B＞90°，即三角形为钝角三角形，故选：D．5.下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是A．

B．

C.

D．参考答案：A6.函数的零点所在的一个区间是（

）A．(－1,0)

B．(0,1)

C.(1,2)

D．(2,3)参考答案：D因,则函数零点所在的区间是,应选答案D．

7.设，若是和的等比中项，则的最小值为（

）

A.6

B．

C．8

D．9参考答案：D略8.函数的值域是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x0.250.5012.003.004.00y﹣1.99﹣1.0101.011.582.01则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？（其中a为待定系数，且a＞0）（）A．y=ax B．y=ax C．y=logax D．y=参考答案：C【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，x=1，y=0，选用y=logax，a=2，代入验证，可得结论．【解答】解：由题意，x=1，y=0，选用y=logax，a=2，代入验证，满足题意．故选：C．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c≥b﹣cB．ac＞bcC．＞0D．（a﹣b）c2≥0参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知3a=2，那么log38﹣log362用a表示是．参考答案：a﹣2【考点】对数的运算性质．【分析】由对数的运算法则知log38=3log32，log36=log32+1，由此根据题设条件能求出log38﹣2log36用a表示的式子．【解答】解：∵3a=2，∴a=log32，log38﹣2log36=3log32﹣2（log32+log33）=3a﹣2（a+1）=a﹣2．故答案为：a﹣2【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行转化．12.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，若△ABC有两解，则x的取值范围是__________．参考答案：【分析】利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案.【详解】由正弦定理得：若△ABC有两解：故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，△ABC有两解，意在考查学生的计算能力.13.关于函数有下列结论：①对任意的有；②在区间上的最大值为4；③的图象关于点对称；④的图象关于对称；⑤将函数的图象按向量a平移后得到的图象关于坐标原点对称，则向量a的坐标可能为其中正确的结论是

（写出所有符合要求的序号）参考答案：①②③⑤

略14.若函数的零点个数为，则______。参考答案：

解析：作出函数与函数的图象,发现它们恰有个交点15.求cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值．参考答案：略16.函数y＝sin2x＋2cosx在区间[－，a]上的值域为[－，2]，则a的取值范围是__.参考答案：[0，]【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令t＝cosx，则原函数可化为y＝﹣（t﹣1）2+2，即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解．【详解】解：由已知得y＝1﹣cos2x+2cosx＝﹣（cosx﹣1）2+2，令t＝cosx，得到：y＝﹣（t﹣1）2+2，显然当t＝cos（）时，y，当t＝1时，y＝2，又由x∈[，a]可知cosx∈[，1]，可使函数的值域为[，2]，所以有a≥0，且a，从而可得a的取值范围是：0≤a．故答案为：[0，]．【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题．17.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．参考答案：【分析】根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，，.∵，，，，向量与夹角为.故答案为：.【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线截以坐标原点O为圆心的圆所得的弦长为.（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点和，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案：（1）；（2）；（3）见解析【分析】（1）利用点到直线距离公式，可以求出弦心距，根据垂径定理结合勾股定理，可以求出圆的半径，进而可以求出圆的方程；（2）设出直线的截距式方程，利用圆的切线性质，得到一个方程，结合已知，又得到一个方程，两个方程联立，解方程组，即可求出直线直线的方程；（3）设，，则，，，分别求出直线与轴交点坐标、直线与轴交点坐标，求出的表达式，通过计算可得.【详解】（1）因为点到直线的距离为，所以圆的半径为，故圆的方程为.（2）设直线的方程为，即，由直线与圆相切，得，①.②由①②解得，此时直线的方程为.（3）设，，则，，，直线与轴交点坐标为，，直线与轴交点坐标为，，，为定值2.【点睛】本题考查了圆的垂径定理、圆的切线性质、勾股定理，考查了求直线方程，考查了数学运算能力.19.设函数．

1求它的定义域（3分）；2求证：（4分）；3判断它在（1，+∞）单调性，并证明．（7分）参考答案：20.已知两个不共线的向量的夹角为，且为正实数.（1）若与垂直，求在上的投影；（2）若，求的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与的位置关系.（3）若为锐角，对于正实数m，关于x的方程有两个不同的正实数解，且，求m的取值范围.参考答案：（1）（2）当时，有最小值，垂直（3）【分析】（1）利用可得，再利用投影的定义计算即可.（2）的平方是关于的二次函数，利用二次函数的性质可求其最小值及其对应的、向量和的关系.（3）对两边平方得到关于的一元二次方程，因为方程有两个正数解，故可得关于的不等式组，解这个不等式组可得的取值范围.【详解】（1）由题意，得即故在上的投影为（2）故当时，取得最小值为此时，故向量与垂直.（3）对方程两边平方，得①设方程①的两个不同正实数解为，故，因为为锐角，所以，故.【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.21.已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0，l1与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的坐标，并求点P到直线4x﹣3y﹣6=0的距离；（Ⅱ）分别求过点P且与直线3x﹣y+1=0平行和垂直的直线方程．参考答案：【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）联立方程组求出P点的坐标即可，根据点到直线的距离公式求出距离即可；（Ⅱ）分别求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可．【解答】解：（Ⅰ）解方程组，解得：，∴P（﹣2，2），则P（﹣2，2）到直线4x﹣3y﹣6=0的距离为d==4；（Ⅱ）∵P（﹣2，2），过点P且与直线3x﹣y+1=0平行的直线的斜率是3，代入点斜式方程得：y﹣2=3（