山西省大同市西韩岭中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

山西省大同市西韩岭中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.阅读如图的程序框图，若运行相应的程序,则输出的是

参考答案：2.过点和的直线在轴上的截距为A.

B.

C.

D.参考答案：A3.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为A．2

B．-2 C．-1

D．1参考答案：A4.已知函数的图像分别交于M、N两点，则的最大值是

A．1

B．

C．

D．参考答案：B5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．27

B．36

C.48

D．54参考答案：D6.函数的图象为C：①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C；以上三个论断中，正确论断的个数是（

）

2 3参考答案：C略7.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集是A．

B．

C．

D．参考答案：A8.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知（其中为正数），若，则的最小值是

A．2

B．

C．

D．8参考答案：C10.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若，则a，b，c的大小关系为（A）a＜b＜c（B）b＜a＜c（C）c＜b＜a

（D）c＜a＜b参考答案：C由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知：通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题

；参考答案：12.已知，过点作一直线与双曲线相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角或；类比此思想，已知，过点作一直线函数的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角为

.参考答案：或13.设为空间直角坐标系内一点，点在平面上的射影的极坐标为（极坐标系以为极点，以轴为极轴），则我们称三元数组为点的柱面坐标．已知点的柱面坐标为，则直线与平面所成的角为．参考答案：等略14.已知函数，则的解集为

．参考答案：略15.（5分）（2015?陕西一模）已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则λ=．参考答案：﹣【考点】：平行向量与共线向量．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由向量是两个不共线的向量，以、为基底，把、用坐标表示，利用共线的定义，求出λ的值．解：∵向量是两个不共线的向量，不妨以、为基底，则=（2，﹣1），=（1，λ）；又∵、共线，∴2λ﹣（﹣1）×1=0；解得λ=﹣．故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应利用平面向量的坐标表示进行解答，是基础题．16.经过点(2,0)且圆心是直线与直线的交点的圆的标准方程为

．参考答案：17.给出下列四个结论：①“若则”的逆否命题为真；②若为的极值，则； ③函数（x）有3个零点； ④对于任意实数x，有且x>0时,，则x<0时.其中正确结论的序号是

.（填上所有正确结论的序号）参考答案：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数是的一个极值点.（1）求函数的单调区间；（2）若当时，恒成立，求的取值范围.参考答案：解：（1）∵且是的一个极值点∴，-------2分∴------4分由得或，∴函数的单调增区间为，；--6分由得，∴函数的单调减区间为，----8分（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增∴当时，函数取得最小值，=，----10分时，恒成立等价于-----12分即。-------14分19.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上（Ⅰ）求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；（Ⅱ）已知曲线C的参数方程为，（为参数），直线l与C交于M，N两点，求的值参考答案：（Ⅰ），的直角坐标方程为，的参数方程为：（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）将点的极坐标方程代入直线的极坐标方程可求出的值，然后将直线方程化为普通方程，确定直线的倾斜角，即可将直线的方程表示为参数方程的形式；（Ⅱ）将曲线的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的一元二次方程，并列出韦达定理，根据的几何意义计算出和，于是可得出的值。【详解】解：（Ⅰ）因为点，所以；由得于是的直角坐标方程为；的参数方程为：

（t为参数）

（Ⅱ）由：，将的参数方程代入得，设该方程的两根为，由直线的参数的几何意义及曲线知，，

所以。【点睛】本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题。20.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°＜θ＜90°)且与点A相距海里的位置C.(1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；(2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.参考答案：（1）如图，AB=，AC=，∠BAC=θ,sinθ=.由于0°＜θ＜90°，所以由余弦定理得所以船的行驶速度为（海里/小时）.(2）如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是B（x1，y1），C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40，x2=ACcos∠CAD=cos(45°-θ)=30,y2=ACsin∠CAD=sin(45°-θ)=20.所以过点B、C的直线l的斜率k==2，直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离所以船会进入警戒水域.21.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（1，2）其焦点F在x轴上．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；（Ⅲ）设点P（﹣1，m），过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB，PF，PD的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1+k3=2k2．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由题意可设抛物线的方程为：y2=2px，（p＞0），由已知得4=2p，由此能求出抛物线C的标准方程．（Ⅱ）由（1）知：F（1，0），OA的中点M的坐标为（），由此能求出直线FM的方程．（Ⅲ）当直线的斜率不存在时，F（1，0），B（1，2），D（1，﹣2），k1+k3=2k2；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x﹣1），设B（x1，y1），D（x2，y2），由已知条件推导出=2k﹣（2k+m）﹣，由此能证明k1+k3=2k2．解答：（Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为：y2=2px，（p＞0），因为抛物线经过点A（1，2），所以4=2p，解得：p=2，则抛物线C的标准方程是：y2=4x．…（3分）（Ⅱ）解：由（1）知：F（1，0），OA的中点M的坐标为（），则kFM==﹣2，所以直线FM的方程是：2x+y﹣2=0．…（6分）（Ⅲ）证明：当直线的斜率不存在时，则F（1，0），B（1，2），D（1，﹣2），所以，，，则k1+k3=2k2，…（8分）当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为y=k（x﹣1），设B（x1，y1），D（x2，y2），则=，同理可得：，所以=2k﹣（2k+m）﹣，…（12分）由方程组，消去y，并整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，所以x1x2=1，…（14分）则k1+k3=2k﹣（2k+m）×1=﹣m，又，所以k1+k3=2k2，综上所述：k1+k3=2k2．…（16分）点评：本题考查抛物线C的标准方程的求法，考查直线的方程的求法，考查k1+k3=2k2的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．22.（12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家、京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取100位参与《我爱京剧》比赛节目的票友的年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[30，80]内），样本数据分组区间为[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若抽取的这100位参与节目的票友的平均年龄为53，据此估计表中a，b的值（同一组中的数据用该组区间的终点值作代表）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取20人，参与有关京剧知识的问答，分别求抽取的年龄在[60，70）和[70，80]的票友中人数；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中抽取的人数，从年龄在[60，80）的票友中任选2人，求这两人年龄都在[60，70）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b．（Ⅱ）根据频率分布直方图的性质年龄能求出在[60，70）的票友和年龄在[70，80]的票友需抽取的人数．（Ⅲ）设年龄在[70，80]岁的票友这A，在[60，70）岁的票友为a，b，c，d，则从中抽取从中抽取2人的基本事件总数有n==10，利用列举法能求求出这两人年龄都在[60，70）内的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得：，解得a=0.005，b=0.035．（Ⅱ）由（Ⅰ）知样本年龄在[70，80）岁的票友共有0.05×100=5人，样本年龄在[60，70）岁的票友共有0.2×100=20人，样本年龄在[50，60）岁的票友共有0.35×100=35人，样本年龄在[40，50）岁的票友共有0.3×100=30人，样本年龄在[30，40）岁的票友共有0.1×100=10人，∴年龄在[