山西省太原市第二十四中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

山西省太原市第二十四中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列中，为其前n项和，若，则A.60

B.75

C.90

D.

105参考答案：B2.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数(表示不大于的最大整数）可以表示为()A．B．

C．

D．参考答案：【知识点】函数的解析式。B1【答案解析】B

解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数(表示不大于的最大整数）可以表示为．故选B.【思路点拨】结合给出的新定义“取整函数(表示不大于的最大整数）”直接可得结果。3.设集合，，则（

）A． B． C．{1} D．参考答案：C4.在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D5.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2015）的值为A.-1

B.0

C.1

D.2参考答案：C6.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（A），

（B），（C），，共面

（D），，共点，，共面参考答案：B由，，根据异面直线所成角知与所成角为90°，选B．7.在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．8.已知是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，则大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D9.已知抛物线的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】利用，确定A，B的坐标，即可求得【详解】解：依题意可得：

设，则：，故选：A.10.已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x,y）满足，则点M所构成的平面区域的面积是

A．12 B．16

C．32 D．64参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线（a＞0）的右焦点为圆（x﹣4）2+y2=1的圆心，则此双曲线的离心率为．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，圆的圆心坐标，列出方程，求解即可．【解答】解：双曲线（a＞0）的右焦点（，0），为圆（x﹣4）2+y2=1的圆心（4，0）．由题意可得，解得a=3，则c=4，双曲线的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质与圆的方程的应用，考查计算能力．12.已知命题，命题成立，若“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是_

_

．参考答案：【知识点】命题的关系.A2【答案解析】-2<m<0解析：解：由命题的真假可知p且q成立，则p与q都是真命题，所以【思路点拨】根据已知条件，可先判定两个命题的真假，再分别求出两个命题中m的取值范围，最后求出结果.13.设是线段的中点，点在直线外，，，则

。参考答案：214.如右图，在正方体中，点是上底面内一动点，则三棱锥的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比为_________．参考答案：1

考点：三视图．【名师点睛】三视图，实际是也是正投影，就是把空间图形向某个平面进行正投影，而确定一个多边形的正投影，只要作出多边形的每个顶点的投影，然后顺次连接即可得．15.设，则＝

．参考答案：16.内角的对边分别是，若，,则 .参考答案：略17.()与垂直，且ê，则的夹角为

参考答案：120°三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015?济宁一模）现有甲、乙、丙三人参加某电视的一档应聘节目，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求t的值；（Ⅱ）若t=，求三人中恰有两人应聘成功的概率；（Ⅲ）记应聘成功的人数为ξ，若当且仅当ξ=2时对应的概率最大，求E（ξ）的取值范围．参考答案：【考点】：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）由题意得，由此能求出t的值．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，由此利用相互独立事件乘法公式能求出三人中恰有两人应聘成功的概率．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）的取值范围．解：（Ⅰ）∵甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜2），且三人是否应聘成功是相互独立的．乙、丙有且只有一人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，∴由题意得，解得t=1．（Ⅱ）t=时，甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，∴三人中恰有两人应聘成功的概率：P=+=．（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++（1﹣）×=，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ

0

1

2

3PEξ=+=t+，由题意知P（ξ=2）﹣P（ξ=1）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=0）=＞0，P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=，又0＜t＜2，∴1＜t＜2，∴（ξ）＜．【点评】：本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.（14分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题意可得三角形BFO外接圆圆心为斜边BF中点C，由此求得b，c的值，结合隐含条件求出a，则椭圆方程和圆C的方程可求；（2）由AD为圆C的切线，得到AD⊥CO，联立直线和椭圆方程求得A的坐标，由得到a，b，c的关系式，结合隐含条件可求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵三角形BFO为直角三角形，∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，则圆半径，∴椭圆方程为，圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD与圆C相切，得AD⊥CO，BF方程为，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．【点评】本题考查了椭圆与圆的方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此题的关键是由平面几何知识得到对应的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．20.

已知函数f（x）=1nx－a（x－l），a∈R

（I）若曲线y=f（x）在点处的切线与直线y=2x，求实数

a的值；；

（Ⅱ）若x＞0时，不等式恒成立，

（i）求实数a的值；

（ii）x＞0时，比较与21nx的大小。参考答案：解：（Ⅰ），由条件，经检验，此时曲线在点处的切线方程为，与直线平行，故．

……3分（Ⅱ）（ⅰ）时，不等式恒成立，（或证时不符合条件）

……5分上，单调递增；上，单调递减上

时，不等式恒成立，恒成立①

……7分时，时，恒成立②由①②，，即．

……9分（ⅱ）由（ⅰ）知，记，在上单调递增

……10分又，上，上故，时，；

时，；时，．

……12分

略21.集合，集合B={x|y=ln（x2﹣x﹣6）}（1）求集合A∩B；（2）若不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，求a，b的值．参考答案：考点：并集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：（1）根据负数没有平方根、分母不为0，求出集合A中函数的定义域，确定出A，根据负数与0没有对数，求出集合B中函数的定义域，确定出B，找出两集合的公共部分，即可确定出两集合的交集；（2）找出既属于A又属于B的部分，确定出两集合的并集，由不等式ax2+2x+b＞0的解集为两集合的并集，得到方程ax2+2x+b=0的两根分别为﹣2和0，利用根与系数的关系即可求出a与b的值．解答：解：（1）由集合A中的函数得：2x﹣1＞0，即2x＞20，解得：x＞0，∴A=（0，+∞），由集合B中的函数得：x2﹣x﹣6＞0，即（x﹣3）（x+2）＞0，解得：x＜﹣2或x＞3，∴B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩B=（3，+∞）；（2）∵不等式ax2+2x+b＞0的解集为A∪B，A∪B═（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），∴方程ax2+2x+b=0的两根分别为﹣2和0，∴﹣2+0=﹣，﹣2×0=，解得：a=1，b=0．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．22.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T．其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2）畅通;T∈[2，4)基本畅通;T∈[4，6）轻度拥堵;T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵，晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数